廣東省惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題8小題，共40分）1．（5分）下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．（2e﹣x）′＝2e﹣x B． C． D．（exsinx）′＝ex（cosx﹣sinx）2．（5分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（5分）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，則S8＝（）A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣1204．（5分）勞動(dòng)可以樹(shù)德、可以增智、可以健體、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐比賽，已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學(xué)的名次排列（無(wú)并列名次）共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種5．（5分）已知隨機(jī)變量X的分布列滿足：P（X＝n）＝an（n＝1，2，3，4），其中a為常數(shù)，則P（X＝3）＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知隨機(jī)變量X，Y滿足Y＝2X+1，且隨機(jī)變量X的分布列如下：X012Pa則隨機(jī)變量Y的方差D（Y）＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知0＜a＜1且，若函數(shù)f（x）＝2logax﹣log2ax在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）＜f（x），則不等式ex?f（2x）＜e4?f（3x﹣4）的解集是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，4）二、多選題（本題3小題，共18分）（多選）9．（6分）連擲一枚均勻骰子兩次，第一、二次所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，記m＝a+b，事件A為“m＝7”，事件B為“a＝3”，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．事件A與事件B互為獨(dú)立事件（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣sinx，則（）A．f（x）為其定義域上的增函數(shù) B．f（x）為偶函數(shù) C．f（x）的圖象與直線y＝1相切 D．f（x）有唯一的零點(diǎn)11．（6分）已知f（x）＝（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+?+a8x8，則下列描述正確的是（）A．a(chǎn)1+a2+?+a8＝1 B．f（﹣1）除以5所得的余數(shù)是1 C． D．2a2+3a3+?+8a8＝﹣8三、填空題（本題3小題，共15分）12．（5分）的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．13．（5分）位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右的概率都是，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)（2，3）的概率為．（用數(shù)字作答）14．（5分）楊輝是南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個(gè)11階楊輝三角：（1）第10行中從左到右的第4個(gè)數(shù)是；（2）在第2斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第3斜列中，第5個(gè)數(shù)為35．顯然，1+3+6+10+15＝35．事實(shí)上，一般有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k（m，k∈N*）的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論．四、解答題15．（13分）已知函數(shù)．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若方程f（x）＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝3，，求△ABC的面積．17．（15分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝1，2Sn＝nan．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．18．（17分）某校為了解高三年級(jí)1200名學(xué)生對(duì)成語(yǔ)的掌握情況，舉行了一次“成語(yǔ)測(cè)試”比賽．從中隨機(jī)抽取120名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：獲獎(jiǎng)人數(shù)與不獲獎(jiǎng)人數(shù)之比為2：1，其中獲獎(jiǎng)人數(shù)中，女生占，不獲獎(jiǎng)人數(shù)中，女生占．（1）現(xiàn)從這120名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求恰好是女生的概率；（2）對(duì)獲獎(jiǎng)學(xué)生采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法選取8人，參加賽后經(jīng)驗(yàn)交流活動(dòng)．若從這8人中隨機(jī)選取2人．①求在2人中有女生入選的條件下，恰好選到1名男生和1名女生的概率；②記X為入選的2人中的女生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（17分）已知．（1）當(dāng)a＝3時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）+x1+x2＜0．參考答案與試題解析一、單選題（本題8小題，共40分）1．（5分）下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．（2e﹣x）′＝2e﹣x B． C． D．（exsinx）′＝ex（cosx﹣sinx）【解答】解：（2e﹣x）′＝﹣2e﹣x，（ex+ln2）′＝ex，，（exsinx）′＝ex（sinx+cosx），則ABD錯(cuò)誤，C正確．故選：C．2．（5分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解答】解：若{an}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若{}為等差數(shù)列，則可設(shè)﹣＝D，則＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上兩式相減得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，則an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常數(shù)），所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：C．3．（5分）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，則S8＝（）A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120【解答】解：等比數(shù)列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，顯然公比q≠1，設(shè)首項(xiàng)為a1，則＝﹣5①，＝②，化簡(jiǎn)②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合題意，舍去），代入①得＝，所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故選：C．4．（5分）勞動(dòng)可以樹(shù)德、可以增智、可以健體、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐比賽，已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學(xué)的名次排列（無(wú)并列名次）共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【解答】解：已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學(xué)的名次排列（無(wú)并列名次）共有＝24種．故選：B．5．（5分）已知隨機(jī)變量X的分布列滿足：P（X＝n）＝an（n＝1，2，3，4），其中a為常數(shù)，則P（X＝3）＝（）A． B． C． D．【解答】解：由分布列性質(zhì)可知：，即，故．故選：B．6．（5分）已知隨機(jī)變量X，Y滿足Y＝2X+1，且隨機(jī)變量X的分布列如下：X012Pa則隨機(jī)變量Y的方差D（Y）＝（）A． B． C． D．【解答】解：由分布列性質(zhì)可得，所以，則，，所以D（Y）＝D（2X+1）＝4D（X）＝．故選：B．7．（5分）已知0＜a＜1且，若函數(shù)f（x）＝2logax﹣log2ax在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：f（x）＝2logax﹣log2ax＝＝，∵f（x）＝2logax﹣log2ax在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴＜0，即＜0，得lga＜﹣lg4或﹣lg2＜lga＜0，即0＜a＜或＜a＜1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D．8．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）＜f（x），則不等式ex?f（2x）＜e4?f（3x﹣4）的解集是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，4）【解答】解：不等式ex?f（2x）＜e4?f（3x﹣4）等價(jià)變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，則，又有已知f′（x）＜f（x），∴r'（x）＜0，即r（x）在R上是減函數(shù)，由于，可得2x＞3x﹣4，解得x＜4，即不等式ex?f（2x）＜e4?f（3x﹣4）的解集是（﹣∞，4），故選：D．二、多選題（本題3小題，共18分）（多選）9．（6分）連擲一枚均勻骰子兩次，第一、二次所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，記m＝a+b，事件A為“m＝7”，事件B為“a＝3”，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．事件A與事件B互為獨(dú)立事件【解答】解：由題意可知，n（Ω）＝62＝36，A＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，n（A）＝6，B＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}，n（B）＝6，AB＝{（3，4）}，n（AB）＝1，所以，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確．故選：ABD．（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣sinx，則（）A．f（x）為其定義域上的增函數(shù) B．f（x）為偶函數(shù) C．f（x）的圖象與直線y＝1相切 D．f（x）有唯一的零點(diǎn)【解答】解：f（x）＝x﹣sinx的定義域?yàn)镽，f′（x）＝1﹣cosx≥0，∴f（x）為R上的增函數(shù)，故A正確；f（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；∵當(dāng)f′（x）＝0時(shí)，解得：x＝2kπ（k∈Z），此時(shí)f（x）＝2kπ﹣sin2kπ＝2kπ≠1（k∈Z），∴斜率為0的切線為2kπ（k∈Z），不可能為直線y＝1，故C錯(cuò)誤；f（x）為R上的增函數(shù)，f（0）＝0，∴f（x）有唯一的零點(diǎn)，故D正確．故選：AD．11．（6分）已知f（x）＝（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+?+a8x8，則下列描述正確的是（）A．a(chǎn)1+a2+?+a8＝1 B．f（﹣1）除以5所得的余數(shù)是1 C． D．2a2+3a3+?+8a8＝﹣8【解答】解：對(duì)于A：令x＝1得：a0+a1+a2+?+a8＝1；令x＝0，得．，因此A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，因此B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?﹣x）8二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，（0≤r≤8，r∈N），由通項(xiàng)公式知，（2﹣x）8二項(xiàng)展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝﹣a1+a2﹣a3+?+a8，由，令x＝0，得到，令x＝﹣1，得到，所以，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D：對(duì)原表達(dá)式的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得到，令x＝1，得到a1+2a2+3a3+?+8a8＝﹣8，令x＝0，得，所以，，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．三、填空題（本題3小題，共15分）12．（5分）的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為﹣28（用數(shù)字作答）．【解答】解：由已知可得，所以由二項(xiàng)式定理可得多項(xiàng)式的展開(kāi)式中含x2y6的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為﹣28．故答案為：﹣28．13．（5分）位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右的概率都是，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)（2，3）的概率為．（用數(shù)字作答）【解答】解：根據(jù)題意，易得位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)（2，3），在移動(dòng)過(guò)程中向右移動(dòng)2次向上移動(dòng)3次．則其概率為＝故答案為．14．（5分）楊輝是南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家．楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個(gè)11階楊輝三角：（1）第10行中從左到右的第4個(gè)數(shù)是120；（2）在第2斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第3斜列中，第5個(gè)數(shù)為35．顯然，1+3+6+10+15＝35．事實(shí)上，一般有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k（m，k∈N*）的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論++…+＝（m、k∈N*且k≤m）．【解答】解：（1）根據(jù)題意，歸納可得：第n行的從左到右第m+1個(gè)數(shù)為，（n∈N，m∈N且m≤n），則第10行中從左到右的第4個(gè)數(shù)為＝120；（2）結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù)．用公式表示為：++…+＝（m、k∈N*且k≤m），證明：左式＝++…+＝++…+＝++…+＝…＝+＝＝右式，即等式++…+＝（m、k∈N*且k≤m）成立．故答案為：（1）120；（2）++…+＝（m、k∈N*且k≤m）．四、解答題15．（13分）已知函數(shù)．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若方程f（x）＝k有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)镽，則f′（x）＝x2﹣4，所以f′（1）＝﹣3，又因?yàn)閒（1）＝，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y﹣＝﹣3（x﹣1），即9x+3y﹣10＝0；（2）函數(shù)，定義域?yàn)镽，則f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），令f′（x）＝0得，x＝﹣2或2，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣2，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝﹣2時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）有極小值﹣，畫出f（x）的圖象，如圖所示：若函數(shù)f（x）＝k有3個(gè)解，即函數(shù)y＝k和y＝f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣，）．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝3，，求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由，得sinBsinA＝sinAcosB，又sinA＞0，所以tanB＝，因?yàn)锽∈（0，π），所以B＝；（Ⅱ）b＝3，由，得c＝a，由（Ⅰ）知B＝，由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+3a2﹣2a2×，解得a＝3，c＝3，所以S△ABC＝acsinB＝×3×3×＝．17．（15分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝1，2Sn＝nan．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）a2＝1，2Sn＝nan，可得n＝1時(shí)，2a1＝2S1＝a1，即a1＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝nan，可得2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，兩式相減可得2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，當(dāng)n＝2時(shí)，上式顯然成立，當(dāng)n≥3時(shí)，＝，則an＝a2???...?＝1???...?＝n﹣1，上式對(duì)n＝1，n＝2都成立，所以an＝n﹣1，n∈N*；（2）＝n（）n，Tn＝1?+2?（）2+3?（）3+...+n（）n，Tn＝1?（）2+2?（）3+3?（）4+...+n（）n+1，上面兩式相減可得Tn＝+（）2+（）3+...+（）n﹣n（）n+1＝﹣n（）n+1，化為Tn＝2﹣（n+2）（）n．18．（17分）某校為了解高三年級(jí)1200名學(xué)生對(duì)成語(yǔ)的掌握情況，舉行了一次“成語(yǔ)測(cè)試”比賽．從中隨機(jī)抽取120名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：獲獎(jiǎng)人數(shù)與不獲獎(jiǎng)人數(shù)之比為2：1，其中獲獎(jiǎng)人數(shù)中，女生占，不獲獎(jiǎng)人數(shù)中，女生占．（1）現(xiàn)從這120名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求恰好是女生的概率；（2）對(duì)獲獎(jiǎng)學(xué)生采用按性別分層隨機(jī)抽樣的方法選取8人，參加賽后經(jīng)驗(yàn)交流活動(dòng)．若從這8人中隨機(jī)選取2人．①求在2人中有女生入選的條件下，恰好選到1名男生和1名女生的概率；②記X為入選的2人中的女生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）記事件A1，A2分別為抽取的1名學(xué)生獲獎(jiǎng)與不獲獎(jiǎng)，事件B為抽取的1名學(xué)生是女生，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥