第二章軸向拉(壓)變形

［習題2-1］試求圖示各桿1-1和2-2橫截面上的軸力，并作軸力圖。

(a)

解：(1)求指定截面上的軸力

⑵作軸力圖

軸力圖如以以下圖。

⑹

解：(1)求指定截面上的軸力

(2)作軸力圖

軸力圖如以以下圖。

(c)

解：(1)求指定截面上的軸力

(2)作軸力圖

軸力圖如以以下圖。

(d)

解：(1)求指定截面上的軸力

(2)作軸力圖

中間段的軸力方程為：

軸力圖如以以下圖。

［習題2-2］試求圖示等直桿橫截面1-1、2-2和平3-3上的軸力，并作軸力圖。假設橫截面面積

A=400〃”后,試求各橫截面上的應力。

解：(1)求指定截面上的軸力320kN2IOkN1

(2)作軸力圖20kN

軸力圖如以以下圖。

(3)計算各截面上的應力

［習題2-3］試求圖示階梯狀直桿橫截面1-1、2-2

和平3-3上的軸力，并作軸力圖。假設橫截面面習題2-2圖

2

積A=200mm',A2=300mm,

A3=400削,J,并求各橫截面上的應力。

解：(1)求指定截面上的軸力

(2)作軸力圖

320kN210kN1

軸力圖如以以下圖。20kN

(3)計算各截面上的應力

［習題2-4|圖示一混合屋架構造的計算簡圖。屋架的

上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中間豎向撐

桿用角鋼構成，其截面均為兩個的等習題23圖

邊角鋼。屋面承受集度為q=20ZN/m的豎直均布

荷載。試求拉桿AE和EC橫截面上的應力。

解：(1)求支座反力

習題2-4圖

由構造的對稱性可知：

(2)求AE和EG桿的軸力

①用假想的垂直截面把C較和EG桿同時切斷，取左局部為研究對象，其受力圖如以以下圖。由平

衡條件可知：

②以C節(jié)點為研究對象，其受力圖如以以下圖。

由平平衡條件可得：

(3)求拉桿AE和EG橫截面上的應力III“I

查型鋼表得單個75mmx8mm等邊角鋼的面積為：

A=11.503c/?!2=1150.3mm2

［習題2-5］石砌橋墩的墩身高/=10加，其橫截面面尺寸如以以下圖。

荷載/=1000ZN,材料的密度P=2.35儂/加，試求墩身底部橫截

面上的壓應力。

解：墩身底面的軸力為：

墩身底面積:A=(3x2+3.14x12)=9.14(加2)

因為墩為軸向壓縮構件，所以其底面上的正應力均勻分布。

［習題2-6］圖示拉桿承受軸向拉力尸=10攵N,桿的橫截面面積

A=100mm2?如以a表示斜截面與橫截面的夾角，試求當a=0",30°,45°,600,90"時各斜截面上

的正應力和切應力，并用圖表示其方向。

解：斜截面上的正應力與切應力的公式為：

..N100007V.附

式中，＜7--=-----7=1OOA/Pa，把a的數(shù)值

°0A100加2

代入以上二式得：

習題2-6圖

軸向拉/壓桿斜截面上的應力計算

題目

N(N)A(mm2)?(0)bo(MPa)%(MPa)%(MPa)

編號

習題100001000100100.00.0

2-6100001003010075.043.3

100001004510050.050.0

100001006010025.043.3

10000100901000.00.0

［習題2-7］一根等直桿受力如以以下圖。桿的橫截面面積A和材料的彈性模量E。試作軸力圖，并

求桿端點D的位移。

解：(1)作軸力圖

AD桿的軸力圖如以以下圖?？贔

(2)求D點的位移

FI/d/一c

一)33

3EA

習題2-7圖

［習題2-8］一木樁受力如以以下圖。柱的橫。截面為邊長200mm的正方形，材料可認為符合胡克定

律，其彈性模量￡=10GPa。如不計柱的自重，試求:

(1)作軸力圖；

(2)各段柱橫截面上的應力；

(3)各段柱的縱向線應變；

(4)柱的總變形。

解：(1)作軸力圖

軸力圖如以以下圖。

(2)計算各段上的應力

-IOOXKPN

=-2.5MPa。

200x200mm2

3

NCB-260xlQ^

=-6.5MPa,

200x200////??2

(3)計算各段柱的縱向線應變

(4)計算柱的總變形

［習題2-9］一根直徑16加加、長/=3加的圓截面桿，承受軸向拉力E=30ZN,其伸長為

M=2.2mm。試求桿橫截面上的應力與材料的彈性模量E。

解：(1)求桿件橫截面上的應力

(2)求彈性模量

所以：￡=-=cr?'=149.3x=203590.9(MPa)=203.6GP”。

AMM2.2

［習題2-10］(1)試證明受軸向拉伸(壓縮)的圓截面桿橫截面沿圓周方向的線應變q等于直徑方向

的線應變￡,/。

(2)一根直徑為4=10/方然的圓截面桿，在軸向力F作用下，直徑減小了0.0025mm。如材料

的彈性模量E=210GPa,泊松比v=0.3,試求該軸向拉力F。

(3)空心圓截面桿，外直徑。=120/加，內(nèi)直徑4=60加加，材料的泊松比丫=0.3。當其

軸向拉伸時，縱向線應變=0.001,試求其變形后的壁厚。

解：⑴證明/=%

在圓形截面上取一點A,連結圓心O與A點，則OA即代表直徑方向。過A點作一條直線

AC垂直于OA,則AC方向代表圓周方向。

￡s=￡ac=-VS(泊松比的定義式)，同理，

故有：￡s=￡do

(2)求軸向力F

（3）求變形后的壁厚

變形厚的壁厚：

［習題2-11］受軸向拉力F作用的箱形薄壁桿如以以下圖。該材料的彈性常數(shù)為試求C與D兩

點間的距離改變量△cv）。

式中，A=（a+5）2—（4—5）2=4aS,故：

［習題2-12］圖示構造中，AB為水平放置的剛性桿，桿

1,2,3材料一樣，其彈性模量E=210Gpa,l=lm,

2

A=&=100m/tt,A3=150nlm2,F=20kN.

試求C點的水平位移和鉛垂位移。

解：（1）求各桿的軸力

以AB桿為研究對象，其受力圖如以以下圖。

因為AB平衡，所以

由對稱性可知，Acw=受力圖

（2）求C點的水平位移與鉛垂位移。

A點的鉛垂位移

習題2-12圖

_NJ_10000Nx1000〃帽

=0.476m/??

EA1210000N/mm2x100/mi2

Nl_10000X1000mm

B點的鉛垂位移:2=0.476〃?/"

E47-210000N/nvn2xlOOnvn2

1、2、3桿的變形協(xié)（諧）調的情況如以以下圖。由1、2、3桿的變形協(xié)（諧）調條

件，并且考慮到AB為剛性桿，可以得到：

C點的水平位移：、CH-AH~^BH=△/]?tan45"=0.4760/〃)

C點的鉛垂位移：金=△/1=0.476（/加）

［習題2-13］圖示實心圓桿AB和AC在A點以較相連接，在A點作用有鉛垂向下的力F=35KV。

桿AB和AC的直徑分別為&=12mm和出=15加〃，鋼的彈性模量E=210GPa。試求A點在

鉛垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC桿的軸力

以節(jié)點A為研究對象，其受力圖如以以下圖。

由平衡條件得出：

習題2-13圖

YX=0：NMACVsin300-NnAlI3Isin450=0

N,\c=拒NAB.................(A)

r=0

E:NACcos300+NABcos450-35=0

△NAC+^NAB=7U............(b)

(a)(b)聯(lián)立解得：

心=N\=18.117kN；NAC=N,=25.62ikN

(2)由變形能原理求A點的鉛垂方向的位移

式中，4=1000/sin45"=1414(/咖)

/,=800/sin30"=1600(mm)

22

A=0.25x3.14x122=113mm；A2=0.25x3.14x15=177mm?

22

?A118117X141425621x1600x、

「故：A.=------(---------------1--------------)=1.366(mn)

A35000210000xll3210000x177

［習題2-14］圖示A和B兩點之間原有水平方向的一根直徑d=bnm的鋼絲，在鋼絲的中點C加一豎

向荷載F。鋼絲產(chǎn)生的線應變?yōu)椤?0.0035,其材料的彈性模量￡=210GPa,

鋼絲的自重不計。試求：

(1)鋼絲橫截面上的應力(假設鋼絲經(jīng)過冷拉，在斷裂前可認為符合胡克定律)；

(2)鋼絲在C點下降的距離△:

(3)荷載F的值。

解：(1)求鋼絲橫截面上的應力

(2)求鋼絲在C點下降的距離△

△I=N-=b.L=735義2000=7(/〃/〃)。其中，AC和BC各3.5〃》n。

EAE210000

(3)求荷載F的值

以C結點為研究對象，由其平稀衡條件可得：

2丫=0：2Nsina-P=0

［習題2-15］圖示圓錐形桿受軸向拉力作用，試求桿的伸長。

解：取長度為力;截離體(微元體)。則微元體的伸長量為：

RibM1F,Ffldx2Flcldu、

因此，AZ=------dx=------=------------(一一-)

J(>EA(x)出。&幻注(&—4)J°?

［習題2-16］有一長度為300mm的等截面鋼桿承受軸向拉力尸=30內(nèi)V。桿的橫截面面積

A=2500mm2,材料的彈性模量E=210G/%。試求桿中所積蓄的應變能。

N2l_300002A^2x0.3m

解:=0.257(Mm)

IE4-2x210000N/nvn2x2500trim2

［習題2-17］兩根桿AIBI和A2B2的材料一樣，其長度和橫截面面積一樣。桿A.B）承受作用在端點的

集中荷載F；桿A2B2承受沿桿長均勻分布的荷載，其集度/=試對比這兩根桿內(nèi)積蓄的應變

能。

解：（1）求（a）圖的應變能

（2）求（b）圖的應變能

（3）以上兩種情形下的應變能對比

F2l

支=羋^=3,即：Uu=3Uho

2

UbFl

6EA

［習題2-18］圖示一鋼筋混凝土平面閘門，其最大啟門力為尸=140ZN。如提升閘門的鋼質絲杠內(nèi)徑

Q=鋼的許用應力［b］=170MP。，試校核絲杠的強度。

解：（1）計算最大工作應力

（2）強度校核

因為［b］=170MPa,crmax=111.465MPa

叫bmax<6］

所以絲杠符合強度條件，即不會破壞。

［習題2-19］簡易起重設備的計算簡圖如以以下圖。斜桿AB用兩

根63mmx4Qmmx4mm不等邊角鋼組成，鋼的許用應力

［cr］=170MPa。試問在起重量P=15ZN的重物時，斜桿AB是

否滿足強度條件

解：（1）計算AB桿的工作應力

以A結點為研究對象，其受力圖如以以下圖。由其平衡條件可得:

查型鋼表得：單個63mmx40mmxAirun不等邊角鋼

的面積為：4.058cm2=405.8mm2?兩個角鋼的總

面積為2*405.8=811.6（相加2）

故AB桿的工作應力為：

（2）強度校核

因為［b］=170MPa,0max=74MPa

即：/ax<[b|

所以AB桿符合強度條件，即不會破壞。

[習題2-20]一塊厚10加機、寬200〃加的舊鋼板，其截面被直徑"=20加根的圓孔所削弱，圓孔的

排列對稱于桿的軸線，如以以下圖。鋼板承受軸向拉力戶=2004反。材料的許用應力

[a]=170MPa,假設不考慮應力集中的影響，試

校核鋼板的強度。

解：（1）判斷不安全截面

垂直于軸線，且同時過兩個孔的截面是危

險截面。不考慮應力集中時，可認為應力在這截

面上均勻分布。

（2）計算工作應力

不安全截面上的工作應力為：指示

NF

"X---bt—2dt

（3）強度校核

因為[b=170Mpa,o-max=125MP?

即：bmax<[b]

所以AB桿符合強度條件，即不會破壞。

[習題2-21]—構造受力如以以下圖，桿件AB,AD均由兩根等邊角鋼組成。材料的許用應力

[a]=\70MPa,試選擇AB,AD的角鋼型號。

解：（1）求AB、AD桿的軸力

由對稱性可知：

取節(jié)點A為研究對象，由其平衡條件可得：

（2）計算AB、AD桿的工作應力，并選定角鋼。，

查型鋼表，AD桿可選用兩根角鋼號數(shù)為8的、I

80/7W/X6〃叼？（單根面積9.397?！?）的等邊角鋼

300kN/m

查型鋼表，AB桿可選用兩根角鋼號數(shù)為10的“mHCH7

1OOm???x10mm（單根面積19.261?！◤V）的等邊角鋼

[習題2-221一桁架如以以下圖。各桿都由

兩個等邊角鋼組成?材料的許用應力

220kN220kN

[a]=170MPa,試選擇AC和CD的角鋼

型號。

解；（1）求支座反力

由對稱性可知,

（2）求AC桿和CD桿的軸力

以A節(jié)點為研究對象，由其平

衡條件得：習題2-22圖

以C節(jié)點為研究對象，由其平衡

條件得:

(3)由強度條件確定AC、CD桿的角鋼型號

AC桿：

選用21-80x7(面積2x10.86=21.72c/)。

CD桿：

選用2L75x6(面積2x8.797=17.594cW)。

［習題2-23］—構造受力如以以下圖，桿件AB、CD、EF、GH都由兩根不等邊角鋼組成。材料

的許用應力［b］=170MPa,材料的彈性模量E=210GPa,桿AC及EG可視為剛性的。試選擇

各桿的角鋼型號，并分別求點D、C、A處的鉛垂位移A。、Ac>

解：［1)求各桿的軸力

(2)由強度條件確定AC、CD桿的角鋼型號

AB桿：

選用2J90x56x5(面積

2x7.212=14.424而)。

CD桿：

選用21_40x25x3(面積

2x1.89=3.78c/??2

習題223圖

EF桿：

選用2J70x45x5(面積2x5.609=11.218cm2)。

GH桿：

選用21-70x45x5(面積2x5.609=11.218(?〃/)。

(3)求點D、C、A處的鉛垂位移A。、與、△A

EG桿的變形協(xié)調圖如以以下圖。

［習題2-24］混凝土的密度「=225x1()3g/皿3,許用壓應力匕］=2MPa。試按強度條件確定圖

示混凝土柱所需的橫截面面積4和A2。假設混凝土的彈性模量E=20GP。，試求柱頂A的位移。

解：(1)確定A和A?

1000kN

混凝土的重度(重力密度)：

上段(1桿)：

1桿的重量：1000+4X12x22.05=1000+264.6^(^)

下段(2桿)

2桿的重量：

習題2-24圖

1000+0.576X12x22.05+A2x12x22.05=1152.41+2M.6A2伏AQ

(2)計算A點的位移

1桿的軸力：N(x)=—(1000+0.576xx22.05)=—(12.7x+1000)(KV)(x以加為單位)

2桿的軸力：N(y)=-(1000+0.576xl2x22.05+0.664yx22.05)

=—1.121(加⑶(負號表示壓縮量〕

(負號表示壓縮量)

AA=M+M=-1.121-1.121=-2.242(ran)(I)

［習題2-25］⑴剛性梁AB用兩根鋼桿AC、BD懸掛著，其受力如以以下圖。鋼桿AC和BD的直

徑分別為4=25,加和4=18〃?加，鋼的許用應力［b］=170MPa,彈性模量E=210GPa

。試校核鋼桿的強度，并計算鋼桿的變形A/AC、A/BD及A、B兩點的豎向位移△八%

解：(1)校核鋼桿的強度

①求軸力

②計算工作應力

③因為以上二桿的工作應力均未超過許用應力

170MPa,即(TAC<1<TJ；crBD<［a］,

所以AC及BD桿的強度足夠，不會發(fā)

生破壞。

(2)計算44c、\lBD

(3)計算A、B兩點的豎向位移A.、A

B習題2-25圖

△B=&BD=L560(〃zm)。

［習題2-26］圖示三較屋架的拉桿用16銹鋼桿制成。材料的許用應力吁］=210Mpa,彈性模

量E=210GPa。試按強度條件選擇鋼桿的直徑，并計算鋼桿的伸長。

解：(1)求支座反力

16.9kN/m

由對稱性可知：

=0.5x16.9x17.7=149.565(KV)(t)

(2)求拉桿AB的軸力

(3)按強度條件選擇鋼桿的直徑

(4)計算鋼桿的伸長

［習題2-27］簡單桁架及其受力如以以下圖，水平桿習題2-26圖

BC的長度I保持不變，斜桿AB的長度可隨夾角0的

變化而改變。兩桿由同一種材料制造，且材料的許用拉應力和許用壓應力相等。要求兩桿內(nèi)的應力

同時到達許用應力，且構造的總重量為最小時，試求：

(1)兩桿的夾角；

(2)兩桿橫截面面積的比值.

解：(1)求軸力

取節(jié)點B為研究對象，由其平衡條件得：

(2)求工作應力

(3)求桿系的總重量

W=y-V=y(AABlAB+ABClBC).7是重力密度(簡稱

重度，單位：kN/而)。

(4)代入題設條件求兩桿的夾角

習題2-27圖

A"

[crjsin0

_NFCO\.0r、FcotO

0~BC—;——=[CT],

Ape

條件⑵：W的總重量為最小。

從W的表達式可知，W是。角的一元函數(shù)。當W的一階導數(shù)等于零時，W取得最小值。

(5)求兩桿橫截面面積的比值

因為：3cos29=—1

AL

所以：口=當

A^c

[習題2-28]—內(nèi)徑為r,厚度為5寬度為8的薄壁圓環(huán)。在圓環(huán)的內(nèi)外表承受均勻分

布的壓力p(如圖)，試求：

(1)由內(nèi)壓力引起的圓環(huán)徑向截面上應力；

(2)由內(nèi)壓力引起的圓環(huán)半徑的伸長。

解：(1)求圓環(huán)徑向截面上應力

如圖，過水平直徑作一水平面(即為徑向截面)，取上半局

部作為研究對象，其受力圖如以以下圖。由平衡條件得：

(2)求由內(nèi)壓力引起的圓環(huán)半徑的伸長

應用變形能原理：W=U.

第三章扭轉習題解

[習題3-1]一傳動軸作勻速轉動，轉速"=200r/min,軸上裝

有五個輪子，主動輪H輸入的功率為60女W,從動輪，I,III,習題2-28圖

IV,V依次輸出18ZW,12ZW,22ZW和8ZW。試作軸的

扭圖。

解：(1)計算各輪的力偶矩(外力偶矩)

外力偶矩計算(kW換算成kN.m)

題目編號輪子編號輪子作用功率(kW)轉速r/minTe(kN.m)

習題3-1I從動輪182000.859

II主動輪602002.865

III從動輪122000.573

IV從動輪222001.051

V從動輪82000.382

(2)作扭矩圖

［習題3-2］

一鉆探機

的功率為lOkW,轉速〃=180r/min。鉆桿鉆

入土層的深度/=40加。如土壤對鉆桿的阻力

習題3-1圖

可看作是均勻分布的力偶，試求分布力偶的集

度〃？，并作鉆桿的扭矩圖。

解：(1)求分布力偶的集度加

設鉆桿軸為x軸，貝於^Mx=0

(2)作鉆桿的扭矩圖

T(x)=-mx=~^-x=-0.0133x。

xe[0,40]

T(0)=0；T(40)=Me=-0.5305(kN-ni)

扭矩圖如以以下圖。

［習題3-3］圓軸的直徑d=50〃〃〃，轉速為120r/min。假設該軸橫截面上的最大切應力等于60Mp。，

試問所傳遞的功率為多大

解：(1)計算圓形截面的抗扭截面模量：

(2)計算扭矩

(3)計算所傳遞的功率

［習題3-4］空心鋼軸的外徑D=100加，內(nèi)徑d=50mm。間距為I=2.7機的兩橫截面的相對扭轉

角9=L8",材料的切變模量G=80Gp“。試求：

(1)軸內(nèi)的最大切應力；

(2)當軸以〃=80/7min的速度旋轉時，軸所傳遞的功率。

解；(1)計算軸內(nèi)的最大切應力

4

〃=\(1_)=盤x3.14159x10()4x(I_OS,)=9203877(/wn)。

式中，a=dID。

(2)當軸以〃=80"min的速度旋轉時，軸所傳遞的功率

［習題3-5］實心圓軸的直徑d=100〃?〃?，長/=1m，其兩端所受外力偶矩M,=14ZM〃z,材料的

切變模量G=80GPa。試求：

(1)最大切應力及兩端面間的相對轉角：

(2)圖示截面上A、B、C三點處切應力的數(shù)值及方向;

(3)C點處的切應變。

解：(1)計算最大切應力及兩端面間的相對轉角

工二竺

?1刃型.，一;

3

Wn=—血3=—X3.14159X100=196349（，〃/）。故：

「1616

式中，/,,=-1-㈤4=_Lx3.14159xlO（）4=9817469（相m4）。故:

(2)求圖示截面上A、B、C三點處切應力的數(shù)值及方向

由橫截面上切應力分布規(guī)律可知：

A、B、C三點的切應力方向如以以下圖。

(3)計算C點處的切應變

［習題3-6］圖示一等直圓桿，d-40mm,a—4OOm/77.G-SOGPa,(pDB=1°?試求:

(1)最大切應力；

(2)截面A相對于截面C的扭轉角。MeM,%

解：(1)計算最大切應力仁一毛__、卜——

從AD軸的外力偶分布情況可知：昌南一9I5-

_a__2。_

I,二-1-血4」x3.14159x404=251327(師4)。故：

P3232

式中，=-!-就3=_Lx3.14159x4()3=125660〃，/)。故：

P1616

(2)計算截面A相對于截面C的扭轉角

［習題3-7］某小型水電站的水輪機容量為50ZW,轉速為300r/min,鋼軸直徑為75mm,假設在正

常運轉下且只考慮扭矩作用，其許用切應力［r］=20MPa。試校核軸的強度。

解：(1)計算最大工作切應力

式中，=9.549"=9.549x%=1.592(AN-a)；

w=J_欣3=J_x3.14159x753=12566（，加）。

P1616

Me1592000N-mm

故:%ax=19.219M&

%82835加〃「

(2)強度校核

因為丁”=19.219M「。，[7]=20”尸4,即7max<K]，所以軸的強度足夠，不會發(fā)生破

壞。

[習題3-8]鉆探機鉆桿(參看題3-2圖)的外徑。=60加小，內(nèi)徑4=50“n,功率P=7.355kW,

轉速〃=180"min,鉆桿入土深度/=40加，鉆桿材料的G=80GMPa,許用切應力

[r]=40MPa。假設土壤對鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的，試求：

(1)單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩集度加；

(2)作鉆桿的扭矩圖，并進展強度校核；

(3)兩端截面的相對扭轉角。

解：(1)求單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩集度加

設鉆桿軸為x軸，貝h^Mx=0

(2)作鉆桿的扭矩圖，并進展強度校核

①作鉆桿扭矩圖

0.39

T(x)=—mx-----x--0.00975X?xe[0,40]

40

T(0)=0；T(40)=Me=-0.?>90(kN-m)

扭矩圖如以以下圖。

②強度校核

式中，w=—^D3(l-?4)=—x3.14159x603x[l-(—)4]=21958(/nm3)

161660

因為卻海=17.761MPa，[釘=AOMPa,即rmax<[r]，所以軸的強度足夠，不會發(fā)生破

壞。

(3)計算兩端截面的相對扭轉角

式中，/〃=-!-出4(1—</)=-5-X3.14159X6()4X[1-(g)4]=658752(加)

323260

[習題3-9]圖示絞車由兩人同時操作，假設每人在手柄上沿著旋轉的切向作用力F均為0.2kN,軸材

料的許用切應力[r]=AOMPa,試求：

(1)AB軸的直徑；

(2)絞車所能吊起的最大重量。

解：(1)計算AB軸的直徑

AB軸上帶一個主動輪。兩個手柄所施加的外力偶

矩相等：

扭矩圖如以以下圖。

白P

習題39圖

由AB軸的強度條件得：

(2)計算絞車所能吊起的最大重量

主動輪與從動輪之間的嚙合力相等：

由卷揚機轉筒的平衡條件得：

［習題3-10］直徑d=50加加的等直圓桿，在自由端截面上承受外力偶例，=6ZN?m，而在圓桿外

表上的A點將移動到A1點，如以以下圖。^s=AA,=3mm,圓桿材料的彈性模量￡=210GPa,

試求泊松比丫(提示：各向同性材料的三個彈性常數(shù)E、G、v

間存在如下關系：G=-------。

2(1+v)

解：整根軸的扭矩均等于外力偶矩：

T=Me=6kN-m.設O,Q兩截面之間的相對對轉角為"，

習題圖

,d2-A53-10

則As=9?一，(p-------

2d

式中，/?J血&=」-x3.14159x5()4=613592(/〃/)

「3232

E，-1210

由G=得:=0.289

2(1+v)2G2x81.4874

［習題3-11］直徑d=25/M的鋼圓桿，受軸向拉60kN作用時，在標距為200mm的長度內(nèi)伸長了

0.113mmo當其承受一對扭轉外力偶矩加0=02左N?a時，在標距為200nlm的長度內(nèi)相對扭轉了

0.732°的角度。試求鋼材的彈性常數(shù)G、G和廿。

解：(1)求彈性模量E

NI60000Nx200mm

E216447.8MPa=216.448GPa(2)

A-M~0.25x3.14x252w/n2xO.l\3mm

求剪切彈性模量G

Tl

由e=\上得:

G1p

(3)泊松比七

06448-0325

由6=―得：v=--1

2(1+1/)2G2x81.684

［習題3-12］長度相等的兩根受扭圓軸，一為空心圓軸，一為實心圓軸，兩者的材料一樣，受力情況

也一樣。實心軸直徑為d；空心軸的外徑為D,內(nèi)徑為由，且4=0.8。試求當空心軸與實心軸的

D

最大切應力均到達材料的許用切應力扭矩T相等時的重量比和剛度比。

解：11)求空心圓軸的最大切應力，并求D。

式中，w^?3(l-a4),故：

,16

(1)求實心圓軸的最大切應力

3

式中，Wn=—7id,故：

P16

(3)求空心圓軸與實心圓軸的重量比

(4)求空心圓軸與實心圓軸的剛度比

［習題3-13］全長為/,兩端面直徑分別為4,出的圓臺形桿，在兩端各承受一外力偶矩”,

,如以以下圖。試求桿兩端面間的相對扭轉角。

解：如以以下圖，取微元體比c,則其兩端面之間的扭

習題3-13圖

*l*1

_r/Medx_Mecdx_Mer/32dx_32Me廣1l小(_32MJrdu

0-J。GIp~~G^~~G7al4~rtG4〃一王(d、-.”。/

32MJfj_1]_32MJ(d；_32d；+4d?+退、

3^G(J2-d})、d：匕367(4-&)、d：d；，371G、d：d；,

［習題3-14］實心圓軸的轉速〃=300r/min,傳遞的功率p=330AW,軸材料的許用切應力

［i］=60MPa,切變模量G=80GPa。假設要求在2m長度的相對扭轉角不超過1°,試求該軸的

直徑。

解一=X="Id工

GIPGIp180

式中，Me=9.549^=9.549x—=10.504()1^-m)；/“=-!-成、故:

"n300'32

取d=1113加%。

［習題3-15］圖示等直圓桿，外力偶M,=2.99AN-m,MB=7.20kN-m,Mc=4.21kN-m,

許用切應力［r］=70MPa,許可單位長度扭轉角［°］=1°/加，切變模量G=80GPa。試確定該軸

的直徑d。

解：（1）判斷不安全截面與不安全點

作AC軸的扭矩圖如以以下圖。因最大扭矩出出在BC段，所以不安全截面出現(xiàn)在BC段，

不安全點出現(xiàn)在圓周上。

（2）計算不安全點的應力（最大工作切應力），并代入剪切強度條件求d。

（3）計算最大單位長度扭轉角（出現(xiàn)在BC段），并代入扭轉剛度條件求4。

（4）確定d值

［習題3-16］階梯形圓桿，AE段為空心，外徑。=140加牝，內(nèi)徑4=100/切〃；BC段為實心，直徑

d=100/W71?外力偶矩=18AN-m,MB=32kN-m,M＜：=14kN-m,許用切應力

［r］=80MPa,許可單位長度扭轉角助'］=12'/加，切變模G=80GPa。試校核該軸的強度和剛

度。

解：（1）AB段的強度與剛度校核受絲”，

式中,-

AEC

習題3-16圖

1.41,100〃a

W=—^D3(l-a4)=—X3.14159X1403X[1-(一)4]=398533(nzm3)

p1616140

|北洲18*1。6'.加"

“maXyAB=45.166MP?<[r]=SOMPa符合度條件。

Wp398533m/

式中,J=—^O4(l-a4)=—x3.14159xl404x[l-(—)4]=27897319(znm4)

03232140

(P_\TAB\180__________18OOOM%X18O_________

(PAR92-124=0.462(°/m)<[^J=1.2°/w?

7—GIp*T_80x10N///zx27897319x10mx3.14

符合剛度條件。

(2)BC段的強度與剛度校核

式中，W?=—^z/3=—x3.14159xl003=196349(/W)

P1616

7114x1C)6N,777777

"nax/B=—竺=------------1=71.302MP。<m=80MP。符合度條件。

naMWp196349/加3

式中，I=工血”=—x3.14159xl004=981746"〃")

p3232

(pT180_________14000Mmxl80_________

(pBC——=--B-C---X-------==1.02(0/加)<[夕]=1.2"/相符

92124

IGIp兀80X10A^/Wx9817469x1O_/nx3.14

合剛度條件。

綜合（1）、（2）可知，該軸符合強度與剛度條件。

［習題3-17］習題3-1中所示的軸，材料為鋼，其許用切應力［r］=20MPa,切變模G=80GP”,許

可單位長度扭轉角［夕］=2.5°Im。試按強度條件及剛度條件選擇圓軸的直徑。

解：（1）由強度條件選擇直徑

軸的扭矩圖如以以下圖。因為最大扭矩出現(xiàn)在II、HI輪之間，所以不安全截面出現(xiàn)在此段

內(nèi)，不安全點在此段的圓周上。

12）由剛度條件選擇直徑

應選用d=875mm。

［習題3-18］一直徑為d的實心圓桿如以以下圖，在承受扭轉力偶后，測得圓桿外表與縱向線成

45°的方向上的線應變?yōu)椤?。試導出以?和￡表示的切變模量G的表達式。

解：圓桿外表貼應變片處的切應力為

圓桿扭轉時處于純剪切狀態(tài)，圖（a）。

T_16此

切應變，-6一兀d’G（1）

對角線方向線應變：

C?CC'cos45?

fi--------------------

/I

，二2e⑵

cT6M.

=-

式（2）代入（1）：Kd3G

［習題3-19］有一薄壁厚為25楨、內(nèi)徑為250切根的空心薄壁圓管，其長度為1/”，作用在軸兩端面

內(nèi)的外力偶矩為180yV?〃2。試確定管中的最大切應力，并求管內(nèi)的應變能。材料的切變模量

G=S0GPa.

解：（1）求管中的最大切應力

max

P

［習題3-20］一端固定的圓截面桿AB,承受集度為，”的均布外力偶作用，如以以下圖。試求桿內(nèi)積

蓄的應變能。已矩材料的切變模量為G。

T2(x)dxm2x2dx\6m2x2clx

解：dV

e2Glp2G"而儲

32

［習題3-21］簧桿直徑4=18/加的圓柱形密圈螺旋彈簧，受拉

尸=0.5kN作用，彈簧的平均直徑為。=125加機，材料的切

量G=80GPa。試求：

習膻3-20困

(1)簧桿內(nèi)的最大切應力;

(2)為使其伸長量等于6相機所需的彈簧有效圈數(shù)。

16-2=底=695

解：J一兀了，

d18

,^16xO.5xlO}x62.5xlO"3

t__=12---------------：——7--------=328MPa

故