3.2圓的對(duì)稱性導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.圓的旋轉(zhuǎn)不變性.2.圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.學(xué)習(xí)策略1.通過(guò)動(dòng)手操作、觀察、歸納，經(jīng)歷探索新知的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，探究和解決問(wèn)題的能力.2.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，對(duì)圖形的觀察發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．學(xué)習(xí)過(guò)程 一.復(fù)習(xí)回顧：1．圓的兩要素是_______、________，它們分別決定圓的________、__________.2．下列3種圖形：①等邊三角形；②平行四邊形；③矩形，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是(填序號(hào))：________________.二.新課學(xué)習(xí)：1.自讀教材P70—72的內(nèi)容思考如下問(wèn)題：（1）請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的圓形紙片，你知道圓有哪些基本性質(zhì)嗎？（2）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你是怎么得到的？（3）圓是中心對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱中心是什么？你是怎么得到的？2.精讀70頁(yè)“做一做”，合作探究根據(jù)：圓的旋轉(zhuǎn)不變性能夠得到什么?第一步：在等圓⊙O和⊙O′中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′（圖1），第二步：將兩圓重疊，并固定圓心（圖2），然后把其中一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得OA與O′A′重合（圖3）．（1）通過(guò)操作，對(duì)比圖1和圖3，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？（2）你得到這些等量關(guān)系的理由是什么？（3）由此你能得到什么結(jié)論？3.思考上述命題的逆命題是否成立，發(fā)散思維拓展新定理．（1）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等，這兩個(gè)圓心角相等嗎？那么它們所的對(duì)的弦相等嗎？你是怎么想的？（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，你能得出什么結(jié)論？（3）如果不加“在同圓或等圓中”，該定理是否也成立呢？（4）一條弦所對(duì)的弧有幾條？（5）上面的命題怎樣敘述能夠更準(zhǔn)確？（6）觀察以上所得出的結(jié)論，你能將其總結(jié)為一條定理嗎？4.精讀71頁(yè)例題思考如下問(wèn)題：（1）∠AOD和∠BOE的度數(shù)有什么數(shù)量關(guān)系？（2）根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系可以得到哪兩條弧相等？（3）根據(jù)已知條件如何轉(zhuǎn)化弧的等量關(guān)系？（4）根據(jù)弧之間的關(guān)系你能得到正確的結(jié)論嗎？（5）試著合作完成證明過(guò)程.三.嘗試應(yīng)用：1.如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，半徑OE⊥AB，F(xiàn)為OE的中點(diǎn)，CD∥AB，則弦CD的長(zhǎng)為（）A．2B．C．D．22.如圖，⊙O中，AB=CD，∠1=500，則∠2=_______.3.如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，AB=DC，△ABC與△DCB全等嗎？為什么？四.自主總結(jié)：1.圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的.2.圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是.3.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的相等，所對(duì)的相等.4.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧，兩條弦中有相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的各足量都分別相等.五.達(dá)標(biāo)測(cè)試一、選擇題1.在⊙O中，AB、CD是兩條相等的弦，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．AB、CD所對(duì)的弧一定相等B．AB、CD所對(duì)的圓心角一定相等C．△AOB和△COD能完全重合D．點(diǎn)O到AB、CD的距離一定相等2.如圖，在⊙O中，=，∠AOB=122°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．122° B．120° C．61° D．58°3.在同圓中，若AB=2CD，則與的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能確定二、填空題4.在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)恰好等于半徑，弦AB所對(duì)的圓心角為．5.如圖，在⊙O中，直徑AB∥弦CD，若∠COD=110°，則的度數(shù)為．6.在半徑為1的圓中，長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的圓心角是度．三、解答題7．如圖，在⊙0中，求證：AB=CD．8.如圖，AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，求∠AOC的度數(shù)．9．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC=BD．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，且=．（1）求證：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度數(shù)．3.2圓的對(duì)稱性達(dá)標(biāo)測(cè)試答案一、選擇題1．【解析】根據(jù)一條弦對(duì)兩條弧可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形全等可對(duì)C、D進(jìn)行判斷．【解答】解：A、AB、CD所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等，所以A選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；B、AB、CD所對(duì)的圓心角一定相等，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法正確；C、△AOB和△COD全等，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法正確；D、點(diǎn)O到AB、CD的距離一定相等，所以D選項(xiàng)的說(shuō)法正確．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．2．【解析】直接根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求解．【解答】解：∵=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．3.【解析】先根據(jù)題意畫出圖形，找出兩相同的弦CD、DE，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到CE與CD+DE的關(guān)系，再比較出AB與CE的長(zhǎng)，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，∵CD=DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，∴CE＜AB，∴＜．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系及三角形的三邊關(guān)系，即在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．二、填空題4．【解析】先畫圖，由等邊三角形的判定和性質(zhì)求得弦AB所對(duì)的圓心角．【解答】解：如圖，∵AB=OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，故答案為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．5．【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠C=35°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)∠AOC=∠C=35°，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)求解．【解答】解：∵OC=OD，∴∠C=∠D，∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，∵CD∥AB，∴∠AOC=∠C=35°，∴的度數(shù)為35°．故答案為35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．6．【解析】AB=，OA=OB=1，則AB2=OA2+OB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°．【解答】解：如圖，在⊙O中，AB=，OA=OB=1，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°，即長(zhǎng)度等于的弦所對(duì)的圓心角是90°．故答案為：90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等．也考查了勾股定理的逆定理．三、解答題7．【解析】有，都加上AC弧即可得到=，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵，∴+=+，即=，∴CD=AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．8．【解析】連接OE，由弧CE的度數(shù)為40°，得到∠COE=40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求出∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．【解答】解：連接OE，如圖，∵弧CE的度數(shù)為40°，∴∠COE=40°，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE=（180°﹣40°）÷2=70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC=∠OCE=70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角以及它們對(duì)應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對(duì)應(yīng)相等，等腰三角形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．9．【解析】連接OC、OD，根據(jù)已知條件，易證△OCM≌△ODN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，∠AOC=∠BOD，根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理可知，AC=BD．【解答】證明：連接OC、OD，∵AB是⊙O的直徑，∴AO=BO，∵M(jìn)，N分別為AO、BO的中點(diǎn)，∴OM=ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO=∠DNO=90°，∴△OCM與△ODN都是直角三角形，又∵OC=OD，∴△OCM≌△ODN（HL），∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，此定理應(yīng)用非常廣泛，為證明線段相等和角的相等提供了依據(jù)．10．【解析】（1）如圖，連接AD．由圓心角、弧、弦間的關(guān)系，圓周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，則易證得結(jié)論；（2）由鄰補(bǔ)角的定義、圓心角、弧、弦的關(guān)系求得∠COD=∠DOB=70°，則∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°．【解答】（1）證明：如圖，連接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：