活頁(yè)作業(yè)(二十一)數(shù)學(xué)歸納法1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A．2 B．3C．5 D．6解析：當(dāng)n取1,2,3,4時(shí)2n＞n2＋1不成立；當(dāng)n＝5時(shí)，25＝32＞52＋1＝26.故第一個(gè)能使2n＞n2＋1的n值為5.答案：C2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N＋，n＞1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A．1＋eq\f(1,2)＜2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3解析：∵n＞1且n∈N＋，∴n取的第一個(gè)值n0＝2.∴第一步應(yīng)驗(yàn)證：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2.答案：B3．設(shè)Sk＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)，則Sk＋1為()A．Sk＋eq\f(1,2k＋2) B．Sk＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)C．Sk＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2) D．Sk＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,2k＋1)解析：Sk＋1＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＝Sk＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝Sk＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).答案：C4．若f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N＋)，則n＝1時(shí)f(n)是()A．1 B．eq\f(1,3)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3) D．以上答案均不正確解析：∵f(n)共有(2n＋1)項(xiàng)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，有2＋1＝3項(xiàng)，即f(1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3).答案：C5．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，則()A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有(n＋1)項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有(n2－n)項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有(n2－n＋1)項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：觀察分母的首項(xiàng)為n，最后一項(xiàng)為n2，公差為1，∴項(xiàng)數(shù)為n2－n＋1.答案：D6．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N＋)時(shí)第一步驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是______________.解析：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊要從1加到n＋3，即1＋2＋3＋4.答案：1＋2＋3＋47．已知每項(xiàng)都大于零的數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和Sn滿足Sneq\r(Sn－1)－Sn－1eq\r(Sn)＝2eq\r(SnSn－1)(n≥2)，則a81____________.解析：∵Sneq\r(Sn－1)－Sn－1eq\r(Sn)＝2eq\r(SnSn－1)，S1＝a1＝1，∴S2＝9，S3＝25，…，Sn＝(2n－1)2.利用數(shù)學(xué)歸納法可證明Sn＝(2n－1)2.∴a81＝S81－S80＝640.答案：6408．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，n∈N＋，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)＞eq\f(n,2)時(shí)，f(2n＋1)－f(2n)＝______________.解析：f(n)有n項(xiàng)，最后一項(xiàng)是eq\f(1,n)，f(2n)有2n項(xiàng)，最后一項(xiàng)是eq\f(1,2n)，f(2n＋1)有2n＋1項(xiàng)，最后一項(xiàng)是eq\f(1,2n＋1)，∴f(2n＋1)比f(wàn)(2n)多出的項(xiàng)為eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1).答案：eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1)9．設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,a＋x)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．(1)解：∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝eq\f(a,1＋a)，a3＝f(a2)＝eq\f(a,2＋a)，a4＝f(a3)＝eq\f(a,3＋a).猜想an＝eq\f(a,n－1＋a)(n∈N＋)．(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(a,1－1＋a)＝1.②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)猜想正確，即ak＝eq\f(a,k－1＋a)，則ak＋1＝f(ak)＝eq\f(a·ak,a＋ak)＝eq\f(a·\f(a,k－1＋a),a＋\f(a,k－1＋a))＝eq\f(a,k－1＋a＋1)＝eq\f(a,[k＋1－1]＋a).這說(shuō)明，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也正確．綜上可由①②知，對(duì)于任何n∈N＋，都有an＝eq\f(a,n－1＋a).10．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N＋)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．解：當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4＞12；當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6＞22；當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10＞32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18＞42.由此可以猜想：2n＋2＞n2(n∈N＋)成立．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，所以左邊＞右邊．故原不等式成立．當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4.故左邊＞右邊.當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，故左邊＞右邊．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3且k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即2k＋2＞k2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2.要證當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立，只需證2k2－2≥(k＋1)2，即證k2－2k－3≥0，即證(k＋1)(k－3)≥0.又因?yàn)閗＋1＞0，k－3≥0，所以(k＋1)(k－3)≥0.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．由①②可知，n∈N＋時(shí)，2n＋2＞n2.11．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為()A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：當(dāng)n＝k時(shí)，34k＋1＋52k＋1可被8整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋1×34＋52k＋1×52＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A12．在平面幾何中，有邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述命題，棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到4個(gè)面的距離之和為()A.eq\f(\r(4),3)a B．eq\f(\r(6),3)aC.eq\f(\r(5),4)a D．eq\f(\r(6),4)a解析：利用等體積法，四面體內(nèi)一點(diǎn)和4個(gè)頂點(diǎn)連線將四面體分成4個(gè)四面體，這4個(gè)四面體體積之和等于大的四面體體積．答案：B13．用數(shù)學(xué)歸納法證明－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)＝(－1)nn時(shí)，第二步中當(dāng)n＝k＋1時(shí)，要證明的式子應(yīng)為_(kāi)_________________________.解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1[2(k＋1)－1]＝－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1(2k＋1)．答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1)14．設(shè)f(n)＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)，則用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被9整除的過(guò)程中，f(k＋1)＝f(k)＋______________.解析：f(k＋1)＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝f(k)＋9k2＋27k＋27.答案：9k2＋27k＋2715．由下列不等式：1＞eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＞1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)＞eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)＞2，…，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明．解：猜想第n個(gè)不等式，即一般不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n,2)(n∈N＋)．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，1＞eq\f(1,2)，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＞eq\f(k,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)＞eq\f(k,2)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)＞eq\f(k,2)＋eq\f(2k,2k＋1)＝eq\f(k＋1,2)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也正確．所以對(duì)任意的n∈N＋，不等式成立．16．一種計(jì)算裝置，有一個(gè)數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B，按照某種運(yùn)算程序：①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到eq\f(1,3)，記為f(1)＝eq\f(1,3)；②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n(n≥2)時(shí)，在B口得到的結(jié)果f(n)是前一個(gè)結(jié)果f(n－1)的eq\f(2n－1－1,2n－1＋3)倍．(1)當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2,3,4時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想f(n)的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．(2)記Sn為數(shù)列{f(n)}的前n項(xiàng)和．當(dāng)從B口得到16192575的倒數(shù)時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sn的值．解：(1)由已知得f(n)＝eq\f(2n－3,2n＋1)f(n－1)(n≥2，n∈N＋)．當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(4－3,4＋1)f(1)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,15).同理可得f(3)＝eq\f(1,35)，f(4)＝eq\f(1,63).猜想f(n)＝eq\f(1,2n－12n＋1).(*)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1,2,3,4時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知(*)成立．②假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，(*)成立，即f(k)＝eq\f(1,2k－12k＋1)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝eq\f(2k－1,2k＋3)f(k)＝eq\f(2k－1,2k＋3)·eq\f(1,2k－12k＋1)，即f(k＋1)＝eq\f(1,[2k＋1－1][2k＋1＋1])，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(*)也成立．綜合①②可知，對(duì)所有的n∈N＋，f(n)＝eq\f(1,2n－12n＋1)恒成立．(2)由(1)可得eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,16192575)＝eq\f(1,2×2012－1×2×2012＋1)，∴n＝2012.∵f(n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴S2012＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1