數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試

題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷選擇題

一,選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知全集。=R,能表示集合/=一―x—2<0｝與5=｛x[0<x<5｝關(guān)系的57圖是（）

2.已知復(fù)數(shù)z-1與復(fù)數(shù)（2+1）2-8i都是純虛數(shù)，則2=（）

A.l+iB.l+2i

C.l±2iD.l-2i

3.設(shè)2tan22.50力=2sinl3°cosl3°,c=—c°s50°，則有（）

1-tan222.5°\2

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

4.為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推進(jìn)科普宣傳教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，不

斷提高學(xué)生對(duì)科學(xué)、法律、健康等知識(shí)的了解，某學(xué)校組織全校班級(jí)開(kāi)展“紅色百年路?科普萬(wàn)里行”知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)

抽取10個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)：70、71、73、76、78、78、81、85、8990，據(jù)此估計(jì)該校各個(gè)班級(jí)平均成績(jī)的第40百分位

數(shù)為（）

A.77B.78C.76D.80

—.—.—.12

5.已知點(diǎn)。在△NBC的邊BC上（不包括端點(diǎn)），向量4D=x48+vZC,則一+一的最小值為（）

xy

A.2V2B.2V2+2C.2V2+3D.2V3+2

6.圖1是一個(gè)水平放置且高為6的直三棱柱容器4BC-4用。1，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，設(shè)水深為人.將容器底面

的一邊45固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為A481C,如圖2,則〃=

（）

\\y

<.1

圖1圖2

A.3B.4C.4V2D.6

7.已知函數(shù)/(x)=sin%x的圖象的一部分

yKlb

圖1圖J

8.設(shè)ae(O,l),若函數(shù)/(x)=優(yōu)+（1+?！涸冢?,+“）遞增，則。的取值范圍是（）

一也-1V5+11「小

A.,B.

22J

、

C.2/D.0,2

\7\7

二、多選題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)48為兩個(gè)互斥的事件，且尸(Z)〉0,尸(8)〉0,則()

A.P(AB)=O

B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(AuB)=l

D.P(4DB)=/(/)+尸(B)

10.已知圓C:（X—2）2+J?=1,點(diǎn)p是直線/：尤+>=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線P4PB分別與圓C相切于

點(diǎn)48,則（）

A.圓C上恰有一個(gè)點(diǎn)到/的距離為-

2

B.直線48恒過(guò)定點(diǎn)

C.\AB\的最小值是④

D.四邊形NCAP面積的最小值為2

11.如圖，在長(zhǎng)方體/BCD—44GA中，==28。=4,M川分別為棱44、44］的中點(diǎn)，則（）

A.MN〃平面48G

B.4O_L平面CAW

C.異面直線CN和AB所成角的余弦值為

3

D.若P為線段4G上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面CMN的距離不是定值

12.已知函數(shù)/（X）=sinx+；sin2x,則（

)

A.2萬(wàn)是/（x）的一個(gè)周期

B./(x)在［0,2句上有3個(gè)零點(diǎn)

C./(x)的最大值為手

D./(x)在0,|上單調(diào)遞增

第n卷非選擇題

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.第16題第一空2分，第二空3分.

13.以下4幅散點(diǎn)圖所對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)不公弓、〃的大小關(guān)系為.

3535

，030.

2525-???

2020-

1515-

1010-????.

5-

°0~5-101520253035°0■—5io：52。is3七3?

(0相關(guān)系數(shù)為八(2)相關(guān)系數(shù)為々

(3)相關(guān)系數(shù)為勺(4)相關(guān)系數(shù)為"

14.高中數(shù)學(xué)教材含必修類課本2冊(cè)，選擇性必修類課本3冊(cè)，現(xiàn)從中選擇3冊(cè)，要求兩類課本中各至少選一

冊(cè)，則不同的選法共有種.(用數(shù)字作答)

15.如圖，在三棱錐S—48C中，SA^AB=BC=1,SALAB,BCLAB,若SC=2,則直線￡4與8C所

成角的大小是.

16.“三等分角”是三大尺規(guī)作圖不能問(wèn)題之一.現(xiàn)借助圓弧和雙曲線給出一種三等分角的方法：如圖，以角C的

頂點(diǎn)為圓心作圓交角的兩邊于48兩點(diǎn)；取線段45的三等分點(diǎn)。、。；以5為焦點(diǎn)，4。為頂點(diǎn)作雙曲線X.

記雙曲線H與弧4g的交點(diǎn)為E,連接C￡,則=

3

①雙曲線H的離心率為.

②若ZACB=~,\AC\=30CE交AB于點(diǎn)P,則|。尸|=

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

記S”為數(shù)列〉0,〃6》>)的前〃項(xiàng)和，已知｛JT｝是公差為"的等差數(shù)歹人

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

1111

(2)設(shè)q=],證明：-----1-----1--1------<―

?i?2a2a3anan+i2

18.(本小題滿分12分)

如圖，長(zhǎng)方體ABC。—481GA中，/8=2,8。=。。1=1.若在線段0)上存在點(diǎn)￡,使得平面

ABXDX.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求平面與平面夾角的余弦值.

19.(本小題滿分12分)

某種疾病的歷史資料顯示，這種疾病的自然痊愈率為20%.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此

藥給10個(gè)病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否

則認(rèn)為這種藥無(wú)效.假設(shè)每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的.

(1)如果新藥有效，把治愈率提高到了80%,求經(jīng)試驗(yàn)認(rèn)定該藥無(wú)效的概率夕；(精確到0.001,參考數(shù)據(jù):

1+x22+C1x24+x26+Qtx28=62201)

(2)根據(jù)(1)中。值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理.

20.(本小題滿分12分)

在凸四邊形48CD中，對(duì)角線交于點(diǎn)￡,S.BE=ED,AE=2EC,AB=4,AD=26.

(1)若EC=1,求NR4。的余弦值;

7T

(2)若NABD=—,求邊的長(zhǎng).

4

21.(本小題滿分12分)

226

設(shè)橢圓三+￡=1伍〉b〉0)的離心率為,上、下頂點(diǎn)分別為4B,|/叫=4.過(guò)點(diǎn)￡(0,1),且斜率為左的

直線/與x軸相交于點(diǎn)G,與橢圓相交于C、。兩點(diǎn).

(1)若|GC|=p￡|,求)的值;

(2)是否存在實(shí)數(shù)左，使得直線ZC平行于直線5。？證明你的結(jié)論.

22.(本小題滿分12分)

己知函數(shù)/(x)=aex,aGR.

(1)若函數(shù)＞=/(力的圖象在點(diǎn)(1,/(功處的切線過(guò)點(diǎn)(3,3),求函數(shù)歹=^(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=x2,且?！?,若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)存在唯一的公切線，求實(shí)數(shù)。的值.

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、單選題（每道5分，共40分）.

12345678

DDCACADB

二、多選題（全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分，共20分）.

9101112

ACDBCADABC

三、填空題（每道5分，共20分）

13.r2<r4<0<r3<ri14.915.60。/0（120。或笄?不得分契貓）

16.①2；②7-3百（第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）

四、解答題（每道5分，共20分）

17.（1）an=（2〃-1居，nGN*

（2）裂項(xiàng)相消求和，不等式恒成立，詳見(jiàn)解析。

解：（1）由題意得，y[s^-+（n-_=

2

%>0Sn=n?%

當(dāng)〃=1時(shí)，q=q恒成立；

22

當(dāng)”22時(shí)，an=Sn-Sn_i=n-a{-（n-1）=（2w-l）-a1

經(jīng)檢驗(yàn)，”=1時(shí)，%=為符合上式：

即an=（2?-1）-0,

（2）由（1）得,an=（2n—1）?<：],因此,當(dāng)q=l時(shí)，an=2n-1}

則_J_=]=1O______二

a”%（2n-l\2n+1）212〃一12M+1>

第1頁(yè)共6頁(yè)

+....

a”明+i

撲……

2I5+:(*-蒲)

1

……_J___qji-L-L」---

2133557+2n-l2/1+1J2(2/1+1J24n+2

11

?/ncN：BP=--<—

焉皿24〃+22

8V13

18.(1)DE=-x(2)

239

解：（1）由題意，長(zhǎng)方體Z3CD-44GA中，DA,DC,￡0兩兩垂直，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原

點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤,y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示：設(shè)。E=a,則4(101)￡(0,a,0)4(1,0,0)B,(1,2,1),.(0,0,1),

=(0,2,1)/"=(-1,0,1),4后=(一1，a,-l)

設(shè)蔡=（再，必，馬）為平面幺用2法向量，則7_1_麗，盛（7公,

2y,+z,=0._,

m-AB=0,7M-AD=0,即,令Z]=2,則再=2,必二一1,

}}一再+Z]=0

/.平面4BR的一個(gè)法向量為m=⑵-1,2）,

若A】E1平面ABA,則A.E=九加=(22,-2,22),

-1=2A

,?*AXE=(^-1,a,—1),-a=-2,解得4=—?a=—2=—?BPDE=—

,222

-1=22

(2)由(1)得，8(1,2,015,(1,2,1),/o,-,O|,ABBt=(0,0,l),5E=f-1,--,o\

\2JI27,

設(shè)”=（》2，%，Z2）為平面法向量，則〃_L函，nrBE,

第2頁(yè)共6頁(yè)

z2=0

：.n-~BB{=Q,nBE=0,即13,令%=2,則/=一3,

f］力=o

二平面BB.E的一個(gè)法向量為n=（-3,2,0）,忖=7（-3）2+22=屈

設(shè)平面8片E與平面/與A所成角為6,由題意，。為銳角；

由（1）得平面48a的一個(gè)法向量獲=（2,-1,2）,=722+（-1）2+22=3,

則cos*二』（-3卜2+妙1）+。、2|=迤-

m?nV13x339

19.（1）0,006；（2）合理。

解：（1）將10個(gè)病人服用新藥視為10重伯努利試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中，每個(gè)病人痊愈

的概率為且每個(gè)病人是否痊愈是相互獨(dú)立的，設(shè)X代表這10個(gè)病人中痊愈的

人數(shù)，則X?設(shè)8=“經(jīng)過(guò)試驗(yàn)該藥物被認(rèn)定為無(wú)效”，則事件B發(fā)生

的概率p等價(jià)于尸=（X44）,即

p=p=（X<4）

1、7

1

+C：。-

（5八5）

1,2,4,6,8

=利+C：。變+G：鉀+G%無(wú)+Gt支

。機(jī)+。；。22+黨24+。然6+6；28

510

62201

?0.006

9765625

即經(jīng)過(guò)試驗(yàn)該藥物被認(rèn)定為無(wú)效的概率約為0.006；

（2）由題意，實(shí)際上該藥物是有效的，當(dāng)痊愈的病人數(shù)達(dá)不到5人時(shí)，認(rèn)定新藥無(wú)效,

此時(shí)做出了錯(cuò)誤的判斷.由（1）得做出該錯(cuò)誤判斷的概率僅為0.006,故該試驗(yàn)方

案是合理的。

第3頁(yè)共6頁(yè)

20.(1)；(2)—o

42

解：(1)由題意，?點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，.,?4￡是BD邊上的中線，則

AE=^AE^{AB+7D]=~+AD2+2AB-AD=；ylAB2+AD2+2AB-AD-cos^BAD

若EC=1,代入：AE=2EC=2,AB=4,AD=2y[2,解得cosZR4D=-J

4

(2)若乙430=工，在AABD中，由余弦定理，得ZD?=432+802—2/8.8。.?os43。,

4

代入=AB=4,AD=2y[2,解得50=2五，則4E='。2加+2加一心

42

=#2.42+2.(2⑸_(2辱=V10,CE=^AE=乎

由題意，?.?點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，.?.BE=Z)E=Vi

“入—、上4人力—e/曰八AE2+DE2-AD2=(4\o\+(V2T-(2V2y

在4AED中，由余弦定理，得cosN4ED=------------~!—■C')

2AE-DE2-V10-V2

4_V5

=T275=T

.,.在4BCE中，ZBEC=ZAED,即cosNBCE=cos4ED=半

在4BCE中，由余弦定理，得BC?=BE?+CE?-2BE?CE?cosZBEC

BC2=BE2+CE2-2BECE-cosZAED,

即5c2=(⑸+(乎)12萬(wàn)乎§

BC2=2+--2=-

22

即BC邛=卓=叵

V2722

第4頁(yè)共6頁(yè)

21.(1)—+^-=1；(2)k=+—o

--=1;K=±—

643

26=4

解：(1)由題意，得e=￡=更，解得卜=卷，故橢圓的方程為￡+￡=1；

64

(2)由題意知，k/0,直線/的方程為歹=丘+1,則G=[-匕0),聯(lián)立?石+]

可得到：(2+3左2*+6丘_9=0,△=36左2+36(2+3公)>0,設(shè)交點(diǎn)

。(孫弘)，%),貝

D[X2,iJX|+X2=Y^r,xrx2=--1-y,

NIJ/v，'I3K

則CD的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為五士三二二^,

,--￡=(0,1),G=f--,o\則EG中點(diǎn)橫坐標(biāo)為一工，

V7{kJ2k

又,：灰=員,且C,E,G,D四點(diǎn)共線，取EG中點(diǎn)H,則而=近

：.GC-GH=DE-HE,即玩=而，，H是CD的中點(diǎn)，即CD和EG的中點(diǎn)重

22.(1)單調(diào)增區(qū)間為[-1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1)；(2)a=4

e

解：(1)由題意，明顯的，awO,則/(x)=ae",且/<%)=。/(工6火)，

又???/⑴=ae,???在x=l處的切線范圍為尸ae=a心-1),切線過(guò)點(diǎn)(3,3),

代點(diǎn)(