2．4.3圓的方程習題課1.掌握圓的標準方程和一般方程的結(jié)構(gòu)特征．2.能根據(jù)題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題．3.能靈活運用圓的幾何性質(zhì)解決問題．活動一求圓的方程例1求以點A(1，2)為圓心，并與x軸相切的圓的方程．思考1???若將例1中“與x軸相切”變?yōu)椤芭cy軸相切”，則結(jié)果如何？例2求經(jīng)過點P(1，1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程．活動二圓的定義的應用例3已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．思考2???例3能否從圓的定義入手探求點M的軌跡方程？活動三圓的方程在實際問題中的應用例4(2024揭陽期中)如圖，m，n分別為某市兩條互相垂直的主干道所在的直線，其中O為m，n的交點．若A，B兩點分別為該市1路公交車的起點站和終點站，且A，B之間的公交線路是圓心在n上的一段圓弧，站點A到直線m，n的距離分別為1km和10km，站點B到直線m，n的距離分別為9km和6km.(1)建立適當?shù)淖鴺讼担蠊痪€路所在圓弧的方程；(2)為了豐富市民的業(yè)余生活，市政府決定在主干道n上選址建一游樂場，考慮到城市民居集中區(qū)域問題和環(huán)境問題，要求游樂場地址(注：地址視為一個點，設為點C)在點O上方，且點C到點O的距離d大于2km且小于10km，并要求公交線路(即圓弧AB)上任意一點到游樂場C的距離不小于2eq\r(13)km，求游樂場C距點O距離的最大值．

1.已知圓的內(nèi)接正方形相對的兩個頂點為A(5，6)，C(3，－4)，則該圓的方程為()A.(x＋4)2＋(y－1)2＝26B.(x－4)2＋(y－1)2＝104C.(x－4)2＋(y－1)2＝26D.(x＋4)2＋(y＋1)2＝262.(2024汕尾期末)已知點A(－1，0)，B(2，0)，動點M到點B的距離是它到點A的距離的2倍，則動點M的軌跡方程是()A.(x＋3)2＋y2＝3B.(x＋2)2＋y2＝4C.x2＋(y－3)2＝3D.x2＋(y＋2)2＝43.(多選)(2023全國模擬預測)已知A是圓P：(x－1)2＋(y－3)2＝1上任意一點，Q是直線x＋y－5＝0與x軸的交點，O為坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是()A.以線段AQ為直徑的圓周長最小值為8πB.△APQ面積的最大值為eq\f(5,2)C.以線段AQ為直徑的圓不可能過坐標原點OD.eq\o(QO,\s\up6(→))·eq\o(QA,\s\up6(→))的最大值為254.(2023北京十二中階段練習)由曲線x2＋y2＝x＋|y|圍成的圖形的面積為________．5.在平面直角坐標系Oxy中，已知四點A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3).(1)這四點是否在同一個圓上？如果是，求出這個圓的方程；如果不是，請說明理由；(2)求出到點A，B，C，D的距離之和最小的點P的坐標．

【參考答案與解析】2．4.3圓的方程習題課【活動方案】例1因為圓與x軸相切，所以該圓的半徑即為圓心A(1，2)到x軸的距離，即r＝2，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4.思考1：若圓與y軸相切，則圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝1.例2設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,(1－a)2＋(1－b)2＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5，))所以圓的標準方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝25.例3(1)設點C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡，得x2＋y2－2x－3＝0.故直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).(2)設點M(x，y)，C(x0，y0).因為B(3，0),M是線段BC的中點，由中點坐標公式，得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).思考2：由題意可知M是直角邊BC的中點，取AB的中點D(1，0)，則DM∥AC，所以DM⊥BM，所以點M的軌跡是以BD為直徑的圓(除去點B，D)，所以點M的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝1(y≠0).例4(1)以O為坐標原點，直線m，n分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(10，1)，B(6，9).設圓弧AB所在圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因為A，B之間的公交線路是圓心在n上的一段圓弧，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,(10－a)2＋(1－b)2＝r2，,(6－a)2＋(9－b)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，,r2＝100，))故公交線路所在圓弧的方程為x2＋(y－1)2＝100(6≤x≤10，1≤y≤9).(2)因為游樂場距點O的距離為d(2<d<10)km，所以C(0，d).設P(x，y)為公交線路上任意一點，則x2＋(y－1)2＝100(6≤x≤10，1≤y≤9)，即x2＝100－(y－1)2，且PC＝eq\r(x2＋(y－d)2)≥2eq\r(13)對公交線路上任意點P均成立，整理，得2(1－d)y＋d2＋47≥0對任意的y∈[1，9]恒成立，令f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47.因為2<d<10，所以函數(shù)f(y)＝2(1－d)y＋d2＋47在區(qū)間[1，9]上單調(diào)遞減，所以f(y)min＝f(9)＝d2－18d＋65≥0，解得d≤5或d≥13.又2<d<10，故2<d≤5，即游樂場C距點O距離的最大值為5km.【檢測反饋】1.C由題意，得圓心為(4，1)，圓的直徑長為AC＝eq\r((5－3)2＋(6＋4)2)＝2eq\r(26)，半徑長為eq\r(26)，所以圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝26.2.B設點M(x，y)，因為A(－1，0)，B(2，0)，且MB＝2MA，所以eq\r((x－2)2＋y2)＝2eq\r((x＋1)2＋y2)，整理，得x2＋y2＋4x＝0，即所求動點M的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4.3.BD由題意知，圓P：(x－1)2＋(y－3)2＝1的圓心P(1，3)，半徑r＝1，點Q(5，0)，如圖．易知AQ≥PQ－AP＝4，當且僅當A，Q，P三點共線，且點A在線段PQ上時，等號成立，故以線段AQ為直徑的圓周長最小值為4π，故A錯誤；S△APQ＝eq\f(1,2)PA·PQsin∠APQ＝eq\f(5,2)sin∠APQ，所以當∠APQ＝90°時，△APQ的面積最大，最大值為eq\f(5,2)，故B正確；若以線段AQ為直徑的圓過坐標原點O，則由直徑所對的圓周角為直角，即∠AOQ＝90°，易知當點A在y軸上時，滿足題意，所以以線段AQ為直徑的圓可能過坐標原點O，故C錯誤；設點A(x0，y0)，易知x0∈[0，2]，y0∈[2，4]，則eq\o(QO,\s\up6(→))＝(－5，0)，eq\o(QA,\s\up6(→))＝(x0－5，y0)，所以eq\o(QO,\s\up6(→))·eq\o(QA,\s\up6(→))＝25－5x0≤25－5×0＝25，即eq\o(QO,\s\up6(→))·eq\o(QA,\s\up6(→))的最大值為25，故D正確．故選BD.4.eq\f(3π,4)＋eq\f(1,2)若點P(x，y)在曲線x2＋y2＝x＋|y|上，則x2＋(－y)2＝x＋|－y|，即點P′(x，－y)在曲線上，可知曲線關(guān)于x軸對稱．當y≥0時，曲線x2＋y2＝x＋|y|即為x2＋y2＝x＋y，整理，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，曲線表示圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，半徑為eq\f(\r(2),2)的圓的一部分(圖中陰影部分).令y＝0，得x2＝x，解得x＝0或x＝1，即曲線與x軸的交點為O(0，0)，A(1，0)，則OA＝1，CA＝CO＝eq\f(\r(2),2)，即OA2＝CA2＋CO2，可知∠OCA＝90°，則圖中陰影部分的面積為eq\f(3,4)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3π,8)＋eq\f(1,4)，根據(jù)對稱性可知曲線圍成的圖形的面積為2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋\f(1,4)))＝eq\f(3π,4)＋eq\f(1,2).5.(1)設經(jīng)過A，B，C三點的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((0－a)2＋(1－b)2＝r2，,(3－a)2＋(0－b)2＝r2，,(1－a)2＋(4－b)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2，,r2＝5，))所以經(jīng)過A，B，C三點的圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故點D也在這個圓上．故四點A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3)都在圓(x－2)2＋(y－2)2＝5上．(2)因為PA＋PC≥AC，當且僅當點P在線段AC上時取等號，同理可得PB＋PD≥BD，當且僅當點P在線段BD