廣元中學(xué)2024年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1二

1.曲線y=§x3+21nx上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()

3

A.3B.2C.-D.1

2

1,11

2.已知函數(shù)/(x)=§取3+x2(a>0).若存在實(shí)數(shù)x°e(-l,0),且萬，使得/(/)=/(—萬)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為()

22121Q

A.(j,5)B.(-,3)0(3,5)C.(y,6)D.(—,4)u(4,6)

3.方程/(x)=/(x)的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)/(%)的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)g(x)=Inx的“新駐點(diǎn)”為。，那么。滿足()

A.<7=1B.Q<a<\C.2<a<3D.l<a<2

4.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，到2018年底，全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里，其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬公

里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位：萬公里)的折線圖，以

下結(jié)論不正確的是()

T-育健量。

相：年份代01-5分91時(shí)應(yīng)年好20I4-201K

A.每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著

B.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)

C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上

D.從2014年到2018年這5年，高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列

5.半徑為2的球。內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()

A.9A/3B.126C.166D.18月

6.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)

數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）

o-o-o-oooo

7.將函數(shù)/（x）=cosx的圖象先向右平移3萬個(gè)單位長(zhǎng)度，在把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓ぃā＃?）倍，縱

6CD

TT3萬

坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在?，寧）上沒有零點(diǎn)，則0的取值范圍是（）

D.(0,1]

已知直線乙：以+2y+4=0,4：x+(a—l)y+2=0,貝!|“a=T”是”4力”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積

為（）

B.2」D.8A/3

10.函數(shù)/（x）=sin3x+0）的部分圖象如圖所示，則/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

B.-----F2ATT,------F2ATT,kRZ

L44J

C.-----卜k,------Fk,keZD.-----卜2k,----卜2k,kjZ

4444

11.已知等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且。2=-2,必=1°，則品=()

A.45B.42C.25D.36

12.如圖，AB=2是圓。的一條直徑，為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB-(AC+AD)=()

A.-B.4C.2D.1+73

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)M(3,/(3))處的切線方程是y=gx+2,則/(3)+尸(3)的值等于.

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=lg(9尤2+1)+/一1,則不等式〃1083》)+/(1。83工)42的解集為.

X

21

15.已知處6均為正數(shù)，且。+6=1,生三—1的最小值為.

2ab

16.已知非零向量”力的夾角為W，S.\b\=l,\2a-b\=^3,則卜卜.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-l|+|x—2|.若不等式|a+b|+|a—b以|a|f(x)(a/),a、b6R)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=ox(2+cosx)-sinx,/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)若。=1,證明/(X)在區(qū)間「￡弓］上沒有零點(diǎn)；

(2)在xe(O,+s)上/(x)>0恒成立，求。的取值范圍.

19.（12分）如圖1,在等腰及AABC中，ZC=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，尸為CD的中點(diǎn)，G在線

段上，且BG=3CG。將AAD石沿OE折起，使點(diǎn)4到A的位置（如圖2所示），且

（1）證明：3E//平面A^G；

（2）求平面ABG與平面ABE所成銳二面角的余弦值

20.（12分）已知三棱柱ABC—A5cl中，AB=BB[=2,。是的中點(diǎn)，/用癡=60。，B}D1AB.

（1）求證：AB±AC；

（2）若側(cè)面ACG4為正方形，求直線用。與平面GA。所成角的正弦值.

x=1+2coscc

21.（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為：\廠（￡為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正

y=，3+2sina

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長(zhǎng)度單位相同.

（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；

X=tCOS（pL

（2）若直線/：,“a為參數(shù)）被圓c截得的弦長(zhǎng)為26，求直線/的傾斜角.

y=tsin0

22.（10分）已知函數(shù)〃X）=；九2一以+（0—1）12,且⑴二人一知比的最大值為！..

（1）求實(shí)數(shù)分的值；

（2）當(dāng)a>1時(shí)，討論函數(shù)/（力的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=0時(shí)，令*x)=2/(x)+g(x)+21m;+2,是否存在區(qū)間［加,〃仁(1,+9),使得函數(shù)歹(可在區(qū)間恤河

上的值域?yàn)椋圩?m+2)/5+2)］?若存在，求實(shí)數(shù)"的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率左23,即可得出答案.

【詳解】

解：由于y=—13+21nx,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：

3

22

k=f^=x+l=x+l+l>33^.1.1=3(x>0),

即切線斜率左23,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號(hào)成立，

所以y=§d+2inx上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.

2、D

【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)

果.

【詳解】

fr(x)=ax2+2x,令r(x)=0,得％=0,%=——.

其單調(diào)性及極值情況如下：

KT_21訓(xùn)

X0（0,+“）

a

/'（X）+0-0+

極小

/（X）/極大值

值

若存在為￡1T,一；七，。），使得/（元0）=/1-；），

a2

2312

則<——>-1（如圖1）或---<---<---（如圖2）.

aala

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,

畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.

3、D

【解析】

由題設(shè)中所給的定義，方程/(x)=/'(x)的實(shí)數(shù)根.%叫做函數(shù)/(X)的“新駐點(diǎn)”，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出。的大致

范圍

【詳解】

解：由題意方程/(X)=f\x)的實(shí)數(shù)根無。叫做函數(shù)/(X)的“新駐點(diǎn)”，

對(duì)于函數(shù)g(x)=/“，由于g'(X)=L

X

71

..true—,

x

設(shè)/z(x)=/nr-,，該函數(shù)在(0,+00)為增函數(shù)，

X

/z(l)=-1<0,〃⑵=ln2-；=ln2—lny[e>0,

???丸。)在(1,2)上有零點(diǎn),

故函數(shù)g(x)=欣的“新駐點(diǎn)”為。，那么l<a<2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題是一個(gè)新定義的題，理解定義，分別建立方程解出a存在范圍是解題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于

基礎(chǔ)題?.

4、D

【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解

【詳解】

選項(xiàng)A,3顯然正確；

2Q-16

對(duì)于C,-——->0.8,選項(xiàng)C正確；

1.6

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)歹U，故。錯(cuò).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)，是基礎(chǔ)題

5、B

【解析】

，，，，4，

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為a，a，底面邊長(zhǎng)與高分別為z丸，利用。M=。吠+&A2,可得外=i6--x2,

進(jìn)一步得到側(cè)面積S=3xh,再利用基本不等式求最值即可.

【詳解】

如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為a，a，底面邊長(zhǎng)與高分別為X”，則QA=，3X，

23

Z?2丫24

2

在RtAO4a中，—+^_=4,化為外=16——%,

433

S=3xh,

^2+12-X2Y

.-.s2=9X2/Z2=12X2(12-%2)?=432,

當(dāng)且僅當(dāng)了="時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S=12jL

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

6、C

【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,

由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.

【詳解】

所有的情況數(shù)有：C；0=120種，

3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：

（1,2,3）,（3,4,5）,（5,6,7）,（7,8,9）,（1,4,7）,（3,6,9）,（1,3,5）,（3,5,7）,（5,7,9）,（1,5,9）,共10種，

所以目標(biāo)事件的概率P=U~=L.

12012

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行

分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.

7、A

【解析】

57r

根據(jù)y=Acos(sx+9)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，根據(jù)定義域求出。x-二的范圍，再利用余弦函數(shù)的

6

圖象和性質(zhì)，求得。的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)f(x)=cosx的圖象先向右平移-71個(gè)單位長(zhǎng)度，

6

可得y=cos］x—K］的圖象，

再將圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?。＞0)倍(縱坐標(biāo)不變),

0)

得到函數(shù)g(X)=cos-皆］的圖象，

27r

???周期T=——，

co

jr37r

若函數(shù)g(x)在(,，耳)上沒有零點(diǎn)，

.CD7i57r57r3co兀57r

a)2<1,解得OVGKI,

n7,on57r

----\-kn<--------

226533①4J7,G1

又＜解得------<左<------，

71,3(D7r57r2323

—+k7i>

[226

28

當(dāng)左=0時(shí)，解一W0W一,

39

2

當(dāng)仁-1時(shí)，可得0＜0〈一,

9

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)y=4cos（sx+中）的圖象變換及零點(diǎn)問題，此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建不等關(guān)系式，求解可

得，屬于較難題.

8、C

【解析】

先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍，可得到答案.

【詳解】

直線4:ox+2y+4=0,4：l+（0-1）丁+2=0,|||/2的充要條件是a（a-l）=2=>a=2曲=一1,當(dāng)a=2時(shí)，化

簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終2=】因此得到“。=-1”是“/11|/2”的充分必要條件.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

判斷充要條件的方法是：①若p"q為真命題且qnp為假命題，則命題P是命題q的充分不必要條件；②若P=q為假

命題且q=>p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若pnq為真命題且q=>p為真命題，則命題p是命題

q的充要條件；④若p=>q為假命題且q=>p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與

命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題P與命題q的關(guān)系.

9、B

【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.

【詳解】

解：分析題意可知，如下圖所示，

該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐A-BCD,

最大面的表面邊長(zhǎng)為2^/2的等邊三角形ABC,

故其面積為息(2回2=273，

4

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題.

10、D

【解析】

3

由圖象可以求出周期，得到。，根據(jù)圖象過點(diǎn)(1,-1)可求9,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.

【詳解】

T51

由圖象知一=

244

24

所以T=2，(D-——-71,

2

3

又圖象過點(diǎn)(才-1),

377

所以—l=sin(—+夕)，

4

3兀

故?？扇∫唬?/p>

4

37r

所以/(%)=sin(%x+—)

4

TT7T

^2k7v--<7rx+—<2k7i+-,keZ,

242

解得2k--<x<2k--,keZ

44

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為—3+2左,一：+2左,keZ

44

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.

11、D

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知％+%=?2+。8,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式即可.

【詳解】

9（6+9）9（%+8）9x（—2+10）?

由題,S9=。。

222

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

12、B

【解析】

連接8、OD,即可得到/。45=2005=60°，AC=1,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;

【詳解】

解：連接CD、OD,

C,。是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，.-.CD//AB,且AB=2CD,ZCAB=ZDOB=60°

所以四邊形A8C為棱形,

AC-AB=|AC|.|AB|cosABAC=lx2x1=l

=AB^AC+（AC+-AB]=AB.2AC+-AB

AB.（AC+AD）1

2J2J

12

=2AC-AB+-AB.

2

1

=2xl+-x229=4

2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

10

13、—

3

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.

【詳解】

由已知，/(3)=1,/(3)=1x3+2=3,故/(3)+/'(3)=日.

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點(diǎn)的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.

14、耳,3]

【解析】

易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且為(f)=lg[9(f)2+l]+(f)2—l=f(x),則/(x)是R上的偶函數(shù).由于〃=9d+l在

[0,+8)上單調(diào)遞增，而y=1g”在〃e[1,+對(duì)上也單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=lg(9f+1)在[0,+?)上單調(diào)遞增，

又y=-1在[0,+8)上單調(diào)遞增，故知/(%)=lg(9尤2+1)+尤2-1在[0,+co)上單調(diào)遞增.令f=logsX,知log-=-t,

3X

2

則不等式/(log3x)+/(log3l)＜2可化為/(/)+/(-/)42,即2于(t)42,可得/(?)41,又/(I)=lglO+l-1=1,/⑺是

X

偶函數(shù)，可得⑴，由/(尤)在[0,+8)上單調(diào)遞增，可得|現(xiàn)3幻＜1,則TVlogsXWl,解得故不

等式/(log,x)+/(log3-)＜2的解集為[-,3].

、x3

15、V2

【解析】

本題首先可以根據(jù)。+b=1將竺"-1化簡(jiǎn)為-+然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.

2abb2a

【詳解】

因?yàn)閍+b=l,

所以d±l_i/+m+萬—

lablabb2a\b2a

?7b

當(dāng)且僅當(dāng)7=＜，即。=行一1、沙=2—0時(shí)取等號(hào)，

b2a

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為a+匕？14ab(a0乃＞0)，在使用基本不等式的時(shí)候要注意“=”

成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

16、1

【解析】

由已知條件得出4d2-4|a|-g|?cos<%b〉+戶=3,可得2|。|2-|a|-1=0,解之可得答案.

【詳解】

向量a,b的夾角為?，且|2"切=百，|6|=1,可得：4〃_4|小聞?cos<a,b>+b2=3,

可得21al2—|a|—1=0,解得|。|=1,

故答案為:1.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可，屬

于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15

17、-<x<-

22

【解析】

_\a——”+|a+瓦\(yùn)a——Zj|+la+Z?|_

由題知，|x—l|+|x—2|<--------廠1--------恒成立，故|x-l|+|x—2|不大于------?-------的最小值.

VIa+b|+|a-b|>|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)?(a—b)K)時(shí)取等號(hào)，

la-瓦+|a+瓦

J————?的最小值等于2.

同

.??X的范圍即為不等式|x-l|+|x-2|W2的解，解不等式得;Wxwg.

18、(1)證明見解析(2)1,+coj

【解析】

(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出了‘(X),再由函數(shù)/'(X)的導(dǎo)數(shù)可知，

函數(shù)/(X)在(goj上單調(diào)遞增，在］0弓］上單調(diào)遞減，而/［一￡|〉0，廣百|(zhì)>°，可知/'。)>0在區(qū)間

上恒成立，即/‘(X)在區(qū)間1一半!^上沒有零點(diǎn)；

cinxcinV

(2)由題意可將/(x)>0轉(zhuǎn)化為依-一吧，>0,構(gòu)造函數(shù)方(%)二狽-一絲，，

2+cosx2+cosx

利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在%￡(0,+8)上的單調(diào)性，由4nin>。，即可求出，的取值范圍.

【詳解】

(1)若a=l,貝！j/(%)=x(2+cos%)—sinx,fr(x)=2-xsinx,

設(shè)/z(x)=7'(%)=2-xsinx,貝！)”(x)=-sin%-%cos%,/z'(0)=0,

hr(-x)=sinx+xcosx=—h'(x),故函數(shù)"(九)是奇函數(shù).

當(dāng)時(shí)，sinx>0,xcosx>0,這時(shí)"(x)<0,

又函數(shù)〃'(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)日-M。]時(shí)，//(x)>0.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/'(X)單調(diào)遞增；當(dāng)x[o,gj時(shí)，函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減.

又廣2年?！?年0,

故尸(x)>0在區(qū)間上恒成立，所以/‘(X)在區(qū)間卜(?)上沒有零點(diǎn).

(sinx\

(2)/(x)=(2+cosx)ax---------,由cosxe[—l,l],所以2+cosx>0恒成立,

k乙V/Oo大J

竹「/、八Esinx八、.、sinx

若/(九)>0,貝!)辦---------->0,設(shè)方(%)=〃%----------,

2+cosx2+cosx

u，/_2cosx+1_23<11Y1

F(x)=ci--------------大=a--------------1-------------7=3---------------+a—

(2+cosx)-2+cosx(2+cosx)(2+cosx3J3

故當(dāng)時(shí)，尸(無)》0,又/(0)=0,所以當(dāng)尤>0時(shí)，F(xiàn)(x)>0,滿足題意；

(71\711

當(dāng)。<0時(shí)，有方=5'〃一5<。，與條件矛盾，舍去；

當(dāng)0<〃<,時(shí)，令g(x)=sin%—3or,貝！]g'(%)=cos%—3〃，

又3〃v1,故g'(%)=cosx—3〃=。在區(qū)間(0,+8)上有無窮多個(gè)零點(diǎn),

設(shè)最小的零點(diǎn)為西，

則當(dāng)xe(0,玉)時(shí)，g'(x)>0,因此g(x)在(0,玉)上單調(diào)遞增.

g(x)>g(0)=0,所以sinx>3mr.

十口e(c\rt_Lsin九sinx，口sinx八一上山?工

于是，當(dāng)工￡(0,%)時(shí)，-------->----->ax9得辦----------<0,與條件矛盾.

2+cosx32+cosx

故。的取值范圍是；，+°0)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和

放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題.

19、(1)證明見解析

⑵眄

5

【解析】

(1)要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點(diǎn)"，連接DM，根據(jù)條件證明。M//3后,。河///6,即

BE//FG；

(2)以尸為原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為x軸，過尸作平行于cs的直線為y軸，五4所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系尸一孫Z,求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取的中點(diǎn)連接DM.

???56=306,，G為CM的中點(diǎn).

又尸為CD的中點(diǎn)，二EG//ZW.

依題意可知。后4〃，則四邊形為平行四邊形，

：.BE//DM,從而BE//FG.

又FGu平面A^G,BEa平面APG,

:.3E//平面A^G.

(2)DEJ_AD{,DEJ_DC,且AQDC—D,

二。石，平面ADC,Abu平面AD。，

DELA.F,

\FVDC,且DEcDC=D,

r.平面3C￡>E,

???以斤為原點(diǎn)，/C所在直線為X軸，過尸作平行于CB的直線為y軸，五4所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

F-xyz,不妨設(shè)CD=2,

則網(wǎng)0,0,0),4(0,0,6)，5(1,4,0),E(-l,2,0),G(l,l,0),

F\=(0,0,73),FG=(1,1,0),4E=(-1,2,-V3),EB=(2,2,0).

設(shè)平面4歹G的法向量為/=&,%,Z]),

n-F\=0

n-FG=0

令為=1,得3=(1,—1,0).

設(shè)平面A}BE的法向量為旭=（九2,%，Z2），

則m-\E=0日J(rèn)-%+2y2-=0

即<

m-EB-02x2+2y2=0

令冗2=1，得根=（1,一1，一百）.

1+1Vio

從而cos<m,n>=

72x75

710

故平面AFG與平面\BE所成銳二面角的余弦值為

"V

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計(jì)算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時(shí)，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時(shí)，需考慮構(gòu)造中位線或平行

四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.

20、(1)證明見解析(2)2叵

5

【解析】

(1)取的中點(diǎn)。，連接8,OBt,證明A3,平面。。用得出A3,O￡>,再得出ABLAC；

(2)建立空間坐標(biāo)系，求出平面GA。的法向量〃，計(jì)算cos<〃，耳。〉即可得出答案.

【詳解】

(1)證明：取AB的中點(diǎn)。，連接8,OBlf

ZB1BA=60°,=2,OB=^AB=1,

OB{=A/4+1-2X2X1XCOS60°=-J3,

OB2+OB；=BB；,故AB_LOB】，

又A3_LBQ,021fBiD=Bi,OB】,BQu平面ODB],

.IAB,平面。。用，

AB±OD,

O,。分別是A5，8C的中點(diǎn)，.?.OD//AC,

:.AB±AC.

(2)解：四邊形ACGA是正方形，.?.AC，A41,

又ACLAB,AB[\A\=A,AB,A4,u平面45月4,

.?.4。，平面4344,

在平面內(nèi)作直線AB的垂線AE,以4為原點(diǎn)，以AB,AC,AE為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0,0,0),0(1,1,0),G(-l,2,我,旦(1,0,B，

???AD=(1,1,0),AQ=(-1,2,73),BQ=(0,1,-揚(yáng)，

n-AD-0

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),貝叫,即〈

"?AG=o

令x=l可得：〃=(1,—1,g),

-B、D>=WM==一半

\n\\BtD\非5

直線BXD與平面QAD所成角的正弦值為Icos<n,>|=半.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間向量與空間角的計(jì)算，屬于中檔題.

21、(1)yo=4cos6--；(2)三或工

I3；62

【解析】

(1)消去參數(shù)a可得圓C的直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)夕2=必+丁2,x=pcosO,y=〃sin。即可得極坐標(biāo)方程；(2)

寫出直線/的極坐標(biāo)方程為夕=。，代入圓C的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.

【詳解】

x=l+2cosa、/

(1)圓C：<廣，消去參數(shù)a得：(x—1)一+y—可=4,

y=g+2sina',\

2222

即：X+/-2X-2A/3J?=0,Vp=x+y9x=pcosO,y=psmO.

Ap1-2pcos0-2yf3psinO=0,

夕=4cos[

x=tcos(p

(2)?.?直線/：<.的極坐標(biāo)方程為夕=。,

y=tsm(p

當(dāng)9=0時(shí)/?=4cos[e_g=2A/3.

即：cos(M3冗冗47171

-----,..(P----=一或Q---=---.

23636

71

?.?(p—_一?；?/二一，

26

???直線/的傾斜角為TT?或一T［.

62

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程，直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的幾何意義，屬于中檔題.

22、(1)2=0;(2)a=2時(shí),外力在(0,"。)單調(diào)增；l<a<2時(shí)，/(￡)在(a—1,1)單調(diào)遞減，在(0,a—1),(1,水》)

單調(diào)遞增；a>2時(shí)，同理/(%)在(La—1)單調(diào)遞減，在(0,1),(a—L”)單調(diào)遞增；⑶不存在.

【解析】

分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=J時(shí)，g(x)取得極大值，也是最大值，

由g(J=：+b=:,可得結(jié)果；(2)求出/(龍)，分三種情況討論。的范圍，在定義域內(nèi)，分別令/(%)>0求得x

的范圍，可得函數(shù)/(“增區(qū)間，/'(%)<0求得》的范圍，可得函數(shù)/