數(shù)學(xué)試題

（滿分：150分;考試時間：120分鐘）

注忐事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆埴涂；答非選擇題時，必須使用0.5亳米的黑色簽字筆書寫；

必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完鴕。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評講）.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=（l+2i）（i-l）,則|W=（）

A.而B.42C.D.73

2.已知圓氏d+丁-6*-叼=0,圓產(chǎn):幺+/-〃-紗+4=0,則這兩圓的位置關(guān)系為（）

A,內(nèi)含B.相切C.相交D.外離

在首項為1的數(shù)列應(yīng)｝中，滿足明產(chǎn)土2

3.9則叼(J=()

%+2

54

A.—B.—C.0D.1

23

4.若3"=4"=加且一+-=1（。,瓦加wH）,則血=()

ab

A.2石B.6C.36D.12

5.已知點M為必A姐C外接圓0上的任意一點，Z4BC=90°,AB=1,BC=C，則

（方-麗）?麗的最大值為（）

3

A.1B?-C.D.45

2

6.在平面直角坐標系中，集合4=｛（%"&-丁+左=0｝,集合8=｛（x,y）|y=丘-1｝,已知點

MeA,點NGB,記d表示線段MN長度的最小值，則d的最大值為（）

A.2B.6C.1D.41

7.設(shè)。=/。，b=~,c=ln-,則()

1110

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

8.點以、N為正四面體45。的內(nèi)切球球面上的兩個動點，7為棱上的一動點，則當

NA/7W取最大值時，tanNA/7N=()

A.-y/2B.1C.41D.2&

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.如圖，在正四棱柱中，4T=2/B=4,。為此正四棱柱的外接球球心,

下列說法正確的是()

A.BC1AB)

B.球。的表面積為20兀

C.點。到4)的距離為逐

D.四棱錐。-忿8的表面積為4+砧

10.已知圓G:(x+lJ+(y-2)2=3,直線/:mx-〃y=0(m,neR^.m,"不同時為0),下列

說法正確的是()

A.當直線/經(jīng)過(-1,】)時，直線/與圓G相交所得弦長為回

B.當m=0時，直線廠與/關(guān)于點G對稱，則八的方程為：y=4

C.當〃=0時，圓G上存在4個點到直線/的距離為竭

D.過點G與/平行的直線方程為：mx-ny-m-2n=0

11.已知函數(shù)/(x)=-28sx8s(x+3(p)-l是偶函數(shù)，其中<pw(0g),若函數(shù)g(x)=sin(2x-(p),

則下列說法正確的是()

A.<p=Z

3

B.g(x)的圖象可由函數(shù)/(x)的圖象向右平移募個單位長度得到

C.g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是(哈］

D.若關(guān)于x的方程g(x)-m=0在你兀)上有兩個不同的實根，則加的取值范圍是

T2.定義在[0，”上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：

①/。)=1②Vxe[O,l],/(x)=l-/(l-x)]

③VgeRl],(玉-.馬)[/(玉④Vx€[O,l]/(x)=2//

則下列說法正確的有：(

A.若則f(x)=：B.方程/(x)=4在XG[0,1]上無實數(shù)解

133」2o

C.若仲?，則/母+字D.佃q

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S”表示數(shù)列｛為｝的前”項和，若為=4,則耳3=-------；

14.若cos[。+：)=*,則sin20=；

15.設(shè)橢圓E的兩個焦點是不F2,過點片的直線與橢圓E交于點4B,若|朗|=閨用，且

|福|=2|明則橢圓E的離心率是__________；

16.若a+4一siny=0,則石的最大值為?

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)等差數(shù)列｛/｝滿足4+%=-7,%+%++=4+/，等比數(shù)列｛2｝滿足庭=%，

%=3%

(1)求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式；

(2)若％=|a」xb“，求數(shù)列｛c.｝的前〃項和S..

18.(12分)在A姐C中，內(nèi)角所對的邊分別為a,6,c,滿足b=a-2bcosC

(1)求證：C=2B；

(2)若A仍。為銳角三角形，求2sinC+8sB-sin8的最大值.

19.(12分)五梭椎P-XBCFE中，AB//CF,AE//BC,

PE_LPF,ABLBC,PE=PF=4E=2,FC=BC=4,

AB=6,平面PEFJL平面ABCFE,M為PB的中點，

(1)求證：EMH平面PCF；

(2)求直線⑷/與平面PCF所成角的正弦值.

20.（12分）研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績〉（分）與每天投入的課后學(xué)習(xí)時間x（分鐘）有較強的

線性相關(guān)性.某校數(shù)學(xué)小組為了研究如何高效利用自己的學(xué)習(xí)時間，收集了該校高三（1）班

學(xué)生9個月內(nèi)在某學(xué)科（滿分100分）所投入的課后學(xué)習(xí)時間和月考成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，下圖

是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)計圖（散點圖）.

月次123456789

某科課后投入時間X（分鐘）202530354045505560

高三（1）班某科平均分V（分）6568757273737373.573

(

476

金74■

殳?

牛72

譽70

然68

知

都66

)64

01020304050

（課后投入時間X）

（1）當XM40時，該小組建立了》與X的線性回歸模型，求其經(jīng)驗回歸方程；

（2）當“440時，由圖中觀察到，第3個月的數(shù)據(jù)點明顯偏離回歸直線/，若剔除第3個月

數(shù)據(jù)點后，用余下的4個散點做線性回歸分析，得到新回歸直線/'，證明：1〃/'：

（3）當x>40時，該小組確定了》與x滿足的線性回歸方程為：y=0.01x+72.6,

該數(shù)學(xué)小組建議該班在該學(xué)科投入課后學(xué)習(xí)時間為40分鐘，請結(jié)合第（1）（2）間的結(jié)論說

明該建議的合理性.

附:經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=

A-，-

a-y-bx

21.(12分)已知點尸(0、I)，0(0,-1)為橢咧C：/必=m內(nèi)的兩點，在桶101C上存在兩點4H

滿足彳戶「2萬，直線/Q交橢也C于點”(點M異于點4),

(1)當m-2時，求點8的縱坐標；

(2)求點8,"橫坐標乘枳的最大值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=3Jx-2)-o(x-|)，，川

(1)若/(.\)在(1,切)也調(diào)遞增，求“的取他范圍：

(2)若/('')有二個極值點?記為-VpXj.Xj(X)<x}<Xj)>ElA+2X2+38w181n2+69+

求9的取值范圍

?VW

12345678

AAOCBOAID

9IO1112

AUDAI*AHI)AUD

13.52，4-I

17.

(1)設(shè)｛/｝公差為乩｛〃｝公比為g

a+a+sd=-7…[a=-1

….e.，解出4

｛q+，+q+2d+q+4d=q+3d+q+Sd[d=-I

3分

(4<72)=M4

b>=>

又由.解出〃=3f5分

q=—±—=3g=3

^26

(2)由題意c"="x3i

5.=1X3°+2X3'+3X32+…+①

2

3sti=1x3'4-2X3+???+(〃-1)X3—+〃*3"②6分

(D得：-=1+1xy+1x3?+???+1X3”T一〃x3”

1一3”“

=----------wx3

1-3

29分

~2

12〃一I?

=一+-----x310分

44

18.解：

(1)由題b=。-2bcosc

由正弦定理：sinB=sinA-2sinBcosC2分

=sin(B+C)-2sinBcosC

=sinBcosC+cosBsinC—2sinBcosC

=smCcosB—cosCsinB

=sin(C-B)4分

B=C-B或B+C-B=n(舍)5分

6分

???AABC為銳角三角形

0<n—3B<—

2

0<B<-=>—n<Bc<—九7分

26

0<2B<-

2

由(1),C=2B.原式=2sin2B+cosB-sinB8分

令/=cosB-sinB=&sin9分

則原式=2(1-/)+1=-2「+1+210分

117

.?.當t=L時，所求式子的最大值為U.12分

48

19.解：

（1）取8c中。，連接E0、MQ.

又M為PB的中盡：.MQ什PC,

又PCu平面PCF,A/0?Z平面「CR

二山屯一平面尸。7，又AE2BQ,

???四邊形E48。為平行四邊形，./。〃八8,

又AB〃CF,AEQ//CF,

又CFu平面「CF,EQ<Z平面PCF,

：.E°nMQ=Q,￡Qu平面￡M2，A笈u平面皿Q

.?.平面￡乂2〃平面PB,又EA/u平面EA桓，〃平面PC萬.....5分

（2）取防中點。，連接產(chǎn)。由PE=尸/；?知PD±EF,

又平面P￡7tL平面47,故尸。_L平面4?

以。為坐標原點，。尸為Z軸,

過。作x軸〃8C,過點。作y軸//AB建立如圖所示空間直角坐標系,

由題得：工(3.-L0),P(0,0.>/2),8(350),M,網(wǎng)-LLO),C(-l,5,0)

設(shè)平面/￥下的法向最為>=（%乂=），前=（-1,5,-應(yīng)），即=（-1,1,-忘）

和曹學(xué)二—依）

又癡=信（外但（威止;嚕?????II分

二直線與平面PCF所成角的正弦值為與普

12分

20.解：

連20+25+30+35+4。=30,工=竺02"衛(wèi)包=70.6

(I)2分

5,5

-10x(-5.6)+(-5)x(-2.6)+0x44+5x14+10x2,41000?

b='----------

1OO+25+O+25+IOO250

4*1

...........3分

y-bx=70.6-0.4x30=58.6??????4分

??.所求經(jīng)驗回歸方程為：y=0.4jc+586

出〃七班由k~20+25+35+40，八—65+68+72+73

(2)設(shè)/'的方程為y="x+q,x=-----------------------=30,y=-----------------------=6(

44

...........5分

4

石(怎一祖乂-，)-10X(-5.6)+(-5)X(-2.6)+5X1.4+10X2,4…

&=-------------------；-----=---------------------------------------------------------------=0.4

*,--100+25+0+25+100

訃7)

...........6分

4=7-4(=69.5-0.4x30=57.5.........7分

b=b

r./'的方程為y=04x+57.5,故'，:.l//r...........8分

(3)由(1X2)知，剔除異常值后

①X440時，，的斜率為0.4,x>40時，回歸直線的斜率為0.01

而04遠大于0.01(或0.01接近于0).........10分

②X440時，回歸直線的最大值點為4012分

故認為建議合理

21.解:

(1)設(shè)B(x2,y2)?由/戶=2麗，即（-$,1-,）=2（再,必-1）

二3從而$=-2x

有22分

7i=3-2J2

m+3

(-2七『+4(3-2必)2=4小解得必=丁

進一步,4分

2

*+=4m2-m+10m-9

4

故m=2時，y=——=—5分

Z2244

-nr+10/w-9

NO

4

(2)???,1<zw<97分

—+I2<m

4

設(shè)例⑸%）

①當斜率不存在時，B、M重合，此時覆》［=08分

②當力。斜率存在時，設(shè)直線/。：,=%11*-1=及二2x-l

必一2.

y=------x-1

必-22%-2..n

則x2n4+1.V-8.-......AT+4-4/w=0

X?

x2+4y2=4m

??,僅在橢圓內(nèi)，.??力。與橢圓一定相交

?4-4m4-4/1/

工丙=-2x,x,=---------Q—=---(/n-1)2(w-9)??????]0分

4心一_24

+1

4x—5-------------+

一"+10/W-9

4

"1一1+TH-1+18-2/W)=..........11分

??33=-1)5-1)(18-2m)M

3

19

當且僅當/w-