2024年浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)5.3正方形課后培優(yōu)練一、選擇題1．下列命題中，假命題是（）A．平行四邊形的對(duì)角線相等B．正方形的對(duì)角線互相垂直平分C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D．有一個(gè)角為90°的平行四邊形是矩形2．在周長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為（）A．2 B．3 C．5 D．23．如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線BD下方的一點(diǎn)，∠1=∠2，則∠AMB為（）A．120° B．130° C．125° D．135°4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、A．16 B．18 C．20 D．225．如圖，分別沿長(zhǎng)方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對(duì)角線AC，EG剪開(kāi)，拼成如圖2所示的四邊形ALMN，若中間空白部分四邊形恰好是正方形OPQR，且四邊形KLMN的面積為50，則正方形EFGH的面積是（）A．23 B．24 C．25 D．366．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與頂點(diǎn)A、B、C重合)，在運(yùn)動(dòng)中始終保持AE=BF，DE與AC交于點(diǎn)G，當(dāng)∠AFB=67.5°時(shí)，A．22.5° B．45° C．60° 7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)G落在HI上，若AC+BC=6，空白部分面積為10.5，則AB的長(zhǎng)為（）A．26 B．20 C．19 D．188．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)H在邊AD上，CE＝DH，CH交BE于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G，連接GE．下列結(jié)論：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④當(dāng)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，GFGE=45；⑤當(dāng)EC＝2DE時(shí)，S正方形ABCD＝6A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤二、填空題9．由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．將小正方形對(duì)角線EF雙向延長(zhǎng)，分別交邊AB，和邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，GH=210，則大正方形的邊長(zhǎng)為10．2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，大會(huì)的會(huì)標(biāo)是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”演變而來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.如圖是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的“弦圖”.記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3.若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為1011．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且BE=2，點(diǎn)F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為一條直角邊向右側(cè)作等腰Rt△EGF，且使∠EFG=90°，連接CG，則CG的最小值是．12．如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E是BC上一點(diǎn)且CE=1，F(xiàn)是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)．連接CF，將線段CF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，則EG的最小值是．三、解答題13．如圖，已知在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE.交射線BC于點(diǎn)F，以DE、（1）求證：DE=（2）連接EG，設(shè)AE=x，△ECG的面積為y.求（3）當(dāng)∠CEF=20°時(shí)，求∠EFC14．如圖1，兩張紙片正方形ABCD與正方形BEFG拼在一起，在AB邊上取AM=BE，沿DM，MF分別剪一刀，將△DAM拼至△DCN，△MEF拼至△NGF，無(wú)縫隙無(wú)重疊，如圖2．（1）求證：DM=MF．（2）求證：四邊形DMFN是正方形．（3）仿照題中的剪拼方法，剪兩刀把圖3中兩個(gè)正方形剪拼成一個(gè)更大的正方形，在圖中作出剪拼線，并完成拼圖．15．如圖1，矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O畫(huà)EF⊥AC分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AF，CE．（1）[證明體驗(yàn)]求證：四邊形AECF是菱形．（2）[基礎(chǔ)鞏固]若AB=8，BC=6，求菱形AECF的邊長(zhǎng)．（3）[拓展延伸]如圖2，在對(duì)角線AC上取點(diǎn)G，H，使得四邊形EHFG是正方形，若正方形EHFG的邊長(zhǎng)為32

答案解析部分1．答案:A解析：解：A、平行四邊形的對(duì)角線是互相平分的，不是相等的，所以A選項(xiàng)是假命題；B、正方形的對(duì)角線是互相垂直平分的，所以B選項(xiàng)是真命題；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)是真命題；D、有一個(gè)角為90°的平行四邊形是矩形，所以D選項(xiàng)是真命題；故答案為：A.分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)正方形的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)菱形的判定定理可判斷C；根據(jù)矩形的判定定理可判斷D.2．答案:C解析：解：連接DE，與AC的交點(diǎn)為P，此時(shí)BP＋PE最小，∵四邊形ABCD是正方形，且周長(zhǎng)為8，∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴BP＝DP，∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝12在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴DE＝22+1故答案為：C.分析：由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，所以連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)BP＋PE最小為線段DE的長(zhǎng)，在Rt△DAE中，由勾股定理先計(jì)算出DE的長(zhǎng)度即可.3．答案:D解析：解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠ABD=45°，

∴∠2+∠ABM=45°，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ABM=45°，

∵∠AMB=180°-∠1-∠ABM，

∴∠AMB=135°．故答案為：D.分析：根據(jù)正方形的四個(gè)角都是直角，正方形的對(duì)角線平分對(duì)角可求得∠ABD=∠ABD=45°，結(jié)合題意求得∠1+∠ABM=45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，即可求解.4．答案:B解析：連接PF，設(shè)PC交AF于點(diǎn)G，AM交EF于點(diǎn)H，

由題知∠F=∠GAB=90°，AF=BA，∠FAH=∠ABG，∴△AFH≌△BAG，

同理可證得△ABC≌△AFQ，△ABC≌△EBN，△EMH≌△FPG，

∴S1+S3=S2=S4=S△ABC

∵S△ABC=12CA·CB=12×3×4=6

5．答案:C解析：解：設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a，則圖2中的PM=PL=RN=RK=a，設(shè)圖2中得小正方形OPQR的邊長(zhǎng)為b，所以BC=NQ=a+b，AB=MQ=a-b，根據(jù)題意得：S長(zhǎng)方形ABCD+S正方形EFGH+S小正方形PQRO=50，

∴（a+b）（a-b）+a2+b2=50，

∴a2-b2+a2+b2=50，

∴2a2=50，

∴a2=25，

即正方形EFGH的面積為25.

故答案為：C。

分析：設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a，則圖2中的PM=PL=RN=RK=a，設(shè)圖2中得小正方形OPQR的邊長(zhǎng)為b，所以BC=NQ=a+b，AB=MQ=a-b，根據(jù)題意得：S長(zhǎng)方形ABCD+S正方形EFGH+S小正方形PQRO=50，構(gòu)建方程，即可求得答案。6．答案:D解析：∵四邊形ABCD為正方形

∴AB∥DC，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∠BAC=∠DCA=45°

∵AE=BF

∴△ADE?BAF（SAS）

∴∠DEA=∠AFB=67.5°

∵AB∥DC

∴∠GDC=∠DEA=67.5°

∴∠CGD=180°-∠GDC-∠DCA=67.5°

即∠CGD=67.5°

故答案為D

分析：本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定。熟悉正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵。根據(jù)正方形性質(zhì)及AE=BF，可判定△ADE?BAF，得到∠DEA=∠AFB=67.5°，結(jié)合平行得到的∠GDC=∠DEA=67.5°，可計(jì)算出∠CGD=67.5°.7．答案:C解析：解：∵四邊形ABGF是正方形，

∴∠F=∠FAB=90°，AF=AB，

∵四邊形ACDE是正方形，

∴∠ACE=90°，

∴∠FAM+∠FMA=∠FAM+∠ANC=90°，

∴∠ANC=∠FMA，

∴△FAM≌△ABN（AAS），

∴S△FAM=S△ABN，

∴S四邊形FNCM+S△ACN=S△ABC+S△ACN∴S四邊形FNCM=S△ABC，

∴空白部分面積=正方形ABGF的面積-S四邊形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面積-2S△ABC=10.5，

∴AB2-2AC·BC=10.5①，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

∵AC+BC=6，

∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，

∴AB2+2AC·BC=36②，

聯(lián)立①②得3AB2=57，解得AB=19.

故答案為：C.分析：利用AAS證明△FAM≌△ABN，可得S△FAM=S△ABN，從而得出S四邊形FNCM=S△ABC，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，由空白部分面積=正方形ABGF的面積-S四邊形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面積-2S△ABC=10.5，即得AB2-2AC·BC=10.5①，由AC+BC=6可得AB2+2AC·BC=36②，聯(lián)立①②求出AB2即可求解.8．答案:A9．答案:3解析：解：延長(zhǎng)BF交DC于點(diǎn)N，如圖，

設(shè)小正方形在DE上的頂點(diǎn)為M，設(shè)EM=a，AE=b，

∵大正方形與小正方形的面積之比為5，

∴AD2EM2=5，

∴AD=5a，

∵AD2=AE2+DE2，

∴5a2=b2+a+b2，

化簡(jiǎn)得2a+ba?b=0，

∴a=b，

∵BN∥DE，

∴△CNF~△CDM，△PNF~△PDE，

∴CNCD=FNDM=CFCM=12，PNPD=NFDE=14，

∵AB∥DC，

∴△FPN~△FGB，故答案為：3.分析：延長(zhǎng)BF交DC于N，設(shè)小正方形在DE上的頂點(diǎn)為M，設(shè)EM=a，AE=b，由面積比得AD=5a，又AD2=AE2+DE2，求得a=b，利用BN∥DE，得到CNCD10．答案:30解析：解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG∵八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，四邊形EFGH，四邊形MNKT是正方形，∴CG=FM=NG，CF=FN=DG，∴=C=C=GFS2S3=F=C=GF∵正方形EFGH的邊長(zhǎng)為10，∴GF∴S故答案為：30．分析：在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性質(zhì)得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面積公式得S1=CG2+CF2+2CG?DG，S211．答案:4解析：過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P，GQ⊥BC于點(diǎn)Q，連接BD，如圖所示：

根據(jù)題意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，

∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，

∴∠PGF=∠QGE，

∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，

∴GF=GE，

在△GPF與△GQE中，

∠GPF=∠GQE∠PGF=∠QGEGF=GE，

∴△GPF≌△GQE（AAS），

∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=12∠ABC，

∴點(diǎn)G在BD所在的直線上運(yùn)動(dòng)，

∵F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)G的位置如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，記點(diǎn)G的位置為G''，

∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段GG''，

過(guò)點(diǎn)C作CG'⊥BD于點(diǎn)G'，

∴CG的最小值=CG'=12BD，

∵正方形的邊長(zhǎng)為8，

∴BD=82，

∴CG的最小值是12BD=42，

故答案為：42.

分析：先利用“AAS”證出△GPF≌△GQE，可得GP=GQ，∠GBP=∠GBE=12∠ABC，再證出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段GG''，過(guò)點(diǎn)C作CG'⊥BD于點(diǎn)G'，可得CG的最小值=CG'=12BD，再結(jié)合BD=12．答案:10解析：解：如圖，作直線BG，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，

∴BC=CD=3，∠BCD=90°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=CG，∠FCG=90°，

∴∠BCD-∠ECF=∠FCG-∠ECF，

即∠DCF=∠BCG，

∴△BCG≌△DCF（SAS），

∴∠CBG=∠CDF，

∵∠CDF是定值，

∴點(diǎn)G在直線BG上運(yùn)動(dòng)，且tan∠CBG=tan∠CDF=CECD=13，

根據(jù)垂線段最短得，當(dāng)EG⊥BG時(shí)，EG的長(zhǎng)最短，此時(shí)tan∠EBG=GEBG=13，

設(shè)EG=m(m＞0)，則BG=3m，

在Rt△BEG中，∵BE2=BG2+EG2，

∴4=m2+9m2分析：作直線BG，由正方形的性質(zhì)得BC=CD=3，∠BCD=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=CG，∠FCG=90°，由同角的余角相等得∠DCF=∠BCG，從而由SAS判斷出△BCG≌△DCF，由全等三角形的性質(zhì)得∠CBG=∠CDF，由于∠CDF是定值，故點(diǎn)G在直線BG上運(yùn)動(dòng)，且tan∠CBG=tan∠CDF=13．答案:（1）證明：如圖，作EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD∴四邊形EMCN是矩形，∴∠MEN∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM∵四邊形DEFG是矩形，∴∠DEF∴∠DEN在△DEN和△∠DEN=∴△DEN≌△∴DE（2）解：∵四邊形DEFG是矩形，EF=∴矩形DEFG是正方形，∴DE=DG∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC∴∠CDG∴△ADE≌△∴AE=CG∵∠ACD∴∠ACG∵AD=DC∴AC∴△ECG的面積（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB∵∠CEF=20°，∴∠EFC如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠ACB=∠CEF∴∠CFE綜上，∠EFC的度數(shù)為115°或25°．解析：本題主要考查正方形的基本性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì).

（1）作EM⊥BC，EN⊥CD，結(jié)合題意可證得四邊形EMCN是矩形，然后運(yùn)用矩形和正方形的性質(zhì)可得到△DEN≌△FEM，進(jìn)而得到答案；

（2）根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)運(yùn)用等量代換的方法可證得：△ADE≌△CDG，得到AE=CG=x，進(jìn)而表示出14．答案:（1）證明：在正方形ABCD與正方形BEFG中，BE=EF，AD=AB，∠A=∠E=90°．∵AM=BE，BE=EF，

∴AM=EF．∵AE=AB+BE=AM+ME，AM=BE，

∴AB=ME．又∵AD=AB，

∴AD=ME．∴△ADM≌△EMF，

∴DM=MF（2）證明：由（1）已證：DM=MF，△ADM≌△EMF，∴∠DMA=∠MFE．∵∠E=90°，

∴∠MFE+∠FME=90°．∴∠DMA+∠FME=90°．∴∠DMF=180°?(∠DMA+∠FME)=90°∵△NGF是由△MEF拼成的，

∴FN=MF∴DM=FN．同理DN=DM．∴DM=FN=DN=MF，四邊形DMFN是正方形，（3）如圖所示，取BM=AE，沿CM，MF分別剪一刀，將△EFM拼至△GFN，△CBM拼至△CDN．解析：（1）利用正方形的性質(zhì)和等量轉(zhuǎn)化即可證明AD=ME，通過(guò)三角形全等即可求證DM=MF；

（2）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)果，通過(guò)等量轉(zhuǎn)化求證∠DM