第四章三角形

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下面幾何體中，是圓錐的為（）

【答案】B

【分析】觀察所給幾何體，可以直接得出答案.

【詳解】解：A選項為圓柱，不合題意；

B選項為圓錐，符合題意；

C選項為三棱錐，不合題意；

D選項為球，不合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查常見幾何體的識別,熟練掌握常見幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.圓錐面和一個截它的平

面，組成的空間幾何圖形叫圓錐.

2.下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特征,11種不同情況進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征，只有第2個圖不是正方體的展開圖，故四個圖中有3個圖是正

方體的展開圖.

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡潔.

3.如圖，ZAOC=Z.BOD=90°,ZAOD=126°,則NBOC的大小為（）

A.36°B,44°C,54°D,63°

【答案】c

【分析】由NAOC=NBOD=9〃，￡AOD=120可求出NCOD的度數(shù)，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系

求解.

【詳解】:AAOC^90°,2AOD=126°,

:.NCOD=NAOD-ZAOC=36°,

.ZBOD=90°,

ZBOC=NBOD-NCOD=90°-36°=54°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是角的計算,注意此題的解題技巧:兩個直角相加和NAOD相比，多加了NBOC.

4.如圖，在△ABC中，D、E分別在AB邊和AC邊上，DE//BC,M為BC邊上一點(diǎn)(不與B、C重

合)，連結(jié)AM交DE于點(diǎn)N,貝()

A^^AN坨=酒吧=造D9=蟀

'ANAE,MNCE'BMMC'MCBM

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定可得AADNs^ABM,AANESAAMC,再根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】-.DE//BC,.-.AADNc-AABM.AANE-AAMC,二黑=黑，煞=鐵=黑=暮故

選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、相似

三角形的判定和性質(zhì).

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活—利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題

5.如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面AB與CO平行，入射光線/與出射光線加平

行.若入射光線/與鏡面的夾角N7=4。。％',則N6的度數(shù)為（）

A.10OP40'B.9sp80'C.99°40'D.99°2O1

【答案】C

【分析】由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得/1=/2,可求出N5,由I//m可得

Z6=Z5

【詳解】解：由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得/1=/2,

；/1=40P10

:.A2=40°101

:.乙5=18CP-N7-N2=780°-4?！?0,―40°10=99°4?！?/p>

l//m

:.Z6=N5=99°40'

故選:C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解答本題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活—利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題

6.如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角NO的大面小，需將NO轉(zhuǎn)化為與它相等的

角，則圖中與NO相等的角是（）

凸面I凹面

寬丈?當(dāng)cobb>10。為脊柱側(cè)彎

A.Z.BEAB.NDEBC.Z.ECAD.ZADO

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：NO與NADO互余，NDEB與NADO互余，根據(jù)同角的余角相等

可得結(jié)論.

【詳解】由示意圖可知：△DOA和aDBE都是直角三角形，

ZO+ZADO^90°,NDEB+NADO=90°,

NDEB=NO,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵.

7.【易錯題】若等腰三角形的兩邊長分別是3c加和5c私則這個等腰三角形的周長是()

A.%cmB.13cmC,8或13cmD.11cm或13c加

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要

應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)3是腰時，

3+3>5,

,3,3,5能組成三角形，

此時等腰三角形的周長為3+3+5=11(cm),

當(dāng)5是腰時，

?.-3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時等腰三角形的周長為5+5+3=13(cm),

則三角形的周長為11c%或13cm.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】三角形折疊模型

8.如圖，三角形紙片N8C中，/A4c=90。，AB=2,AC=3.沿過點(diǎn)工的直線將紙片折疊，使點(diǎn)2落在邊

3c上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，若折痕與"C的交點(diǎn)為瓦則/￡的長是()

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得4D=A3=2,NB=/ADB,CE=DE,/C=/CDE,可得//。￡=90。，繼而設(shè)

AE=x,則CE=DE=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：；沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處，

：.AD=AB=2,/B=/ADB,

???折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，

:.CE=DE,NC=NCDE,

-：ABAC=90°,

：.￡B+ZC=90°,

AADB+^CDE=90°,

：.4ADE=90。,

:.AD2+DE2=AE2,

設(shè)AE=x,貝I」CE=DE=3-x,

.-.22+(3-x)2=x2,

解得x=(

o

即AE1

6

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】一線三垂直模型

9.如圖，點(diǎn)刃、3(1,0),將線段AB平移得到線段DC,若NABC=90°,BC=2AB,則點(diǎn)。的坐

c.(5,6)D.(6,5)

【答案】D

【分析】先過點(diǎn)C做出x軸垂線段CE,根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)計算出對應(yīng)。

點(diǎn)的坐標(biāo).

如圖過點(diǎn)。作x軸垂線，垂足為點(diǎn)瓦

:ZABC=900

:.ZABO+NCBE=90°

:ZCBE+BCE=90°

:.ZABO=NBCE

在AABO和ABCE中，

ZABO=ZBCE

ZAOB=NBEC=90°'

.-.△ABO-LBCE,

,AB__AO_OB_J_

''BC-BE-EC-2,

則BE=2AO=6,EC=20B=2

???點(diǎn)C是由點(diǎn)8向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，

.?.點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)/向右平移6個單位，向上平移2個單位得到,

?點(diǎn)/坐標(biāo)為(0,3),

二點(diǎn)。坐標(biāo)為(6,5),選項D符合題意，

故答案選D

【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)找出圖象左右、

上下平移的距離是解題的關(guān)鍵.

10.如圖①，在矩形ABCD中，〃為CD邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)/出發(fā)沿折線——運(yùn)動到點(diǎn)

3停止，點(diǎn)N從點(diǎn)/出發(fā)沿AB運(yùn)動到點(diǎn)3停止，它們的運(yùn)動速度都是lcm/s,若點(diǎn)M、N同時開始運(yùn)動,

設(shè)運(yùn)動時間為t(s),△的面積為S(cm2),已知S與/之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的

②在運(yùn)動過程中，使得△為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個.

③當(dāng)。vtW6時，S=小2

④當(dāng)t=9+4加寸，△ADHABM.

⑤當(dāng)9Vt<9+W由寸，S=-3t+9+W3.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③④⑤

【答案】A

【分析】由圖②可知：當(dāng)0<合6時，點(diǎn)”、N兩點(diǎn)經(jīng)過6秒時，S最大，此時點(diǎn)”在點(diǎn)〃處，點(diǎn)N在點(diǎn)8

處并停止不動；由點(diǎn)河、N兩點(diǎn)的運(yùn)動速度為lcm/s,所以可得47=/8=6cm,利用四邊形/BCD是矩形可

知CD=4B=6cm；當(dāng)6.9時，S=W3且保持不變，說明點(diǎn)N在2處不動，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動，運(yùn)動時

間為(9-6)秒，可得8C=3cm,即點(diǎn)〃為CD的中點(diǎn)；利用以上的信息對每個結(jié)論進(jìn)行分析判斷后得出結(jié)

論.

【詳解】解：由圖②可知：點(diǎn)初、N兩點(diǎn)經(jīng)過6秒時，S最大，此時點(diǎn)〃■在點(diǎn)打處，點(diǎn)N在點(diǎn)2處并停止

不動，如圖，

①?.?點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動速度為Icm/s,

.,.AH=AB=6cm,

???四邊形是矩形，

/.CD=AB=6cm.

■：當(dāng)t=6s時，S=W3cm2,

：」2XABXBC=E3

:.BC=3^~3.

當(dāng)6<t<9時，S=H3且保持不變，

.?.點(diǎn)N在3處不動，點(diǎn)M在線段HC上運(yùn)動，運(yùn)動時間為（9-6）秒,

：.HC=3cm,即點(diǎn)〃為CD的中點(diǎn).

:.BH=^/CH2+BC2=6.

：.AB=AH=BH=6,

加■為等邊三角形.

/HAB=60°.

???點(diǎn)河、N同時開始運(yùn)動，速度均為lcm/s,

:.AM=AN,

.?.當(dāng)0</6時，AAMN為等邊三角形.

故①正確；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)初在4D的垂直平分線上時，△4DN為等腰三角形：

此時有兩個符合條件的點(diǎn)；

當(dāng)時，ZUDM為等腰三角形，如圖:

當(dāng)■時，為等腰三角形，如圖:

綜上所述，在運(yùn)動過程中，使得△4D"為等腰三角形的點(diǎn)河一共有4個.

二②不正確；

③過點(diǎn)”作ME工43于點(diǎn)瓦如圖，

由題意：AM=AN=t,

由①知：/必3=60。.

在RtZUME中，

：

■smZMAEA-M-,

：.ME=AM-sm60°^yt,

:.S=^4NxME=^x—txt=—t2.

2224

...③正確；

④當(dāng)Z=9+J%寸，CM*,如圖，

由①知：BC=3y/3,

:.MB=BC-CM=2>/~3.

,AB=6,

/x，，nBM2>l~3y/~3

：.tmZMAB=—=—=—

/\.DOJ

：.￡MAB=3Q°.

NHAB=60。,

/.ZD^//=90°-60°=30°.

/DAH=/BAM.

?.?/。=/5=90。，

/.LADHSAABM.

，④正確；

⑤當(dāng)9＜，＜9+W%寸，此時點(diǎn)用■在邊8C上，如圖,

此時MB=9+距-t,

：.S=^xABxMB=^x6x（9+t）=27+9^3-3t.

二⑤不正確；

綜上，結(jié)論正確的有：①③④.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，三角形的面積,

等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值.對于動點(diǎn)問題，依據(jù)

已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，已知點(diǎn)8,E,C,尸依次在同一條直線上.若=8,CE=5,則CF

的長為.

【答案】3

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：EF=BC=8,

/.CF=EF—CE=8—5=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

12.一個三角形的兩邊長分別是3和5,則第三邊長可以是.（只填一個即可）

【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理:三角形兩邊之和大于第三邊,三角形的兩邊差小于第三邊可得5-3<

x<5+3,再解即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊長為x,由題意得：

5-3<x<5+3,

則2Vx<8,

故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.

13.【原創(chuàng)題】若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面

積為.

【答案】36+見馬漢飛+36

【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長為Z進(jìn)而根據(jù)表面積等于兩個底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求

解.

【詳解】解：,?,側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，

底面周長為6,

?.?底面為正三角形，

二正三角形的邊長為2

作CD1AB,

???△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2,

AD=7,

???在直角AADC中，

CD=-JAC2-AD2=VJ,

"S^ABC=(x2x43=43；

該直三棱柱的表面積為6x6+箱=36+R&

故答案為：36+見飛.

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在由△ABC中，NC=9。。，BCvAC.點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，連接DE,將ABDE

沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)若點(diǎn)B'剛好落在邊AC上，ZCBE=30°,CE=3,則BC的長

為.

【答案】9

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出B'E=BE=2CE=6,即可求解.

［詳解］解「.將ABDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)點(diǎn)B剛好落在邊AC上，在ABC中，NC=

90°,BC<AC,NCB'E=3b,CE=3,

BE—BE—2CE—6,

BC=CE+BE=3+6=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與規(guī)律探究——圖形類規(guī)律

15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A7、A2,A?、A」…在x軸的正半軸上，點(diǎn)B7、B2.…在直線，=

yx(x>0)±.,若點(diǎn)的坐標(biāo)為(2。，且△A7B7A2、△A2B2A3,△A3瑪4…均為等邊三角形.則

點(diǎn)B2叱3的縱坐標(biāo)為___________.

【答案】22。22埼

【分析】過點(diǎn)作A7M_Lx軸，交直線y=￡x（xN。）于點(diǎn)過點(diǎn)當(dāng)作87c_LX軸于點(diǎn)C,先求出

NAjOM=3CP,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得A7=OA7=2,然后解直角三角

形可得B7c的長，即可得點(diǎn)B7的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點(diǎn)BzBsB”的縱坐標(biāo)，最后歸納類推出一

般規(guī)律，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A7作A7M1x軸，交直線y=yx（x>①于點(diǎn)M,過點(diǎn)作B,C1x軸于點(diǎn)C,

???AL,

?-OAJ=2,

當(dāng)x=2時，y=亭，即M（2,亭），A7M=岑，

tanZAjOM=—^~=—,

/AjO3'

???ZAjOM=30°,

???△A/B7A2是等邊三角形，

NA2AjB7=60°,AjA2=A7Bj,

??.Z.OBjAj=30°=Z.AjOM,

AjB7—OA；—2,

B,C=AJB,-sin60°=2^,即點(diǎn)B7的縱坐標(biāo)為2x

同理可得：點(diǎn)%的縱坐標(biāo)為22x1,

點(diǎn)口3的縱坐標(biāo)為

點(diǎn)鞏的縱坐標(biāo)為/x],

歸納類推得：點(diǎn)環(huán)的縱坐標(biāo)為乃1="〃3⑺為正整數(shù)）,

則點(diǎn)口2及3的縱坐標(biāo)為N°23-^5=22。22?,

故答案為：22。22g

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識點(diǎn),

正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

16.【創(chuàng)新題】如圖，在△ABC中，AB=AC,NAV%。，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,CA±.,連接

DE,EF,FD,已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對稱.設(shè)%=k,若AD=DF,則/=_________（結(jié)果用

AnrA

含k的代數(shù)式表示）.

【答案】裊

【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明DEIIAC,再證△BDE-aBAC,推出EC=^hAB,

通過證明△ABCgECF,推出CF==k2.AB,即可求出音的值.

zrA

【詳解】解：???點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線。E對稱，

??.DB=DF,

???AD=DF,

??.AD=DB.

???AD=DF,

:.NA=Z.DFA,

一點(diǎn)B和點(diǎn)尸關(guān)于直線OE對稱，

??.ZBDE=NFDE,

又??,Z.BDE+NFDE=ZBDF=ZA+NDFA,

NFDE=ZDFA,

???DEWAC,

/.ZC=ZDEB,NDEF=NEFC,

???點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線。E對稱，

??.NDEB=NDEF,

?,.NC*=NEFC,

???AB=AC,

??.NC=N_B,

在^^5。和aECF中，

NB=NC

{ZACB=NEFC'

??.△ABC-△ECF.

???在△ABC中，OEIIAC,

/.ZBDE=ZA,NBED=NC,

??.△BDE-△BAC,

.BE__BD_1_

BC-BA-?

EC=」BC,

2

BC

v——=k7.

AB'

BC=k-AB,EC=1k-AB,

'2'

v△ABC-△ECF.

.AB_BC

??EC~~CFf

.AB_k-AB

"夫AB-CF'

解得CF^jk2-AB,

.CF__CF_CF_次2.AB_k2

"FA-AC-CF-AB-CF-AB-^2-AB-2-k2'

故答案為：/記.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明△ABC?AECF.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.如圖，ABWCD,直線MN與ABCO分別交于點(diǎn)及F,CO上有一點(diǎn)G且GE=GF,N7=722。.求

N2的度數(shù).

M

【分析】根據(jù)ABIICD,可得NDFE=N7=722。，從而得到NEFG=55°,再由GE=GF,可得

NFEG=NEFG=58°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：：AB\\CD,21=122。

:.NDFE=N7=722°,

:.ZEFG=7800-NDFE=58°,

-GE=GF,

:.AFEG=NEFG=58°,

:.Z.2=780°-ZFEG-ZEFG=64°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】射影定理(相似)

18.在RtaABC中，NBAC=好,AO是斜邊BC上的高.

(1)證明：△ABDsaCBA；

(2)若AB=6,BC=10,求BO的長.

【答案】⑴見解析

(2)BD=v

【分析】(1)根據(jù)三角形高的定義得出NADB=9〃，根據(jù)等角的余角相等，得出NBAD=NC,結(jié)合

公共角NB=NB,即可得證；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?NBAC=&7°,AD是斜邊BC上的高.

:.AADB=90°,ZB-FZC=90°

..ZB+ABAD=9/

:.ZBAD=NC

又NB=NB

，△ABD-△CBA,

（2）/△ABDCBA

.AB__BD

'''CB~'ABy

又AB=6,BC=10

些=之=衛(wèi)

CBW5

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

19.AABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.

①以點(diǎn)C為位似中心，作出AABC的位似圖形△AiBiC,使其位似比為1：2,且AAiBiC位于點(diǎn)C的異側(cè),

并表示出Ai的坐標(biāo).

②作出aABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形4AzB2c.

③在②的條件下求出點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長.

【答案】①作圖見解析，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3,-3）；②作圖見解析；③?“

【分析】①延長AC到Ai使AiC=2AC,延長BC到Bi使BC=2BC,則△AtBiC滿足條件;

②利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B的對應(yīng)點(diǎn)A2、B2,從而得到4A2B2c.

③先計算出OB的長，然后根據(jù)弧長公式計算點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長.

【詳解】解：①如圖，△AiBiC為所作，點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（3,-3）；

②如圖，4A2B2c為所作；

點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長=絲察=『.

loUZ

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長位似中

心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得

到放大或縮小的圖形.也考查了旋轉(zhuǎn)變換.

20.如圖，在梯形ABCD中AD||BC,點(diǎn)尸,E分別在線段BC,AC上，且NFAC=NADE,AC=AD

(1)求證：DE=AF

(2)若NABC=NCDE,求證：AF2BF-CE

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDAE=/ACF,再根據(jù)三角形的全等的判定可得△DAE

ACF,然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NAFC=NDEA,從而可得NAFB=NCED,再根據(jù)相似三角形

的判定可得△ABF-ACDE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】(1)證明：???ADIIBC,

Z.DAE=Z.ACF,

ZDAE=ZACF

在△DAE和△AC尸中，｛AD=CA

ZADE=ZCAF

??.△DAE=△ACF(ASA),

DE=AF.

(2)證明：???△DAE三△ACF,

Z.AFC=Z.DEAt

???18cp-ZAFC=18cp-NDEA,即NAFB=NCED,

ZAFB=ZCED

在△ABF和△COE中

ZABF=NCDE

??.△ABF-△CDE,

.AF__BF

"'CE

由(1)已證：DE=AF,

.AF__BF_

"~CE~'AFf

：.AF2=BF-CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

21.綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

圖1圖2

⑴直接寫出紙板上NABC與紙盒上NA,B7c7的大小關(guān)系;

(2)證明(1)中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】(l)NABC^ZAJBJCJ

⑵證明見解析.

【分析】(1)△ABC和AA7B7c7均是等腰直角三角形，^ABC=AA1B1C1^45°；

(2)證明△ABC是等腰直角三角形即可.

【詳解】(1)解：^ABC=ZAJBJCJ

(2)證明：連接AC,

設(shè)小正方形邊長為1,則AC=BC="+22=V5,AB=I2+32=VTo,

VAC2+BC2=5+5=AB2,

ABC為等腰直角三角形，

AjCj=BjCj=1,A]CjA.BjCj,

.??△A787c7為等腰直角三角形，

?t.Z.ABC=Z.AjBjC7=45°,

故NABC=NA787c7

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

22.如圖，一次函數(shù)9=kx+3(k為常數(shù)，k#0)的圖象與反比例函數(shù)y為常數(shù)，m豐。的圖象

在第一象限交于點(diǎn)A(7,n),與x軸交于點(diǎn)

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為V==x+匕,反比例函數(shù)的解析式為y=：

(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入再解方程即可得出答案；

(2)首先利用勾股定理求出得的長，再分兩種情形討論即可.

【詳解】⑴解：把點(diǎn)B(—3。)代入一次函數(shù)y=kx+耨，

,9

-3k+-=0,

4

解得：k=：,

故一次函數(shù)的解析式為y+{

把點(diǎn)A(〃n)代入y=]+*得。=!行=3,

A(1,3),

把點(diǎn)入〃,彳代入，=々，得m=3,

故反比例函數(shù)的解析式為y=*

(2)解：B(-3。)，A(1,3),AB>l32+[1-(-3)]2-5,

當(dāng)AB=PB=5時，P(-8,0)或(2,0),

當(dāng)PA=AB時，點(diǎn)P,B關(guān)于直線x=7對稱，

P(5,0),

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-8,0或總。)或傳;0).

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識,

運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵.

23.【原創(chuàng)題】如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)。，E,尸分別在邊AB,BC,CA上運(yùn)動,

滿足AD=BE=CF.

c

E

\\

ADB

(1)求證：ZxADF三△BED；

(2)設(shè)AD的長為x,△DE尸的面積為八求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù)，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化.

【答案】(1)見詳解

(2)y=哼乂2_W3x+W3

(3)當(dāng)2vxv4時，△DEF的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)0vxv2時，△DEF的面積隨AD的增大

而減小

【分析】(1)由題意易得AF=B。，NA=NB=60。,然后根據(jù)“SAS”可進(jìn)行求證；

(2)分別過點(diǎn)C、尸作CH1AB,FG1AB,垂足分別為點(diǎn)H、G,根據(jù)題意可得S4A^C=AF=4-

x,然后可得FG=亨(4—x),由⑴易得△ADF三△BED三△(?”，貝第S叱DF=S.ED=

S^CFE罟X(4-X),進(jìn)而問題可求解；

(3)由(2)和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：:△ABC是邊長為4的等邊三角形，

Z.A.=NB=NC=60°,AB=BC=AC=4,

:AD=BE=CF,

:.AF=BD=CE,

在44。尸和aBE。中，

AF=BD

{NA=NB,

AD=BE

:△ADF=△BED(SAS)；

(2)解：分別過點(diǎn)C、/作CHLAB,FGlABf垂足分別為點(diǎn)H、G,如圖所示：

c

在等邊△ABC中，NA=NB—Z.ACB=60°,AB—BC=AC=4,

/.CH=AC-sin60。=R3,

，SAABC-CH=r3,

設(shè)A。的長為x,則AD=BE=CF=x,AF=4-x,

FG=AF?sin60。=亨(4—x),

-SAADF=iAD.FG=^x(4-x),

同理(1)可知△ADF三△BE。三△C尸E,

「,SAADF=S"ED=S^CFE=7x(4-x),

?「△DE尸的面積為乂

-y=S.BC-3sPDF=/一哼x(4-x]=^x2-W3x+4。

(3)解：由(2)可知：y=丁*2-R3x+R3,

:.a=咚>0,對稱軸為直線x=-二駕=2,

4為當(dāng)

.,.當(dāng)x>2時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小；

即當(dāng)2vxv4時，△DEF的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)。vxv2時，△DEF的面積隨AD的增大

而減小.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二

次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】手拉手模型

24.如圖1,△4SC是等邊三角形，點(diǎn)D在△/BC的內(nèi)部，連接將線段繞點(diǎn)N按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

60°,得到線段連接AD,DE,CE.

圖1圖2

(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

⑵延長ED交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時，直接用等式表示線段NE,和CE的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸為線段"中點(diǎn)，且助=E。時，猜想/胡。的度數(shù)，并說明理由.

【答案】(1)BD=CE,理由見解析

(2)①BE=AE+CE；②NBA。=45°,理由見解析

【分析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到△ABD三△ACE(SAS),再由全等三角形的

性質(zhì)求解；

(2)①根據(jù)線段A。繞點(diǎn)/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)6〃得到AE得到△ADE是等邊三角形，

由等邊三角形的性質(zhì)和(1)的結(jié)論來求解；②過點(diǎn)工作AG_LEF于點(diǎn)G,連接/凡根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到NBAF=NDAG,黑=蕓，進(jìn)而得到△BADFAG,進(jìn)而求出

A.L)A.JJ

NADB=90結(jié)合BD=CE,EO=EC得到BD=AD,再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】⑴解：BD=CE.

證明：1?△ABC是等邊三角形，

:.ABAC,ZBAC-60°.

?.?線段AD繞點(diǎn)/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)6療得到AE,

/.AD=AE,Z.DAE=60°,

:.Z.BAC=ZDAE,

:.ABAC-ADAC=ADAE-ADAC,

即NBA。=ZCAE.

在^^8。和^ACE中

AB=AC

{ABAD=ZCAE,

AD=AE

/.AABD=AACE(SAS),

BD-CE；

(2)解：①BE=AE+CE

理由：〔.線段AD繞點(diǎn)/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)6〃得到AE,

.1△ADE是等邊三角形，

:.AD=DE=AE,

由(1)得BD=CE,

BE—DE+BD—AE+CE；

②過點(diǎn)/作AGJLEF于點(diǎn)G,連接NR如下圖.

ADE是等邊三角形，AG1DE,

:.ZDAG=)DAE=30

=cosZDAG=—.

AD2

?「△ABC是等邊三角形，點(diǎn)尸為線段8c中點(diǎn)，

:.BF=CF,AF1BC,ZBAF=jzBAC=30°,

—AF=cosX/BCAAFL=—,

AB2'

:.ZBAF=ZDAG,—ADAB",

:.ZBAF+ADAF=ZDAG+ADAF,

即NBA。=ZFAG,

/.△BADFAG,

:.ZADB=NAGF=90°.

:BD=CE,ED=EC,

:.BD=AD,

即^AB。是等腰直角三角形，

..ABAD=45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相

似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵.

25.已知拋物線y=ax2+6x+c與x軸交于/(-2,0)、8(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸在直線BC下方的拋物線上，連接/P交2c于點(diǎn)當(dāng)鬻最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及黑的最大

值；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)尸作x軸的垂線/,在/上是否存在點(diǎn)。，使△BCD是直角三角形，若存在，

請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=32-x—3(2)P(3,-^),看(3)(3,