2024年山東省濟(jì)南五中中考數(shù)學(xué)診斷試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求.

L（4分）我I的平方根是（）

A.±3B.3C.±9D.9

2.（4分）最近比較火的一款軟件CWfGPT橫空出世，僅2023年2月9日當(dāng)天，其下載量

達(dá)到了286000次的峰值，286000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.286X103B.28.6X104C.2.86X105D.0.286X106

3.（4分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，

下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是

中心對稱圖形的是（）

4.(4分)下列計(jì)算正確的是()

A.(〃2)3=/B.〃2?〃3=〃5

C.(〃+C)2=a2+b2D.〃+〃=/

5.（4分）若a<b<3則下列條件一定成立的是（）

A.ab<0B.Q+Z?>0C.ac<bcD.

6.（4分）華為手機(jī)鎖屏密碼是6位數(shù)，若密碼的前5位數(shù)字已經(jīng)知道，則一次解鎖該手機(jī)

密碼的概率是（）

A.AB.-1-c.—L-D.-

2101001000

7.（4分）若點(diǎn)A（-1,yi）,B（1,經(jīng)），C（5,*）都在反比例函數(shù)的圖象上，

X

則yi,yi,"的大小關(guān)系是（）

A.y\<yi<y3B.y\<y?><y2C.yi<y3<y\D.y2<y\<y3

8.（4分）如圖，尸為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。O的切線PC、PD,與過圓心。的直線交于

A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C、。為切點(diǎn)，線段。3交O。于點(diǎn)E.若/APB=90°,tanA=S,BE

2

=V29-2,則OP的長度為（）

9.（4分）中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個全等的直角三角形拼成

正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”.若“弦圖”中小正方

形面積與每個直角三角形面積均為1,a為直角三角形中的一個銳角，則tana=（）

225

10.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記函數(shù)-x2+?

（a>0）的圖象在x軸上方的部分與尤軸圍成的區(qū)域（不含邊界）為W.例如當(dāng)。=2時(shí)，

區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為1,若區(qū)域W內(nèi)恰有7個整點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.3caW4B.3Wa<4C.2VaW3D.2Wa<3

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

11.（4分）分解因式：y2-4=.

12.（4分）在2-5里隨機(jī)抽2個數(shù)，則它們互質(zhì)的概率是.

13.（4分）若關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍

為.

14.（4分）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,8C=4,點(diǎn)E、尸分別在BC、CD上,若AE

=代，ZEAF=45°,則AF的長為.

15.（4分）如圖，拋物線Ci的解析式為y=-7+4,將拋物線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到

圖形G,圖形G分別與y軸、無軸正半軸交于點(diǎn)A、B,連接AB,則△OA8的面積

為____________________.

16.（4分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4,48=6,點(diǎn)E在A8上，將△DAE沿直線。E

折疊，使點(diǎn)A恰好落在DC上的點(diǎn)尸處，連接EF,分別與矩形ABCD的兩條對角線交于

點(diǎn)M和點(diǎn)G.給出以下四個結(jié)論：①△?!￡>￡是等腰直角三角形；②SABEM：SABAD=1：4；

③FG=GM=EM；④sin/即其中正確的結(jié)論序號是.

三、解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計(jì)算：（TT-3）°+V4-（-1）2必+（_1）-2.

2

，l-x<2（2x+3）

18.解不等式組5+x、1,并寫出滿足條件的正整數(shù)解.

~3~^x+~3

19.如圖，在菱形A3CD中，點(diǎn)M、N分別在A3、上，且求證：BM

=BN.

20.現(xiàn)今“微信運(yùn)動”被越來越多的人關(guān)注和喜愛，某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我市50名教師

某日“微信運(yùn)動”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）:

步數(shù)頻數(shù)頻率

0?40008a

4000^x<8000150.3

8000<x<1200012b

1200016000c0.2

160002000030.06

20000^x<24000d0.04

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）寫出a,b,C,［的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）本市約有37800名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步（包含12000

步）的教師有多少名？

（3）若在50名被調(diào)查的教師中，選取日行走步數(shù)超過16000步（包含16000步）的兩

名教師與大家分享心得，求被選取的兩名教師恰好都在20000步（包含20000步）以上

的概率.

獻(xiàn)（心）

A

15|—

12-----------------

8—

3......................????|~~

■、

°4000800012000160002000024000步數(shù)（步）

21.如圖1,是一款手機(jī)支架圖片，由底座、支撐板和托板構(gòu)成.圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，

量得托板長4B=17c〃z,支撐板長CZ）=16c",底座長Z）E=14c"z,托板AB聯(lián)結(jié)在支撐

板頂端點(diǎn)C處，且CB=7c機(jī)，托板A8可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動.如圖

2,若/DCB=10。,ZCDE^60°.（參考數(shù)值sin40°^0.64,cos40°^0.77,tan40°

心0.84,V3^1.73）

（1）求點(diǎn)C到直線。E的距離（精確到O.lcM；

（2）求點(diǎn)A到直線。E的距離（精確到O.lcM.

圖2

22.如圖，的直徑4B與其弦C。相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A的切線交C。延長線于點(diǎn)尸，且

ZAED=ZEAD.

（1）求證：AD=FD；

（2）若AE=6,sin/AFE求O。半徑的長.

-5

23.小明到服裝店進(jìn)行社會實(shí)踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準(zhǔn)備購

進(jìn)甲乙兩種服裝，甲種每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)120元，乙種每件進(jìn)價(jià)60元，售價(jià)90元.計(jì)

劃購進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件.

（1）若購進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過7500元，則甲種服裝最多購進(jìn)多少件？

（2）在（1）的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜。＜20）元的價(jià)格進(jìn)行促

銷活動，乙種服裝價(jià)格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤？

24.如圖①，已知點(diǎn)A（-l,0）,B（0,-2）,口48。的邊與y軸交于點(diǎn)E,且E為

AD的中點(diǎn)，雙曲線y=K經(jīng)過C、。兩點(diǎn).

（1）求左的值;

(2)點(diǎn)尸在雙曲線y=K上，點(diǎn)。在y軸上，若以點(diǎn)A、B、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是平

x

行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)以線段為對角線作正方形AEB8(如圖③)，點(diǎn)T是邊AF上一動點(diǎn)，M是HT

的中點(diǎn)，交AB于N,當(dāng)點(diǎn)T在AF上運(yùn)動時(shí)，咽的值是否發(fā)生改變？若改變，

HT

求出其變化范圍：若不改變，請求出其值，并給出你的證明.

25.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,/ABC=45°,點(diǎn)。為直線AC上的任意一點(diǎn)，

過點(diǎn)。作交直線于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作APL8。，交直線BD于點(diǎn)R垂足為點(diǎn)

F,直線AF與直線BC相交于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，則線段DE,CG,BC之間的數(shù)量關(guān)系

是;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊AC的延長線上時(shí)，則線段DE,CG,BC之間的數(shù)量關(guān)系

是，請證明你的結(jié)論：

(3)如圖3,在(2)的條件下，若C￡>=6,DE=10,將一個45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合，

并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，這個角的兩邊分別交線段。E于點(diǎn)M,N,當(dāng)。M=2時(shí)，求線段EN的

長.

軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)C,。的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)時(shí)，如圖1,該拋物線與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè))，點(diǎn)尸

3

為直線AO上方拋物線上一點(diǎn)，將直線PO沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)M(4,0),求

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)E(工，0+1),F(5,。+1),以線段EF為邊向上作正方形所GH.

①若。=1,求正方形跖G8的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)到x軸的距離之差

2024年山東省濟(jì)南五中中考數(shù)學(xué)診斷試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求.

1.（4分）J五的平方根是（）

A.±3B.3C.±9D.9

【考點(diǎn)】算術(shù)平方根；平方根.

【答案】A

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義即可求解.

【解答】解：屈=9,9的平方根是±3.

故選：A.

2.（4分）最近比較火的一款軟件CWfGPT橫空出世，僅2023年2月9日當(dāng)天，其下載量

達(dá)到了286000次的峰值，286000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.286X103B.28.6X104C.2.86X105D.0.286X106

【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【答案】C

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，確定

”的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)

相同.

【解答】解：286000-2.86X105.

故選：C.

3.（4分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，

下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是

中心對稱圖形的是（）

A.B.

【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把

一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個

圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：A.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項(xiàng)不合題意；

C.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)不合題意；

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故。選項(xiàng)合題意；

故選：D.

4.（4分）下列計(jì)算正確的是（）

A.（/）3—a5B.cT'c^—a5

C.（a+b）2=a2+b2D.a+a=a2

【考點(diǎn)】完全平方公式；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)幕的乘法；幕的乘方與積的乘方.

【答案】B

【分析】根據(jù)運(yùn)算公式：（a±6）2=/±2?！?后，am-an=am+n,合并同類項(xiàng)的法則：把

同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變，對選項(xiàng)逐一計(jì)算即可

得出答案.

【解答】解：（/）3=/，A不正確；

cr,a3—a5,B正確；

（a+6）°=&+2ab+b1,C不正確；

a+a=2a,。不正確；

故選：B.

5.（4分）若“<6<0,則下列條件一定成立的是（）

A.ab<0B.a+b>QC.ac<bcD.

【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì).

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及有理數(shù)的加減法和乘除法法則，逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：-：a<b<0,

ab>0,

???選項(xiàng)A不符合題意；

*：a<b<0,

選項(xiàng)8不符合題意；

a<b<0,當(dāng)c=0時(shí)，ac—bc,

選項(xiàng)C不符合題意；

"：a<b<0,

a+c<b+c,

選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

6.（4分）華為手機(jī)鎖屏密碼是6位數(shù)，若密碼的前5位數(shù)字已經(jīng)知道，則一次解鎖該手機(jī)

密碼的概率是（）

A.AB.2C.-J—D.—5—

2101001000

【考點(diǎn)】概率公式.

【答案】B

【分析】最后一個數(shù)字可能是0s9中任一個.總共有十種情況，其中解鎖只有一種情況.利

用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：一次解鎖該手機(jī)密碼的概率是」一

10

故選：B.

7.（4分）若點(diǎn)A（-1,yi）,B（1,”），C（5,*）都在反比例函數(shù)丫=工■的圖象上，

X

則yi,>2,”的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2<y3B.yi<y3<y2C.y2<y?><yiD.y2<yi<y3

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【答案】C

【分析】根據(jù)左<0,可得反比例函數(shù)圖象和增減性，即可進(jìn)行比較.

【解答】解：,:k=-10<0,

...反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨著x增大而增大,

根據(jù)A,B,C點(diǎn)橫坐標(biāo)，可知點(diǎn)C,8在第四象限，A在第二象限，

?*.y2<j3<yi.

故選：C.

8.（4分）如圖，P為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作OO的切線PC、PD,與過圓心。的直線交于

A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C、。為切點(diǎn)，線段OB交于點(diǎn)E.若/AP8=90°,tanA=l,BE

2

=V29-2,則OP的長度為（）

C.2&D.IA/29

3

圓周角定理.

【答案】c

【分析】連接。。、OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到尸8,OCLPA,PD=PC,證明四邊

形PCOC為正方形，設(shè)OC=r，根據(jù)正切的定義、勾股定理列式計(jì)算，求出r,進(jìn)而求

出OP.

【解答】解：連接。。、OC,

,.,PC,尸。為。。的切線，

：.OD±PB,OC±PA,PD=PC,

VZAPB=90°,

四邊形POOC為正方形，

設(shè)OC=r,

VtanA=—,

2

-0C=_5；

"AC'2

：.AC=^r,

5

：.PA^Lr,

5

\'tanA=—,

2

?里=金

"PA~2

：.PB=l.r,

2

"AB=VPA2+PB2=-^p-n

在Rt^AOC中，OA=、jAC2+AC2=^^-r，

5

.”也「運(yùn)f

_105

則上逅「逅”一收-2,

105

解得：丫=2,

：.OP=?OC=2?

故選：C.

9.（4分）中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個全等的直角三角形拼成

正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”.若“弦圖”中小正方

形面積與每個直角三角形面積均為1,a為直角三角形中的一個銳角，則tana=（）

D

2-V

【考點(diǎn)】勾股定理的證明；解直角三角形；數(shù)學(xué)常識.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出大正方形的面積，然后設(shè)出小直角三角

形的兩條直角邊，再根據(jù)勾股定理和兩直角邊的關(guān)系可求得直角三角形的兩條直角邊的

長，然后即可求得tana的值.

【解答】解：由已知可得，

大正方形的面積為1X4+1=5,

設(shè)直角三角形的長直角邊為a,短直角邊為6,

則/+廬=5,a-b—1,

解得。=2,b=l或。=-1,5=-2(不合題意，舍去)，

；.tana=2=Z=2,

b1

故選：A.

10.(4分)在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記函數(shù)y=-x2+a

(a>0)的圖象在無軸上方的部分與x軸圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.例如當(dāng)a=2時(shí)，

區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為1,若區(qū)域W內(nèi)恰有7個整點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.3<aW4B.3Wa<4C.2caW3D.2Wa<3

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的

交占

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)y=-/+a(a>0)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),開口向下，對稱軸

為y軸可得出7個對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可即可得出a的取值范圍.

【解答】解：二次函數(shù)y=-/+a(a>0)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),開口向下，

由二次函數(shù)對稱性可知：函數(shù)的對稱軸為y軸，

當(dāng)區(qū)域W內(nèi)恰有7個整點(diǎn)時(shí)，這七個整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1),(1,2),(0,1),(0,

2),(0,3),(-1,1),(-1,2),

因此a的取值范圍為3<aW4,

故選：A.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

11.(4分)分解因式：y2-4=(y+2)(y-2).

【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=(y+2)(y-2).

故答案為：(y+2)(廠2).

12.(4分)在2-5里隨機(jī)抽2個數(shù)，則它們互質(zhì)的概率是A.

一6一

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù)).

【答案】旦

6

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及它們互質(zhì)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得

出答案.

【解答】解：列表如下：

2345

2(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,2)(3,4)(3,5)

4(4,2)(4,3)(4,5)

5(5,2)(5,3)(5,4)

共有12種等可能的結(jié)果，其中它們互質(zhì)的結(jié)果有：(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),

(3,5),(4,3),(4,5),(5,2),(5,3),(5,4),共10種，

它們互質(zhì)的概率為」9=立.

126

故答案為：

6

13.(4分)若關(guān)于尤的一元二次方程(％-2)/-2fcc+左=6有實(shí)數(shù)根，則人的取值范圍為k

21.5且412..

【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義.

【答案】41.5且y2.

【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△、(),即可得出關(guān)于左的一元一次不等式

組，解之即可得出發(fā)的取值范圍.

【解答】解：二.關(guān)于x的一元二次方程*-2)7+2日+%=6有實(shí)數(shù)根，

(%-2)/+2米+左-6=0,

,k-2^0

\A=(-2k)2-4X(k-2)X(k-6)>o)

解得:欄1.5且22.

故答案為：上21.5且上二2.

14.(4分)如圖，在矩形A8CD中，AB=2,BC=4,點(diǎn)、E、尸分別在BC、CD上，若AE

=遙，NEAF=45°,則AF的長為生叵.

—3—

【考點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】取AB的中點(diǎn)連接Affi,在AD上截取N￡)=DF,設(shè)DF=DN=x,則入/二近

無，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊

的比值相等可求出x的值，在直角三角形A。尸中利用勾股定理即可求出AF的長.

【解答】解：取A8的中點(diǎn)連接ME,在上截取NZ)=OF,設(shè),DF=DN=x,

:四邊形ABC。是矩形，

；./￡)=N54D=NB=90°,A￡)=BC=4,

：.NF=y/2x,AN=4-x,

"：AB=2,

：.AM=BM=1,

"：AE=&,A3=2,

：.BE=1,

???ME=7BM2+BE2=近'

VZ￡AF=45°,

：.ZMAE+ZNAF^45°,

VZMAE+ZAEM^45°,

ZMEA=ZNAF,

：.AAME^/\FNA,

???A-M=--M-E,

FNAN

..1二如,

V2x4-x

解得：X=l,

3

經(jīng)檢驗(yàn)，X=4是分式方程的解,

3

AF=VAD2+DF2=4千?

O

故答案為：生辿.

15.（4分）如圖，拋物線。的解析式為y=-X2+4,將拋物線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到

圖形G,圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點(diǎn)A、B,連接AB,則△OAB的面積為

9W17

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

［答案］左叵.

2

【分析】由題意可知，將拋物線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖形G的對稱軸為直線丫=

x,設(shè)直線y=x與拋物線y=-X2+4在第一象限的交點(diǎn)為M,把0M繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

45°得到然后解方程組求出點(diǎn)〃坐標(biāo)，求出即可.

【解答】解：由題意可知，將拋物線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到圖形G的對稱軸為直線

y=x,

設(shè)直線y=x與拋物線y=-?+4在第一象限的交點(diǎn)為M,

，把0M繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到0B,如圖所示：

X

2

聯(lián)立方程組得：y=-x+4,

,y=x

x=~~2

解得

.?.點(diǎn)M坐標(biāo)為(.—17,—1~'I?),

22

0M=XV2=,

22

即0B=一弧,

2

:對稱性,

：.OA=OB,

...△。42的面積為1?022=工X(W2J2ZH-)2=殳2反_.

_2222

故答案為：殳叵.

2

16.(4分)如圖，在矩形ABC。中，AD=4,A8=6,點(diǎn)E在A8上，將△￡)&￡沿直線。E

折疊，使點(diǎn)A恰好落在OC上的點(diǎn)尸處，連接ER分別與矩形ABCD的兩條對角線交于

點(diǎn)M和點(diǎn)G.給出以下四個結(jié)論：①△AOE是等腰直角三角形；②SABEM：SABAD=1：4；

③FG=GM=EM；④sin/EDW=Y逗，其中正確的結(jié)論序號是①③.

【答案】①③.

【分析】由折疊的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得AD=AE,可判斷①；通過證明

sABDA,可得SMEM：SABAD=1：9,可判斷②；由平行線分線段成比例可求EM,FG,

GM的長，可判斷③；由勾股定理和銳角三角函數(shù)可求即的長，可判斷④，即可求解.

【解答】解：①\?將△D4E沿直線OE折疊，

：.NADE=NCDE=45°,

ZDAB=90°,

ZADE^ZAED^45

J.AD^AE,

：.AADE是等腰直角三角形，

故①正確；

@'：AD=AE=4,

；.BE=AB-AE=2,

將△ZME沿直線DE折疊，

AZAED=ZDEF=45°,AE=EF=4,AD=DF=4,

：.ZAEF=90°,

：.AD//EF,

ABMESABDA,

22

:&BEM：SABAD=(BE)：(AB)=4：36=1：9,

故②錯誤；

@'：AB//CD,

?BEEM=1CFFG=1

"DF"MF~2AE=EG~2

：.EM=^,FG=匡,

33

：.GM=^,

3

:.FG=GM=EM,

故③正確；

④如圖，過點(diǎn)E作于X,

\'AD=AE=4,ZDA￡=90°,

:*DE=4?

"：AD=4,AB=6,ZDAE=9Q°,

■■DB=VAD2+AB2=V16+36=2后，

,：sinZABD=^-J^-,

BEBD

???-_-4--_=.EH,

2V132

13_

4日

sinZEZ）H=M=-_=/26；

DE4V226

故④錯誤，

故答案為：①③.

三、解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計(jì)算：（TT-3）°+y-（-1）2o24+（A）-2.

2

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)塞；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕.

【答案】6.

【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零次幕、乘方和二次根式，再計(jì)算加減.

【解答】解：（11-3）°+V4-（-1）2024+（1）-2

2

=1+2-1+4

=6.

，l-x<2（2x+3）

18.解不等式組5+x、1，并寫出滿足條件的正整數(shù)解.

【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.

【答案】不等式組的解集為-1〈尤W2,正整數(shù)解為1,2.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式1-x<2（x+3）,得：x>-L

解不等式互曳Nx+工，得：x<2,

33

不等式組的解集為-1〈尤W2,

則不等式組的正整數(shù)解為1,2.

19.如圖，在菱形A8CO中，點(diǎn)M、N分別在A3、上，且求證：BM

BN.

M

BD

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由菱形的性質(zhì)，可用ASA證明△AMOgZkCNZ),所以AM=CN,所以

=BC-CN,即BM=CN,則結(jié)論得證.

【解答】證明：：四邊形A8C。為菱形，

:.AD=CD=AB=BC,NA=NC.

在△AMD和△CND中，

2A=NC

-AD=CD，

ZADM=ZCDN

:.△AMD名ACND(ASA).

：.AM=CN,

：.AB-AM=BC-CN,

即BM=BN.

20.現(xiàn)今“微信運(yùn)動”被越來越多的人關(guān)注和喜愛，某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我市50名教師

某日“微信運(yùn)動”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表(不完整)：

步數(shù)頻數(shù)頻率

0?40008a

40008000150.3

8000^x<1200012b

1200016000c0.2

16000^x<2000030.06

20000^x<24000d0.04

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)寫出a,b,c,［的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(2)本市約有37800名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步(包含12000

步）的教師有多少名？

（3）若在50名被調(diào)查的教師中，選取日行走步數(shù)超過16000步（包含16000步）的兩

名教師與大家分享心得，求被選取的兩名教師恰好都在20000步（包含20000步）以上

的概率.

球（ASO

A

15，???]—

12--------------

8—

3——..............????|~~

1、

°4000800012000160002000024000步數(shù)（步）

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；用樣本估計(jì)總體；頻數(shù)（率）分布表；頻數(shù)（率）分布直

方圖.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)可得答案；

（2）用樣本中超過12000步（包含12000步）的頻率之和乘以總?cè)藬?shù)可得答案；

（3）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式求解可得.

【解答】解：（1）。=8+50=0.16,6=12+50=0.24,c=50X0.2=10,1=50X0.04=2,

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

獻(xiàn)（氏）

A

15…|—

12-----------------

10.......................—

3

2

0400d800012600160002000024嬴）步裝（步）

（2）37800X（0.2+0.06+0.04）=11340（名），

答：估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步（包含12000步）的教師有11340名;

(3)設(shè)16000Wx<20000的3名教師分別為A、B、C,

2000024000的2名教師分別為X、Y,

畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，被選取的兩名教師恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率為2

20

=工

To"

21.如圖1,是一款手機(jī)支架圖片，由底座、支撐板和托板構(gòu)成.圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，

量得托板長17cvw,支撐板長CZ)=16aw,底座長。E=14cm,托板A8聯(lián)結(jié)在支撐

板頂端點(diǎn)C處，且CB=7c機(jī)，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，支撐板CD可繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動.如圖

2,若/DCB=10°,ZCDE=60°.(參考數(shù)值sin40°心0.64,cos40°^0.77,tan40°

心0.84,愿=1.73)

(1)求點(diǎn)C到直線。E的距離(精確到O.lcM；

(2)求點(diǎn)A到直線。E的距離(精確到O.lcM.

圖1

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【答案】⑴13.8cm；

(2)21.5cm.

【分析】(1)通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出CH；

(2)在RCACF中，ZAFC=90°,即可求NA,進(jìn)而求出AF,即可求出點(diǎn)A到直線

OE的距離.

【解答】解：(1)如圖2,延長即，過A作AGLOE的延長線于G,過點(diǎn)C作SLOE

于H,過點(diǎn)C作C/，AG,垂足為凡則四邊形CFG”為矩形，

:.CH=FG,CH//FG,

在RtZ\CDH中，sin/COH=qi,

CD

CH=CD，sinZCDH=16X近=8我七13.8(cm)；

2

.?.點(diǎn)C到直線DE的距離為13.8cm；

(2)在RtZkACF中，ZAFC=90°,/A=NBCH=70°-30°=40°,

AC=AB-BC=11-7=10Cem),

：.AF=AC-cos40°^10X0.77^7.7(cm),

：.AG=AF+FG=7.7+13.84=21.54^21.5(cm).

答：點(diǎn)A到直線。E的距離約為21.5cm.

22.如圖，O。的直徑A2與其弦C￡?相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A的切線交CD延長線于點(diǎn)R且

ZAED=ZEAD.

(1)求證：AD=FD；

,求。。半徑的長.

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理.

【答案】(1)見解答;、

⑵T-

【分析】(1)由切線的性質(zhì)推出/以O(shè)+N￡AO=/F+/AEr?=N90°,而NAEO=/￡A。,

因此/尸=/曲。，即可證明4。=b￡)；

(2)由銳角的余弦求出FE的長，即可得到的長，由cos/EAZ)=cosNAEF=2,求

5

出長，即可求出圓的半徑長.

【解答】(1)證明：尸與圓相切于A,

直徑A8_LAF,

ZFAD+ZEAD=ZF+ZAED=Z90°,

"?ZAED=ZEAD,

J.ZF^ZFAD,

：.AD^FD；

(2)解：連接8。，

VZ￡AF=90°,

..?

,sinZ：AFE=v,

b

cosZAEF--^-=—,

EF5

"：AE=6,

：.EF=10,

,/ZAED=ZEAD,

J.AD^ED,

：.AD=1.EF^5,

2

TAB是圓的直徑，

/.ZADB^90°,

*.?ZAED=ZEAD,

cosZEAD=cosNAEF=—,

5

?AD=2,

,,而T

：.AB=2L,

3

??.O。半徑的長是空.

6

23.小明到服裝店進(jìn)行社會實(shí)踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準(zhǔn)備購

進(jìn)甲乙兩種服裝，甲種每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)120元，乙種每件進(jìn)價(jià)60元，售價(jià)90元.計(jì)

劃購進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件.

(1)若購進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過7500元，則甲種服裝最多購進(jìn)多少件？

(2)在(1)的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠。(0<a<20)元的價(jià)格進(jìn)行促

銷活動，乙種服裝價(jià)格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤？

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)設(shè)甲種服裝購進(jìn)X件，則乙種服裝購進(jìn)(100-X)件，然后根據(jù)購進(jìn)這100

件服裝的費(fèi)用不得超過7500元，列出不等式解答即可；

(2)首先求出總利潤W的表達(dá)式，然后針對。的不同取值范圍進(jìn)行討論，分別確定其

進(jìn)貨方案.

【解答】解：(1)設(shè)甲種服裝購進(jìn)x件，則乙種服裝購進(jìn)(100-x)件，

根據(jù)題意得：

(x>65

l80x+60(100-x)<7500，

解得：65WxW75,

甲種服裝最多購進(jìn)75件；

(2)設(shè)總利潤為W元，

W=(120-80-cz)x+(90-60)(100-%)

即W=(10-a)龍+3000.

①當(dāng)0<a<10時(shí)，10-a>0,W隨x增大而增大，

當(dāng)尤=75時(shí)，W有最大值，即此時(shí)購進(jìn)甲種服裝75件，乙種服裝25件；

②當(dāng)。=10時(shí)，所以按哪種方案進(jìn)貨都可以；

③當(dāng)10<a<20時(shí)，10-a<0,W隨尤增大而減小.

當(dāng)x=65時(shí)，W有最大值，即此時(shí)購進(jìn)甲種服裝65件，乙種服裝35件.

24.如圖①，已知點(diǎn)4(-1,0),B(0,-2),nABCZ)的邊與y軸交于點(diǎn)E,且E為

的中點(diǎn)，雙曲線y=K經(jīng)過C、。兩點(diǎn).

(1)求上的值;

(2)點(diǎn)尸在雙曲線y=區(qū)上，點(diǎn)。在y軸上，若以點(diǎn)A、B、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是平

x

行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)以線段為對角線作正方形AEB8(如圖③)，點(diǎn)T是邊AF上一動點(diǎn)，M是HT

的中點(diǎn)，交AB于N,當(dāng)點(diǎn)T在AF上運(yùn)動時(shí)，圓■的值是否發(fā)生改變？若改變，

HT

求出其變化范圍：若不改變，請求出其值，并給出你的證明.

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)設(shè)。(1,f),由DC//AB,可知C(2,L2),再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)

求出f的值即可；

(2)由(1)知左=4可知反比例函數(shù)的解析式為y=4,再由點(diǎn)尸在雙曲線>=邑上，

XX

點(diǎn)。在y軸上，設(shè)。(0,y),P(%,A),再分以AB為邊和以A8為對角線兩種情況求

x

出尤的值，故可得出P、。的坐標(biāo)；

(3)連NH、NT、NF,易證NF=NH=NT,故/NTF=/NFT=/AHN,NTNH=/7AH

=90°,由此即可得出結(jié)論.

2

【解答】解：(1)VA(-1,0),B(0,-2),E為AD中點(diǎn)，

?\XD=1,

設(shè)￡)(1,力，

又???OC〃A5,

：.C(2,L2),

??t'=2t-4,

.??/=4,

???左=4；

(2)??,由(1)知％=4,

...反比例函數(shù)的解析式為y=&,

X

:點(diǎn)尸在雙曲線&上，點(diǎn)。在y軸上，

X

.?.設(shè)。(0,y),P(X,A),

①當(dāng)48為邊時(shí)：

如圖1,若ABP。為平行四邊形，

則:l+x一=0,

2

解得尤=1,

此時(shí)Pi(1,4),21(0，6)；

如圖2,若A3。尸為平行四邊形，

則」=工，

22

解得尤=-b

此時(shí)P2(-1,-4),Qi(0,-6)；

②如圖3,當(dāng)48為對角線時(shí)，

AP=BQ,RAP//BQ；

?"1_x

~2

解得尤=-1,

：.P3(-b-4),Q3(0,2)；

故Pl(1,4),Qi(0,6)；P2(-1,-4),Qi(0,-6)；P3(-1,-