絕密★啟用前河北省2024屆高三年級模擬考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)，則（）A．5 B． C． D．2．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為的頂點(diǎn)，若的內(nèi)心和重心重合，則的離心率為（）A． B． C． D．3．若，則（）A．4 B．3 C．2 D．14．我國鐵路百年滄桑巨變，從尚無一寸高鐵，到僅用十幾年高鐵建設(shè)世界領(lǐng)先，見證了中華民族百年復(fù)興偉業(yè)．某家庭兩名大人三個(gè)孩子乘坐高鐵出行，預(yù)定了一排五個(gè)位置的票（過道一邊有三個(gè)座位且相鄰，另一邊兩個(gè)座位相鄰）則三個(gè)孩子座位正好在過道同一側(cè)的概率為（）A． B． C． D．5．已知平面和直線，若，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．平行四邊形中，，以為圓心作與直線相切的圓，為圓上且落在四邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)，，若，則角的范圍為（）A． B． C． D．7．已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)定義域均為．為奇函數(shù)，若2是的極值點(diǎn)，則在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)最少有（）個(gè)．A．7 B．8 C．9 D．118．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知隨機(jī)變量，則（）A． B． C． D．10．已知方程的正根構(gòu)成等差數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．411．函數(shù)有三個(gè)不同極值點(diǎn)，且．則（）A． B．C．的最大值為3 D．的最大值為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到的準(zhǔn)線距離，則到焦點(diǎn)距離為______．13．下圖裝滿水的圓臺(tái)形容器內(nèi)放進(jìn)半徑分別為1和3的兩個(gè)鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時(shí)容器中水的體積為______．14．已知點(diǎn)，則點(diǎn)到動(dòng)直線的最大距離的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，比較和的大?。?6．（15分）如圖所示，在等腰直角中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，將沿翻折到位置．（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）2021年教育部印發(fā)的《進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出，中小學(xué)校要保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間，每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動(dòng)，一學(xué)校某體育項(xiàng)目測試有40%的人滿分，而該校有20%的學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí)，這些人體育項(xiàng)目測試滿分率為50%．（1）從該校隨機(jī)抽取三人，三人中體育項(xiàng)目測試相互獨(dú)立，求三人中滿分人數(shù)的分布列和期望；（2）現(xiàn)從每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，求他體育項(xiàng)目測試滿分的概率；（3）體育測試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓(xùn)練，每次傳球，傳球者等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，第1次由甲將球傳出，求第n次傳球后球在乙手中的概率．18．（17分）函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若只有一個(gè)解，則當(dāng)時(shí)，求使成立的最大整數(shù)．19．（17分）函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù)之一，它是奇函數(shù)，且軸和直線是它的漸近線，在第一象限和第三象限存在圖象，其圖象實(shí)質(zhì)是圓錐曲線中的雙曲線．（1）函數(shù)的圖象不僅是中心對稱圖形，而且還是軸對稱圖形，求其對稱軸的方程；（2）若保持原點(diǎn)不動(dòng)，長度單位不變，只改變坐標(biāo)軸的方向的坐標(biāo)系的變換，叫坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，簡稱轉(zhuǎn)軸．（?。┱埐捎眠m當(dāng)?shù)淖儞Q方法，求函數(shù)變換后所對應(yīng)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（ⅱ）已知函數(shù)圖象上任一點(diǎn)到平面內(nèi)定點(diǎn)的距離差的絕對值為定值，以線段為直徑的圓與的圖象一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積．?dāng)?shù)學(xué)答案與解析1．D2．C3．A4．A5．B6．【答案】B【解析】由，當(dāng)在直線上時(shí)，，當(dāng)圓與的切點(diǎn)在延長線上時(shí)，圓落在四邊形內(nèi)部部分與直線沒有公共點(diǎn)，此時(shí)，得，，故答案為．7．【答案】D【解析】為偶函數(shù)，所以，所以為奇函數(shù)．．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得，即關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，即，①所以，②得的周期為3．故為周期為3的奇函數(shù)．．又2是的極值點(diǎn)，得．，又為奇函數(shù)，，得，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故，且，由①，又由②，又故在內(nèi)解最少有，最少有11個(gè)．8．【答案】C【解析】由，得，所以，得．設(shè)①則②①-②得．9．BD10．【答案】ACD【解析】【法一】由得．由的圖象可知，的值為時(shí)，的正根構(gòu)成等差數(shù)列，得，故選ACD．【法二】其周期為，設(shè)則，其圖象如圖所示．的正根構(gòu)成等差數(shù)列，得、時(shí)成立，故CD正確；且值也滿足題意，，得，故A正確．11．【答案】BCD【解析】有三個(gè)不同極值點(diǎn)，則有三個(gè)不等實(shí)根為，則定有三個(gè)解．設(shè)，當(dāng)，得單調(diào)遞增，不會(huì)有三個(gè)解，所以，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．定有三個(gè)解恒成立，因?yàn)?，所以恒成立．即，得，故A錯(cuò)誤；設(shè)，故，故，故D正確；又，故B正確；又，則，又，故，的最大值為3，故C正確．12．314．【解析】由，得，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)與圖象可知點(diǎn)位于圖中陰影部分區(qū)域，則點(diǎn)到直線最大距離的最小值為函數(shù)上切線斜率為1的點(diǎn)到直線的距離的一半．，設(shè)，得，點(diǎn)到的距離為．故答案為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又因?yàn)闀r(shí)，也滿足上式所以當(dāng)時(shí)，（2）由，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．16．解：（1）等腰直角中，，得點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，所以．將沿翻折到位置后，，面面，所以．又，得面，又面，所以平面平面（2）【法一】由（1）知面，所以面面．又因?yàn)?，所以為等邊三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則面，過作交于．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，得所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則可取，則，平面與平面夾角的余弦值為．【法二】點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，面，所以面，面面，且面面，不妨設(shè)，則點(diǎn)到面的距離為，故點(diǎn)到面的距離為．設(shè)的中點(diǎn)為，則面，中所以為等腰三角形，且，得點(diǎn)到的距離為，又到面的距離為，所以平面DEF與平面DEC夾角的正弦值為，得平面DEF與平面DEC夾角的余弦值為．17．解：（1）該校隨機(jī)抽取三人，每個(gè)人滿分的概率為．設(shè)抽取的三人中滿分人數(shù)為，則．則，則的分布列為0123，數(shù)學(xué)期望．（2）【法一】設(shè)該校總?cè)藬?shù)為人，則體育項(xiàng)目測試滿分的有人，每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí)的人數(shù)有人，超過兩個(gè)小時(shí)的人體育項(xiàng)目測試滿分率約為，則其中測試滿分的有個(gè)個(gè)人，因此每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生有個(gè)人中，測試滿分的有個(gè)人，任取1名學(xué)生，他體育測試滿分的概率為．【法二】用表示事件“抽到每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生”，則，．用表示事件“抽到體育項(xiàng)目測試滿分的學(xué)生”，則，且．又故．.9分（3）【法一】記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在乙的手中”，設(shè)次傳球后球在乙手中的概率為，則有，所以，即，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．即次傳球后球在乙手中的概率是．【法二】記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲的手中”，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，所以，即，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以即次傳球后球在甲手中的概率是，因?yàn)橛杉紫葌髑?，則次傳球后球在乙和丙手中的概率相等為18．解：因?yàn)椋O(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）若即只有一個(gè)解，因?yàn)槭狗匠坛闪?，所以只?是的解．時(shí)，無非零解．設(shè)，則，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故定有零點(diǎn)，又因?yàn)闊o非零解，有零點(diǎn)應(yīng)還是0．所以，則，得得設(shè)令得因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以使得，且．單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以最小值且，得又因?yàn)?，所以，故整?shù)的最大值為2．19．解：（1）函數(shù)的圖象是圓錐曲線中的雙曲線，且軸和直線是它的漸近線可知，對稱軸為直線和．，得解得，所以得，，所以對稱軸的方程為和．（2）（?。痉ㄒ弧吭谵D(zhuǎn)軸下