湖南省2024屆高考數(shù)學(xué)臨門押題考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試題卷上無(wú)效。3.本試題卷共5頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。如缺頁(yè)，考生須及時(shí)報(bào)告監(jiān)考老師，否則后果自負(fù)。4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.4B.3C.2 D.13.已知的二項(xiàng)展開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)A.24B.18C.12D.64.在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（）A.B.C.D.5.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是"”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知定義在上的偶函數(shù)滿足且，則A．4049 B．2025 C．4048 D．20247.已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.8.在三棱錐中，平面平面PBC，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若M為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面ABC距離的最大值為(

)A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（）A．在樣本數(shù)據(jù)中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為1，去除一個(gè)樣本點(diǎn)后，得到的新線性回歸方程一定會(huì)發(fā)生改變B．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為那么越大，之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高10.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與直線所成角的余弦值為B.存在點(diǎn)，使得C.若點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為D.若點(diǎn)到平面的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分11．一般地，對(duì)于復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，，，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，稱為復(fù)數(shù)的模，稱為復(fù)數(shù)的輻角．為使所研究的問(wèn)題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值．已知復(fù)數(shù)滿足，，為的實(shí)部，為的輻角的主值，則A．的最大值為 B．的最小值為 C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則__________.13.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為__________.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)若在第一象限內(nèi)的圓弧AB上存在點(diǎn)P，使，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。16．（15分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17.（15分）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，，是線段上的點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）點(diǎn)在直線上，求與平面所成角最大值．18.本小題17分雙曲線的焦點(diǎn)為，在下方，虛軸的右端點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)且垂直于y軸的直線l交雙曲線于點(diǎn)在第一象限，與直線交于點(diǎn)B，記的周長(zhǎng)為m，的周長(zhǎng)為n，若C的一條漸近線為，求C的方程;已知?jiǎng)又本€與C相切于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T且與垂直的直線分別交x軸，y軸于M，N兩點(diǎn)，Q為線段MN上一點(diǎn)，設(shè)，為常數(shù).若為定值，求的最大值.19.本小題17分某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動(dòng)物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動(dòng)物擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某動(dòng)物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉100個(gè)動(dòng)物，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的動(dòng)物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共20次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.（1）求的分布列；（2）記隨機(jī)變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.（已知隨機(jī)變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類元素的個(gè)數(shù)，為抽取的個(gè)數(shù)），則）湖南省2024屆高考數(shù)學(xué)臨門押題考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試題卷上無(wú)效。3.本試題卷共5頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。如缺頁(yè)，考生須及時(shí)報(bào)告監(jiān)考老師，否則后果自負(fù)。4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，故，故選D.2.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】如圖，過(guò)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，作，垂足為，由，得，所以，所以，即．故選：B．3.已知的二項(xiàng)展開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)A.24 B.18 C.12 D.6【答案】A

【解析】解：展開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即

最大，故，故

的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

故選4.在矩形中，，為中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，.則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可設(shè)，則，可得，其中，因?yàn)?，所?故選：A.5.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是"”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C

【解析】因?yàn)锳，，由正弦定理可得，，故“”是"”的充要條件.故選6．已知定義在上的偶函數(shù)滿足且，則A．4049 B．2025 C．4048 D．2024【答案】A 【解析】由，令，得，又令得，再令，又，所以，又，所以為的一個(gè)周期，．故選A．7.已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】B

【解析】由題意可得：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，，解得：，，即，因?yàn)?，故選B．8.在三棱錐中，平面平面PBC，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若M為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面ABC距離的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】設(shè)BC中點(diǎn)為T，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面ABC的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面PBC的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)O即為三棱錐外接球的球心，因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的正三角形，可得，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，且，所以四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以外接球半徑，M到平面ABC的距離故選二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（）A．在樣本數(shù)據(jù)中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為1，去除一個(gè)樣本點(diǎn)后，得到的新線性回歸方程一定會(huì)發(fā)生改變B．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為那么越大，之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線上，則決定系數(shù)D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高【答案】CD【解析】對(duì)于B，越接近于1，則之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)均落在一條斜率非的直線上，則變量與變量之間滿足線性函數(shù)關(guān)系，決定系數(shù)故C正確；故選CD．對(duì)于D，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高，故D正確．10.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與直線所成角的余弦值為B.存在點(diǎn)，使得C.若點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為D.若點(diǎn)到平面的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分【答案】ACD【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，，，，，，所以，，所以，，所以直線與直線所成角的余弦值為，故A正確；由題意，設(shè)，則，又，若，則，解得，所以不存在點(diǎn)M，使得，故B錯(cuò)誤；設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，此時(shí)，所以點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，故C正確；設(shè)，則點(diǎn)M到平面的距離為z，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離為.因?yàn)辄c(diǎn)M到平面的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以，整理得（其中，），即點(diǎn)M的軌跡方程為，是拋物線的一部分，故D正確.故選ACD.11．一般地，對(duì)于復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，，，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，稱為復(fù)數(shù)的模，稱為復(fù)數(shù)的輻角．為使所研究的問(wèn)題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值．已知復(fù)數(shù)滿足，，為的實(shí)部，為的輻角的主值，則A．的最大值為 B．的最小值為 C． D．【答案】ABD【解析】由復(fù)數(shù)滿足，的幾何意義知，點(diǎn)在以為圓心、以為半徑的圓上或圓內(nèi)，如圖所示：對(duì)于、，的幾何意義是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，其最大值為．的最小值為，所以選項(xiàng)、正確．對(duì)于，因?yàn)閳D中輻角的余弦值不小于，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于，設(shè)，有（其中是的輻角的主值），因?yàn)?，所以，選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則__________.【答案】【解析】因?yàn)楣蚀鸢笧椋?3.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】，可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，又，，即令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則的最小值為故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)若在第一象限內(nèi)的圓弧AB上存在點(diǎn)P，使，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】

【解析】根據(jù)題意作圖，如圖所示：則，所以，由題意可知，，，又，則AB為圓的直徑，設(shè)為2R，則，則，所以，所以，又，則C為AB的中點(diǎn)，所以，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和?！窘馕觥浚?）由題意知即，因?yàn)?，所以，所以．?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則所以．16．（15分）已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（I）．若則恒成立在上單調(diào)遞增若由得或當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）由題意知根據(jù)題意知在上有2個(gè)不等的變號(hào)根．由得令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以又當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，得．故的取值范圍是．17.（15分）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，，是線段上的點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）點(diǎn)在直線上，求與平面所成角最大值．【解析】(1)連結(jié)，交于點(diǎn)，連，由，知，又平面又底面為菱形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，邊長(zhǎng)為4，則，在直角三角形中，所以所以點(diǎn)，則所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面，(2)設(shè)，所以，故，所以平面的一個(gè)法向量是，設(shè)與平面所成角為，則當(dāng)時(shí)，平面，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又所以，故與平面所成角的最大值為18.本小題17分雙曲線的焦點(diǎn)為，在下方，虛軸的右端點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)且垂直于y軸的直線l交雙曲線于點(diǎn)在第一象限，與直線交于點(diǎn)B，記的周長(zhǎng)為m，的周長(zhǎng)為n，若C的一條漸近線為，求C的方程;已知?jiǎng)又本€與C相切于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)T且與垂直的直線分別交x軸，y軸于M，N兩點(diǎn)，Q為線段MN上一點(diǎn)，設(shè)，為常數(shù).若為定值，求的最大值.【解析】因?yàn)椋?；又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，所以，即，所以