絕密★啟用前

2024年高考押題預(yù)測卷【全國卷02】

理科數(shù)學(xué)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合4=付口201B={x|log2(x-1)<3},則做=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

z1.\2025

2.已知復(fù)數(shù)z=*,貝丘的虛部為()

A.-1B.—iC.1D.i

3.設(shè)/，加是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，若/uaa〃￡，貝！”是“加，尸”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)人尤)的圖象如圖所示，則函數(shù)/(尤)的解析式可能為()

r'

/\1V2

A./(^)=cos2x-(eA-e-x)B./(x)=--ln-^

XX2

E+E-Y+1

C.f(x)=----------D./(x)=sin2x-ln——

XX2

5.已知平面向量a,b,c滿足a+b+<?=0,同=回=1,吊=代，則a與b的夾角為()

io

6.已知/（x）+l在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實數(shù)a,6滿足“a-4）+〃6）=-2,則上+■的最小值

ab

為（）

A.3+交B.-+V2C.3+2亞D.-+V2

4242

7.2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場，伴隨平地村足球隊

在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足

球社的五位同學(xué)準備前往村超球隊所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠村，已知每個村

至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會進行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須

選同一個村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

8.已知sina+cos4二^^,cosa-sin￡=，則cos（2a—2/7）=（）

A2_Rr5屈n5739

A.IJ.C?------------JL/.-------------

32323232

9.已知。=$m0.5,6=3°，5,。=1080.30.5,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

22

10.已知橢圓E：1+方=l（a>6>0）的左焦點為尸，如圖，過點尸作傾斜角為60。的直線與橢圓E交于A,

3兩點，M為線段的中點，若5|FN|=|O同（。為坐標(biāo)原點），則橢圓E的離心率為（）

A.B

33

11.在棱長為1的正方體ABCD-4耳CQ中，分別為4c的中點，點P在正方體的表面上運動,

且滿足“p_Lav,則下列說法正確的是（）

D\

A.點尸可以是棱的中點B.線段MP的最大值為立

2

C.點P的軌跡是正方形D.點P軌跡的長度為2+石

12.若函數(shù)尤)=<dnx+gx2-2尤有兩個不同的極值點為，三，且f一/(玉)+/</(%)-石恒成立，則實數(shù)f的

取值范圍為()

A.(—co,—5)B.(—co,—5]C.(—00,2—21n2)D.(YO,2—21n2]

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.若數(shù)列｛%｝滿足4=1,??+1-??-1=2",則4=.

14.已知函數(shù)"x)=2cos[s-1其中0為常數(shù)，且°?0,6),將函數(shù)小)的圖象向左平移聿個單位所

得的圖象對應(yīng)的函數(shù)g(x)在x=0取得極大值，則。的值為.

15.已知函數(shù)產(chǎn)x-2/+r的最大值為加，若函數(shù)g(/)=M+〃—機有三個零點，則實數(shù)m的取

值范圍是.

16.已知四棱錐P-ABCD的高為2,底面A3CD為菱形，AB=AC=5E,尸分別為尸APC的中點，貝|

四面體E的的體積為；三棱錐尸-ABC的外接球的表面積的最小值為.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為4,40,星=詈4.

c4b-a

⑴求sinC的值；

⑵若ABC的面積為姮，且a+b=2西C,求，ABC的周長.

23

18.某校高三年級進行班級數(shù)學(xué)文化知識競賽，每班選三人組成代表隊，其中1班和2班進入最終的決賽.決

賽第一輪要求兩個班級的代表隊隊員每人回答一道必答題，答對則為本班得1分，答錯或不答都得0分.已

知1班的三名隊員答對的概率分別為:、：、k2班的三名隊員答對的概率都是：，每名隊員回答正確與

4323

否相互之間沒有影響.用J、〃分別表示1班和2班的總得分.

⑴求隨機變量J、〃的數(shù)學(xué)期望召(4),磯〃)；

(2)若J+〃=2,求2班比1班得分高的概率.

19.如圖，在圓柱0Q中，一平面沿豎直方向截圓柱得到截面矩形43瓦A,其中AA，B片為圓柱。。|的母

線，點C在底面圓周上，且BC過底面圓心。，點D,E分別滿足AO=2ZH4E=2EC,過OE的平面與8月

交于點尸，且37=4EB(4>0).

(1)當(dāng)2=2時，證明:平面D￡F//平面ABC；

⑵若叫=2AB=2AC,”與平面4麻所成角的正弦值為零’求力的值.

20.已知動圓E經(jīng)過定點0(1,0),且與直線產(chǎn)-1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點P(l,2)的直線4，4分別與曲線C交于A,B兩點，直線心4的斜率存在，且傾斜角互補，求證:

直線的傾斜角為定值.

21.已知函數(shù)/(x)=_xe*—2or(a>0).

(1)若函數(shù)/(X)在x=l處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為］,求。的值;

(2)若函數(shù)的最小值為-e,求a的值.

(-)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.已知在平面直角坐標(biāo)系方力中，以坐標(biāo)原點。為極點，工軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的

x=m+J3cosa

極坐標(biāo)方程為夕=2sin。；在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，曲線。2的參數(shù)方程為廠.(。為參數(shù))，

y=弋3sina

點A的極坐標(biāo)為且點A在曲線c之上.

⑴求曲線G的普通方程以及曲線c?的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線/:x-&y=0與曲線G，C?分別交于P,。兩點，其中P,。異于原點0,求△APQ的面積.

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)〃。=國+值一2|+|尤一4.

⑴當(dāng)a=2時，求不等式/(x)<14的解集；

(2)若/(x)>+8同+16恒成立，求。的取值范圍.

2024年高考押題預(yù)測卷【全國卷02】

理科數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合人=〃B={x|log2(%-1)<3},則他A)cB=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

【詳解】由=y-L12。，解得x>3或xWT,

x-3

所以A=H碧20卜(一8,—I]“3,+8),則0A=(—1,3],

^log2(x-l)<3,即log2(*-l)Wlogz23,所以0<x-lV8,解得l<x=9,

所以3={x|log2(x-l)V3}={x|l<xW9},

所以低獷3=（1,3].

故選：C

1+i2025

2.已知復(fù)數(shù)zI,則之的虛部為（）

1-i

A.-1B.-iC.1D.i

【詳解】因為二芯KT'又'—?'』'

.N2025

所以Z=黑=i2025=i506x4+1=（i4）506xi=i,

所以z=-i，所以z的虛部為-L

故選：A

3.設(shè)/,機是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，若/ua,a//（3,則〃2_1/"是'〃八尸"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【詳解】若機，/,lua,a///3,則機與夕的位置關(guān)系不能確定；

若機_1_6，因為a〃力，所以〃z_La,又lua,所以m_!_/成立.

所以"±/”是"m±p”的必要不充分條件.

故選：B

4.已知函數(shù)“元）的圖象如圖所示，則函數(shù)/（元）的解析式可能為（）

A./(x)=cos2x-(ex-e-x)B./(x)=--ln—―-

ex+-xY2+1

C.f(x)=----e--D./(x)=sin2x-ln——廣

XX

【詳解】對于A,函數(shù)〃x)=cos2x.(e，-eT)的定義域為R,而題設(shè)函數(shù)的圖象中在自變量為0時無意義,

不符合題意，排除；

對于B,當(dāng)x>0時,f(x)=—-In—=—Flnx2-Infjc2+1)~|<0,不符合圖象，排除.

對于C,當(dāng)x>0時，/(x)=￡±>0,不符合圖象，排除；

X

故選：D

5.已知平面向量a,b,c滿足a+6+c=。,同=回=1,|4=6,則a與b的夾角為()

71c兀-2-3

A.——B.——C.—兀D.—71

4334

【詳解】由題意知平面向量。也c滿足〃+匕+。=0,同=回=1,同=百，

故與+/?=」，所以(a+/?)2=",

1

所以9=3，所以。電=］,

.a-b1

則COSQ,。二同“二］,〃,?！辏?,兀］,故7r

故選：B.

1o

6.已知〃力+1在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實數(shù)a,。滿足/(。-4)+/(6)=-2,則上+［的最小值

ab

為()

A.—+B.—+V2C.3+2A/2D.—+V2

4242

【詳解】由于/(%)+1為奇函數(shù),所以/a)+l+/(T)+l=0n/(%)+/(T)=—2,

由/("一4)+/。)=一2得々一4=一/?=々+6=4,

fTA1Ar-riM121f12V7、1f_b.n：\3&

由于tz>0,Z?>0,所以—|————I—|(a+b)=—3H---1—匡―13+2J21=—I---，

ab41ab)4^ab)4^，42

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號，故▲+：的最小值為』+1，

ab42

故選：A

7.2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場，伴隨平地村足球隊

在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足

球社的五位同學(xué)準備前往村超球隊所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠村，已知每個村

至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會進行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須

選同一個村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

【詳解】若五位同學(xué)最終選擇為3,1/，先選擇一位同學(xué)和學(xué)生甲和學(xué)生乙組成3人小組，

剩余兩人各去一個村，進行全排列，此時有C；A；=18種選擇，

若五位同學(xué)最終選擇為2,2,1,將除了甲乙外的三位同學(xué)分為兩組，再進行全排列，

此時有C；C；A；=18種選擇，

綜上，共有18+18=36種選擇.

故選:B

8.已知$皿￡+<：0$￡=^^,8$<7-$吊尸=-3，則cos（2a-2月）=（）

A.—B.--

3232

「5A/39n5A/39

3232

【詳解】解：因為sina+cos分=^>cosa-sin；5=-g,

所以siYa+Zsinacos尸+cos24=—,cos2cr-2coscrsiny0+sin2y0,

24

33

兩式相加得：2+2（sincrcosy0-coscrsiny0）=—,即2+2sin（a-■分）=1,

化簡得sin（a_/?）=_1

O

7

所以cos（2a-2/7）=l-Zsin?（a-月）=豆，

故選：A

9.已知〃=$苗0.5,/?=3°5,。=108030.5,則。，瓦c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【詳解】對xe1。段;因為y=sinx-x,貝ij=cosx-l<0,即函數(shù)y=sinx-x在（0段］單調(diào)遞減，

且％=0時，y=。，貝!Jsinx—x<0,即sinx<x,所以a=sin0.5v0.5,

25

因為210go30.5=log0.30->logo.30?3=1且log030.5<log030.3=1,所以0.5<c=log030.5<1,

又Z?=3°s>3°=1,所以“<c<瓦

故選：C

22

10.已知橢圓E：1r+方=1（。>6>0）的左焦點為歹，如圖，過點下作傾斜角為60。的直線與橢圓E交于A,

8兩點，/為線段A8的中點，若51rM=|。司（0為坐標(biāo)原點）,則橢圓E的離心率為（）

「2V2

D,也

37

【詳解】依題意，橢圓的左焦點為產(chǎn)（-c,0）,忻閭=，?？?!1

5

9

——C,貝UM-----c,——C

1010

107

=tan60°=739c必+%_?

設(shè)乃（九2，%），則有

々210210

2222

由W+2=1，冬+冬=1，兩式相減得=0,

ababa2b2

V3

則有*-5+%）5一%）

a——c

5

所以七」H

故選：B.

11.在棱長為1的正方體ABC。-AgGA中，M，N分別為4G的中點，點P在正方體的表面上運動,

且滿足MP_LC?V,則下列說法正確的是（）

B.線段的最大值為走

A.點尸可以是棱2片的中點

2

C.點尸的軌跡是正方形D.點尸軌跡的長度為2+如

在正方體中，以點。為坐標(biāo)原點，分別以D4、DC、OR方向為X軸、>軸、z軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系,

因為該正方體的棱長為1,M,N分別為4c的中點，

則0（0,0,0）,C（0,l,0）,

所以CN=L，設(shè)p（x,y,z）,則=W，z-

因為AZP_LaV,

所以《（x-：］+z-!=°,2x+4z-3=0,當(dāng)x=l時，z=—；當(dāng)x=0時，z=g；

2<2J244

取中口G（O，T，即,0，1

連接EJF,FG,GH,HE,則EF=G"=（0』,0）,EH=FG=^-1,0,—,

所以四邊形￡FGH為矩形，

則￡F-CN=0，EHCN=0,即EF_LGV,EHLCN,

又EF、EH=E,且EFu平面EFGH,EHu平面EFGH,

所以。V_L平面￡FGH,

又=所以M為EG中點，則Me平面￡7/汨，

所以，為使MPLCN,必有點Pe平面所GH,又點P在正方體的表面上運動，

所以點尸的軌跡為四邊形EFGH,

因此點P不可能是棱2瓦的中點，即A錯；

又用=碎|=1,附卜因=乎，所以叵卜阿則點尸的軌跡不是正方形；

且矩形EFGH的周長為2+2xg=2+石，故C錯，D正確；

2

因為點M為EG中點，則點M為矩形EFG〃的對角線交點，所以點M到點E和點G的距離相等，且最大,

所以線段叱的最大值為故B錯.

2

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，由”p，av,

求出動點軌跡圖形，即可求解.

12.若函數(shù)〃x)=alnx+gx2-2x有兩個不同的極值點X],%,且/-/⑷+馬〈/㈤-西恒成立，則實數(shù)，的

取值范圍為()

A.(-00,-5)B.(-8,-5]C.(-oo,2-21n2)D.(-oo,2-21n2]

【詳解】依題意得尸(x)=￡+x_2「2：+a(x>0),

若函數(shù)有兩個不同的極值點和三，

則方程d-2x+a=0有兩個不相等的正實數(shù)根為，三，

A=4-4〃>0

可得<%+%2=2>0,解得0<tz<l,

玉％=〃>0

因為%，

可得/</(玉)+/(%2)一七一%2=H%+gX；-2石+dtlnx2+；石一2/-xl-x2

\12

+—+/)=〃1口(％1%2)+](41+%2)~XlX2—3(玉+%2)

12

=cAna+—x2-a—3x2=cAna一Q一4.

2

設(shè)/2(a)=〃lna-a—4(0<a<l),貝!J/z'(〃)=lna<0,

則單調(diào)遞減，/z(a)>/i(l)=-5,可知IK-5.

所以實數(shù)力的取值范圍是(-8,-5].

故選：B.

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

n

13.若數(shù)列｛%｝滿足4=1,an+1-an-l=2,則氏=.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝滿足％=1,%-1=2",

所以。2-%=1+2,,

一%=]+22,

〃4一為二]+2?,

%-%=1+2〃'

以上各式相加得〃〃—％=^-1+C21+22+23+...+2〃T),

所以牝=2〃+〃—2.

【點睛】本題主要考查求數(shù)列的通項公式，熟記累加法即可，屬于常考題型.

14.已知函數(shù)〃x)=2cos"-「其中0為常數(shù)，且oe(0,6),將函數(shù)小)的圖象向左平移聿個單位所

得的圖象對應(yīng)的函數(shù)g(x)在x=0取得極大值，則。的值為.

【詳解】由題意可知g(尤)=2cos[01x+《j-"|=2cos[s+詈-]j,

因為g(%)在x=0取得極大值，所以g⑺在x=0取得最大值，

所以藝-二=2m，keZ,即0=2+123

63

又因為?！?,6),所以，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，。=2滿足條件，所以。=2,

故答案為：2.

15.已知函數(shù)/("=-4+2/》-2/+7的最大值為加，若函數(shù)g(f)=M+?一根有三個零點，則實數(shù)小的取

值范圍是.

【詳解】解：因為/'(無)=一及2+2產(chǎn)x-2r+r=-《xT)2一/3+「，

所以/'(X)的最大值為M=-戶+f,

易知函數(shù)g(f)=M+〃—〃2=-3+/+”機有三個零點，

等價于函數(shù)刈。=-r+/+1的圖象與直線y=機有三個交點，

因為〃?)=—3〃+2才+1=-(3/+1)(/-1),

所以當(dāng)或t>l時，〃⑺<0,當(dāng)一；</<1時，h\t)>0,所以“⑺在。,+⑹上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，

所以無⑺極小值+]T卜得'響極大值=MD=T+I+IJ

又當(dāng)/f-oo時，〃(。一用；當(dāng)時，函數(shù)萬⑺=--+/+.的圖象如下所示：

結(jié)合函數(shù)圖象可知，若函數(shù)%")=--+產(chǎn)+，的圖象與直線>=機有三個交點，則相一5」

故答案為：卜得，11

16.已知四棱錐P-ABCD的高為2,底面ABCD為菱形，AB=AC=6,亂產(chǎn)分別為PA,PC的中點，則

四面體EKBD的體積為；三棱錐P-ABC的外接球的表面積的最小值為.

【詳解】如圖，設(shè)ACcBD=G,連接尸G,EG,

EFG+VD—EFG，

易知E,F,G分別為PA,PC,AC中點，，S后口=：$作，

=

所以VB_EFG=~^B-PACWD-EFG~^D-PAC'

??VEFBD=W^B-PAC+Z^D-PAC=[(YB-PAC+%—PAc)=[Vp_ABCD，

四邊形ABC。是菱形，AB=AC=y/3,

ABC,AC。為全等的正三角形，

???SABCD=2義;AB?BCsin60°=拒義0義與=^~，

v_11373

■■VEFBD=_><2X^-X2=^7：

因為ABC是邊長為6的正三角形，記其中心為。一

則ABC的外接圓的半徑為廠=且乂6x2=1,

23

設(shè)三棱錐尸-ASC的外接球的半徑為R,球心為。，則。a，底面ABC

過P作PH，底面ABC交于H，則。@〃PH,

結(jié)合圖象可知尸O+OOR/W,其中R=OO；=R2-r2=R2-l,

因為尸到平面ABC的距離為2,即尸8=2,所以尺+，之一1上2,

易知關(guān)于R的函數(shù)y=R+7FW在［L”）上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)且僅當(dāng)R+VF=1=2時，R取得最小值,

此時，尸。,a三點共線，由R+VF二1=2,解得尺=:,

所以棱錐尸-ABC的外接球的表面積的最小值為4兀改=牛.

4

故答案為：1；亨.

44

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“,40,4=詈4.

⑴求sinC的值；

⑵若..ABC的面積為姮，且a+八城。，求，ABC的周長.

23

■、斗五刀./八曲HdCosCcosA.cosCcosA,八

【詳解】(1)解：因為----=——，由正弦定理rmZ得H一^=1F~~—........................................1分

c4b-asmC4smB-sinA

可得4sin_BcosC-sinAcosC=cosAsinC,

即4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,.......................................................................3分

因為3￡(0,兀)，可得sin5>0,所以4cosc=1,gpcosC=-,

4

所以sinC=A/1-COS2C=...............................................................6分

4

(2)解：由(1)知sinC=巫，

4

因為若的面積為姮，可得1"sinC=姮，即!"、巫=巫，解得劭=4,..................8分

222242

又因為a+Z?=

3

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abx^=(a+b)2=(^^-c)2-10,

整理得02=6,解得c=",..............................................................................................................................10分

所以a+Z?=x痛=4，

3

所以ABC的周長為a+Z7+c=4+#...............................................................................................................12分

18.某校高三年級進行班級數(shù)學(xué)文化知識競賽，每班選三人組成代表隊，其中1班和2班進入最終的決賽.決

賽第一輪要求兩個班級的代表隊隊員每人回答一道必答題，答對則為本班得1分，答錯或不答都得。分.已

知1班的三名隊員答對的概率分別為=3、：9、；1，2班的三名隊員答對的概率都是7：，每名隊員回答正確與

4323

否相互之間沒有影響.用4、〃分別表示1班和2班的總得分.

⑴求隨機變量乙〃的數(shù)學(xué)期望召（劣,磯〃）；

（2）若J+〃=2,求2班比1班得分高的概率.

【詳解】（1）依題意可得4的可能取值為0、1、2、3,

40123

111]_

P

244244

....................................................................................................................................................................................3分

1111193

所以E(J)=0x+1X：+2X+3XT=G..................................................................................................4分

v7724T4：2；47412

又2班的總得分〃滿足〃~《3,,則磯〃)=3xg=2................................................................................6分

(2)設(shè)“J+〃=2”為事件A,“2班比1班得分高”為事件B........................................................................7分

2

則尸（A）=gx:xC；xgx(l2

3

59

..............................................................................................................................................................9分

24x27

所以尸（小9=喘124x2712

——x-----------...................................................................................................11分

545959

所以2班比1班得分高的概率為三................................................................................................................12分

19.如圖，在圓柱中，一平面沿豎直方向截圓柱得到截面矩形A3與A,其中AA，5與為圓柱。O1的母

線，點C在底面圓周上，且BC過底面圓心0,點、D,E分別滿足AD=2D4,4E=2EC,過OE的平面與8月

交于點尸，且用k=ZEB(X>0).

(1)當(dāng)2=2時，證明:平面DEF//平面4BC；

(2)若M=2AB=2AC,AF與平面AAC所成角的正弦值為回,求A的值.

10

UUUUUUUUUUUUUU1ULUULU

【詳解】(1)當(dāng)2=2時，得BF=2FB,又4。=2以，BtE=2EC,

所以DF/MB,EF//BC,.................................................................................................................................2分

方N平面ABC,ABu平面ABC,.1￡>/〃平面ABC,

同理得所〃平面ABC,.....................................................................................................................................4分

因為所,小是平面DE//內(nèi)兩條相交直線，

所以平面DEF//平面ABC..................................................................................................................................5分

(2)因為&A，8與為圓柱OQ的母線，所以AA垂直平面ABC,又點C在底面圓周上，且BC過底面圓心

O,

所以AB_ZAC,所以A",AC,9兩兩互相垂直.以點A為坐標(biāo)原點，AB,AC,9分別為x,y,z軸，建立如圖

空間直角坐標(biāo)系...........................................................................6分

設(shè)AC=1,則A（0,0,0）,3（1,0,0）,C（0,l,0）,4（0,0,2）,耳（1,0,2）,

所以AB=（l,0,0）,=（0,0,2）,44=（1，°，°），4。=（。/,一2）,.........................................................7分

因為4b=4EB(X>0),所以8尸=六84=(0,0,2)，則

”=項+m=(1,。,。)+(。,。,言1]1,。,11......................................................................................

8分

設(shè)平面44c的一個法向量為n=(x,y,z),

A4=0x=0

即令z=1,解得x=0y=2,

?AC=y-2z=0

所以72=(0,2,1),.............................................................................10分

所以"與平面ABC所成角的正弦值為卜os〃

解得彳=1或-3,.................................................11分

2>0,：.A=1..............................................................................12分

20.已知動圓E經(jīng)過定點。(L0),且與直線產(chǎn)-1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)設(shè)過點P(l,2)的直線心乙分別與曲線C交于A,3兩點，直線心4的斜率存在，且傾斜角互補，求證:

直線的傾斜角為定值.

【詳解】(1)因為動圓E經(jīng)過定點。(1,0),且與直線x=T相切，

即動圓圓心E到點。(1,0)的距離與到直線x=-l的距離相等，.................................1分

又點。(1,0)不在直線x=-l上，

由拋物線的定義可知動圓圓心E是以。(1,0)為焦點，直線了=-1為準線的拋物線，...............3分

所以動圓圓心E的軌跡為y2=4x...............................................................4分

(2)依題意設(shè)直線4方程為y=k(x-l)+2(k^0),

?，一直線4，6的斜率存在，且傾斜角互補,

?--4的方程為y=—k(x—i)+2.

Iy=k(x-l)+2____

聯(lián)立方程組2,，消元得公公一(2%2一4左+4)尤+(%-2)2=0,

[y=4x

A=(2左2-4k+47一4左2(左-2)2=16(左一I)?>0,..............................................6分

因為此方程的一個根為1,設(shè)A（4%）,3（孫為），

則3=出囚=如一:f+4,同理可得/+j+4,............................................................................................8分

2k2+8-8k-8

?'石+”2=一記一，玉一/==1?

2尸+88

/.%一%=伙（玉一1）+2]—[一女（%—1）+2]=k（玉+%）—2k=---------2k=_.

kk

；/=上二^=T,.......................................................................10分

%~X2

4

設(shè)直線AB的傾斜角為。，貝心血夕=_1,又。目0,兀），所以。=學(xué)7r，...........................11分

「?直線A3的斜率為定值-1,傾斜角為定值43兀..............................................12分

4

21.已知函數(shù)/(x)=xe"-2依(〃>0).

⑴若函數(shù)“尤）在x=l處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為],求a的值;

⑵若函數(shù)〃尤）的最小值為-e,求a的值.

【詳解】(1)因為f(x)=:reX-2ax(a>0),所以/'(x)=(x+l)e;2a,

貝ir(l)=2e—2a,又/⑴=e-2a,

所以函數(shù)〃x）在x=l處的切線方程為y-e+2a=（2e—2a）（x—l）..............................2分

由題意，顯然awe