2024高三數(shù)學(xué)1月質(zhì)檢模擬試題

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合力={xEN*\-Jx<2},集合3={y\y=x2+2},則力nB=

A.[1,4]B.[2,4]

C.{1,2,3,4}D.{2,3,4）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=l+3i（其中i是虛數(shù)單位），貝眩的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.已知直線1的一個(gè)方向向量為（2,-3）,且經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,貝股的方程為（）

A.3%+2y—3=0B.3%+2y-11=0C.2%—3y—1=0D.3%+2y+3=0

4.若不等式/—。％+440對(duì)任意[1,3]恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

12

A.a>5B.a>4C.a>4D.a>-^-

5.已知橢圓空+y2=i和雙曲線/—吟=l（b>0）的公共焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2,在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為

9/b

P,則時(shí)?麗=（）

A.-4B.-6C.-8D.-9

6.將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到4B,C,。四個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每

個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在2社區(qū)的不同安排方法數(shù)為（）

A.24B.36C.60D.96

7.已知公比不為1的等比數(shù)列{&J的前ri項(xiàng)和為Sn,m,r,teN*,記p：Sm,Sr,a為等差數(shù)

列；q：對(duì)任意自然數(shù)k,am+k,ar+k,4+上為等差數(shù)列，則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)a,/?都是銳角，若a,/?,a+/?的始邊都與％軸的非負(fù)半軸重合，

終邊分別與圓光2+y2=1交于點(diǎn)（久「％）,（%2,y2）,（久3,y3）?且滿足y2=yi%3，則當(dāng)￡最大時(shí)，

加九24的值為（）

A.V2B./C.?D.，

728

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某中學(xué)選派甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，他們的成績統(tǒng)計(jì)如下：

學(xué)生甲乙丙T戊

成績8472806876

則下列結(jié)論正確的為

A.這5位同學(xué)成績的中位數(shù)是80

B.這5位同學(xué)成績的平均數(shù)是76

C.這5位同學(xué)成績的第75百分位數(shù)是80

D.若去掉戊的成績，則剩余四人成績的方差保持不變

10.已知直線八kx+1+2k—y=0和圓。：%2+y2=8?貝！1（）

A.直線1過定點(diǎn)（一2,1）

B.直線1與圓。有兩個(gè)交點(diǎn)

C.存在直線/與直線/（）：K—2y+2=0垂直

D.直線/被圓。截得的最短弦長為2金

11.若函數(shù)f（無）=abix+?+￡,（a片0）既有極大值也有極小值，貝U（）

A.be<0B.ab<0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.下列物體，能夠被半徑為2zn的球體完全容納的有（）

A.所有棱長均為3m的四面體

B.底面棱長為1m,高為3.6m的正六棱錐

C.底面直徑為1.6m,高為3.8巾的圓柱

D.上、下底面的邊長分別為Im,2m,高為3?n的正四棱臺(tái)

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2/一3x）（2-專尸的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為.

14.已知向量五，石的夾角為冷，且⑷=4,|瓦=2,則向量五+2石在向量五上的投影向量

為.（用方表示）

15.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)〃尢）滿足：①"2）=0；②值域?yàn)椋邸?,1］；③對(duì)任意久CR,有〃久）+

/（%+2）=0及/（%）=請(qǐng)寫出同時(shí)滿足上述所有條件的一個(gè)函數(shù)解析式：

f(%)=-

16.如圖，在平面凸四邊形4BC0中，AADB=90°,CD=1,BC=2,AD=BD,/BCD為鈍角,

則對(duì)角線AC的最大值為.

四'解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(a+b+c)(a+b—c)=3ab,且△ABC的

面積為罕

4

(1)求C；

(2)求△ABC周長的最小值.

18.已知數(shù)列?。凉M足的=g,。3=務(wù)且數(shù)列｛3%｝是等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前71項(xiàng)和S幾.

19.如圖，在四棱臺(tái)力BC7)—4中，已知力DA=DC=2,AB==

1,/-BAD=60°,%D1AD,AB1BD「

(1)證明：Di。_L平面力BCD；

(2)若四棱臺(tái)ABC。-4隹?。1的體積為務(wù)求二面角B-CQ-。的余弦值.

O

設(shè)雙曲線C：g=l(a>0,b>0)的離心率為百，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為畢.已知直

20.

a乙bD

線/過點(diǎn)(0,-1),直線I與雙曲線C的左，右兩支的交點(diǎn)分別為M,N,直線/與雙曲線C的漸近線的

交點(diǎn)為尸，Q,其中點(diǎn)Q在y軸的右側(cè).設(shè)△?！笆?，△OPQ,△OQN的面積分別是Si，S2,S3.

(1)求雙曲線C的方程；

C

(2)求豆%的取值范圍.

21.某公司為激勵(lì)員工，在年會(huì)活動(dòng)中，該公司的n(nN3)位員工通過摸球游戲抽獎(jiǎng)，其游戲規(guī)則

為：每位員工前面都有1個(gè)暗盒，第1個(gè)暗盒里有3個(gè)紅球與1個(gè)白球.其余暗盒里都恰有2個(gè)紅球

與1個(gè)白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個(gè)暗盒里取出1個(gè)球，并將這個(gè)球放

入第2個(gè)暗盒里，第2位員工再從第2個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第3個(gè)暗盒里，依次類推，第

n-1位員工再從第n-1個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第n個(gè)暗盒里.第n位員工從第n個(gè)暗盒中取出1個(gè)

球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球?yàn)榧t球，則該員工獲得獎(jiǎng)金1000元，否則該員工獲得獎(jiǎng)金500元.

設(shè)第i(l<i<九)位員工獲得獎(jiǎng)金為Xt元.

(1)求X2=1000的概率；

(2)求X,的數(shù)學(xué)期望E(X)并指出第幾位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.

22.已知函數(shù)/'(久)=ex+asinx—l(a<0).

(1)若a=-1,求證：當(dāng)式20時(shí)，f(x)>0；

(2)討論函數(shù)g(X)=/(久)+axcosx在區(qū)間［0,兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

答案解析

L【答案】D

【解析】【解答】解：V%<2,解得0<%<4,所以力=口，2,3,4},B={y\y>2},則ACB=

{2,3,4）.

故答案為：D.

【分析】先求集合4B,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由zi=l+3i,貝股=坦=3—i,故復(fù)數(shù)z的虛部為一1.

I

故答案為：A.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡求得復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：由直線的方向向量為（2,-3）,可得直線的斜率為k=三，

又因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,所以直線/的方程為y-l=—|（久—3）,即3x+2y—ll=0.

故答案為：B.

【分析】由直線的方向向量得直線的斜率，再寫出直線的點(diǎn)斜式方程化為一般式即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：不等式/—ax+4W0對(duì)任意xe［1,3］恒成立，

分離參數(shù)aNx+金對(duì)任意xC［1,3］恒成立，即a2（久+*）max，

又函數(shù)y=x+3在久e［1,2］上單調(diào)遞減，在xe（2,3］上單調(diào)遞增，

當(dāng)％=1時(shí)，y=l+4=5,當(dāng)x=3時(shí)，丫=3+號(hào)=呈5>苧，所以Ymax=5，故a25.

故答案為：A.

【分析】原不等式恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為（久+令加蟆〈。對(duì)任意xe［1,3］恒成立，求出

（久+3=5,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Xmax

5.【答案】B

【解析】【解答】解：由橢圓務(wù)y2=1可得焦點(diǎn)%（—2魚，0）,尸2（2伉0）,

I&F2I=2c=2V9-1=4V2,

由橢圓和雙曲線的定義,有嚅丁器M，解得噫I：；,

U產(chǎn)白11一I尸六21-乙(I尸白21=乙

則兩-M=|PF1|-|PF2|-cos乙F1PF2=|PF1|-|PF2|?=-6.

故答案為：B.

【分析】由橢圓的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得|6尸2|,再由橢圓和雙曲線的定義，求出IPF1I，\PF2\，

最后利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理求西■麗.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：①4社區(qū)只有甲，另4人安排在3個(gè)社區(qū)，則有功用=36中不同安排方法；

②4社區(qū)除了甲還有另一個(gè)志愿者，有以第=24種不同的安排方法；

故甲恰好被安排在A社區(qū)有36+24=60種不同安排方法.

故答案為：C.

【分析】分A社區(qū)只有甲自己和4社區(qū)除了甲還有另一名志愿者兩種類型，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理

結(jié)合排列組合知識(shí)求解即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由命題p：Sm,ST，St成等差數(shù)列，貝吃5「=SM+S1又?jǐn)?shù)列｛時(shí)｝為等比數(shù)

列，且公比不為1,所以2X叼M，)=。式；二;嗎+旬普，整理可得2qr=qM+/；

m+k

又命題q：am+k,Qr+k，4+九成等差數(shù)列，貝！)2。丁+上=am+k+at+k,即2al必+"=arq+

t+k

arq,整理得到2q，=q加+qt所以p是q的充要條件.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)條件得出命題p,q均等價(jià)于2必=9優(yōu)+/，再根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法判

斷即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)單位圓中三角函數(shù)的定義，y2=sin^,y】=sina,%3=cos(a+S),由

y2=當(dāng)?shù)?，則由九夕=sinacos^a+0),即sin[(a+/?)-a]=sinacos^a+B)，

則有sin(a+8)cosa=2sinacos(a+0),得tcm(a+0)=2tana,

=.Ka+6)一可=<晶=景當(dāng)且僅當(dāng)tana=乎時(shí)等號(hào)成立，

42L

因?yàn)?是銳角，所以當(dāng)6最大時(shí)，汝力？=?，則位n26-2ta珅—工—以1

Ntan邛-i_mn20--7'

8

故答案為：B.

【分析】根據(jù)單位圓三角函數(shù)的定義，結(jié)合丫2=當(dāng)久3，有sin/?=sinacos(a+。)，再利用兩角差的

正弦公式化簡得taMa+/?)=2t<ma,由兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式求tanf的最大值，再由

倍角公式求的值即可.

9.【答案】B,C

【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)的成績從小到大排列68,72,76,80,84,

A、根據(jù)5位同學(xué)的成績排序，可知這5位同學(xué)成績的中位數(shù)為76,故A錯(cuò)誤；

B、這5位同學(xué)成績的平均數(shù)為68+72+^+80+84=為故B正確；

C、5X75%=3.75,第75百分位數(shù)應(yīng)為第4個(gè)數(shù)80,故C正確；

22222

D、5位同學(xué)的成績方差為(68-76)/+(72—76)Z+(76「76)Z+(80—76)Z+(84—76)"=32)

2222

若去掉戊的成績，剩下4個(gè)人的成績方差為(68-76)+(72—76)+(80-76)+(84-76)=4,故D

4

錯(cuò)誤.

故答案為：BC.

【分析】先將5位同學(xué)的成績排序，再根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)和百分位數(shù)的定義進(jìn)行判斷ABC；計(jì)算

出去掉戊的成績的方差和不去掉戊的成績的方差，比較后得到結(jié)論判斷D選項(xiàng).

10.【答案】A,B,C

【解析】【解答】已知直線Akx+1+2k—y=0和圓。：x2+y2—8-

對(duì)于A,由直線1：/cc+l+2k—y=0可得直線/：久久+2)+1-y=0,所以

所以所以直線/過定點(diǎn)(_2,1),所以A對(duì)；

對(duì)于B,由圓。：/+y2=8得出圓心0(0,0),半徑r為2VL設(shè)選項(xiàng)A中定點(diǎn)為D(-2,1),

因?yàn)?一2/+好=5<8,所以定點(diǎn)D在圓。內(nèi)，而直線1恒過定點(diǎn)D,所以直線1與圓。相交，

所以直線/與圓。有兩個(gè)交點(diǎn)，所以B對(duì)；

對(duì)于C,因?yàn)橹本€/()：￡—2y+2=0,所以直線卜的斜率為。所以與直線L：x—2y+2=0

-11

垂直的直線/的斜率為比=亞=一1=一2,而直線/：kx+l+2k-y^0,所以其斜率為k,

’02

所以k=-2,所以存在直線/與直線石：％-2y+2=0垂直，所以c對(duì)；

對(duì)于D,因?yàn)橹本€1恒過定點(diǎn)D(-2,1),所以圓心到直線1的最大距離為|0川=逐,

此時(shí)直線1被圓O截得的弦長最短為2加二不=2小,所以D錯(cuò).

故答案為：ABC.

【分析】利用直線的方程求定點(diǎn)可判斷出選項(xiàng)A；利用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷出選項(xiàng)B；利用

兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷出選項(xiàng)C；利用弦長公式判斷出選項(xiàng)D,從而找出正確的選項(xiàng).

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：函數(shù)/（久）=a仇x+，+/，（a。0）的定義域?yàn)椋?，+8）,f（X）=與_—

2

2c=ax-bx-2ct因?yàn)楹瘮?shù)/（久）既有極大值也有極小值，所以廣（%）在（0,+8）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根，即方程a/一b%-2c=0（aW0）在（0,+oo）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

4=/+8ac>0

b

設(shè)兩根分別為％1，x2,貝>b%1+%2=萬>°,即ac<0、ab>0同號(hào)，從而be<0.

[久1%2=一年>0

故答案為：ACD.

【分析】先求函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題，進(jìn)一步由判別式、韋達(dá)

定理求解判斷即可.

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、設(shè)四面體4BCD的外接球的球心為。，頂點(diǎn)在底面的射影為E,外接球的半

徑為rm,貝1JCE=凈x*x3=V3m>AE-y/AC2—CE2=V9—3=y[6m>

因?yàn)椤！?=。嘮+。產(chǎn)，所以「2=3+（遙—r）2,解得「=等<2，故A正確；

B

B、底面棱長為的正六棱錐的底面外接圓的半徑為1m,外接球的半徑為2m，設(shè)球心到底面的距

離為hm,則由球的性質(zhì)可知22=仔+總解得h=百或％=-V3（舍去），此時(shí)正六棱錐的高的最

大值為2+/i=2+V3?3.732>3.6,故B正確；

C、圓柱的底面半徑為0.8m,高的一半為1.9m,設(shè)其外接球的半徑為Rm,

所以R=V0.82+1.92=V425>2,故C錯(cuò)誤;

D、正四棱臺(tái)中，上底面的對(duì)角線長為遮加，上底面外接圓的半徑長為苧血，下底面的對(duì)角線長為

2V2m,下底面外接圓的半徑長為四加，易知外接球的球心在正四棱臺(tái)的上、下底面中心的連線上,

且在上底面的下方，設(shè)球心到上底面的距離為dm(d<3),球的半徑為tm,當(dāng)球心在兩底面之間

時(shí)，球心到下底面的距離為(3—d)m,貝“臚+得,解得d=1.75<3,

符合題意;

1(3-4+(遮>=產(chǎn)

當(dāng)球心在下底面上或下方時(shí)，球心到下底面的距離為(d-3)m(d>3),

則?心+四,解得d=1.75<3,不符合題意，故D正確.

、(d-3)2+(V2)2=t2

故答案為：ABD.

【分析】求出正四面體外接球的半徑，將此半徑與所給球的半徑比較大小即可判斷A；可假設(shè)正六

棱錐的外接球半徑為2m,底面棱長為1m,求出此時(shí)正六棱錐的高，將求出的高與所給高進(jìn)行比較

可判斷B；求出底面直徑為1.6m,高為3.8cm的圓柱外接球的半徑可判斷C；求出上、下底面的邊長

分別為lm,2m,外接球的半徑為2cm正四棱臺(tái)的高可判斷D.

13.【答案】960

7

【解析】【解答】解：(2—之)的展開式的通項(xiàng)為苒+1=G27—r(-l)r%一三故當(dāng)丁=0,2,

可得(2/一3x)(2-2)7的展開式中含％的項(xiàng)的系數(shù)為：(一3)xC)x27+2x禺X25=-384+

1344=960.

故答案為：960.

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分析運(yùn)算求解即可.

14.【答案】|a

【解析】【解答】B夾角為半同=4,\b\=2

(a+2b)-a=\a\2+2|a||b|cos^=42+2x4x2x^=24,

aa3

24X_-T

??.所以向量五+2石在向量M方向上的投影向量為回薩同--a

42

故答案為：l-a.

【分析】先計(jì)算向量2+2后與向量a的數(shù)量積，再代入投影向量公式中，即可得出答案.

15.【答案】sin^x(答案不唯一)

【解析】【解答】解：因?yàn)?'(%)的值域?yàn)閇一1,1],所以可設(shè)/'CO=sin(3%+R),

又/(久)+f(x+2)=0,則JQ+2)=-/(%),

所以/(%+4)=-f(x+2)=/(X),則f(x)的周期為4,

所以3=與則/(%)=sin(^x+cp),

又/(2)=sin(n+0)=0,則兀+(p=kn,kEZ,取@=0,

所以fQ)=sin^x,則/(%)=3cos,％,

又/(4—%)=geos匿(4—x)]=*COS(2TT—^-x)=￡cos打=/(%),

即滿足/(久)=/(4-x)，所以/(%)=sin^x.

故答案為：sin^x(答案不唯一).

【分析】根據(jù)/(%)的值域?yàn)閇-1,1],設(shè)/(%)=sin(cox+(p),再由/(%)+/(%+2)=0得到/(%)的

周期為4,從而/(%)=s譏6%+R),再由/(2)=SE(TT+R)=0求解.

16.【答案】2+V2/V2+2

【解析】【解答】解：設(shè)NBCD=a,乙BDC=B，由正弦定理可得：黑=島，

則3。?sin/?=2sina,BD2=1+4—2x2cosa=5—4cosa,

在中，利用余弦定理可得4c2=AD2+CD2-2AD-CD-cosg+')

=5—4cosa+1+2BD?CD?sin(^=5—4cosa+1+4sina

=6+4V^sin(a—$<6+4V2=(2+V2)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以AC<2+V2.

故答案為：2+&//+2.

【分析】設(shè)立BCO=a,乙BDC=0,利用余弦定理表示出可得40,結(jié)合正弦定理找到與

s譏NBDC的關(guān)系，進(jìn)而表示出AC,結(jié)合三角函數(shù)運(yùn)算求解即可.

17.【答案】(1)解：由(a+b+c)(a+b—c)=3ab,得次+fo2+2ab—c2=3ab，

即a2+廿一°2=ab，貝Lose=02=工

2ab2

jr

由CG(0,7T),得C=1

(2)解：S2ABC~aabsin。=^-ab=百"得ab=3,

由余弦定理，有c?=cz2+b2-2abeosC-a2+b2—ab，得c=Va2+b2—ab>

△ZBC周長I=a+b+yja2+b2-ab>2y[ab+72ab-ab=2A/3+A/3=3百，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=舊時(shí)取等號(hào)，所以△ABC周長的最小值為3遮.

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理求出cosC,即可求得角C的值；

（2）根據(jù)△ABC的面積求得ab=3,再由余弦定理得c=7a2+b2—ab，最后利用基本不等式求小

4BC周長的最小值即可.

18.【答案】（1）解：因?yàn)閿?shù)列｛3%工是等差數(shù)列，記其公差為d,

則有d=3、3叼=27X1—1=2,

所以3n即=l+2（n-l）=2n-l,

所以即=竽；

/八、左力。1.3.5,.2n—3.2n—1

（2）斛：S九=3+/+.+…+^y+^-，

同工S=—+-+271-5+2n-32n-1

71n

則3九§2十3?十十3T十3十3九十「

21九一1

則212222n-l_lg[l-（3）12n-l

人與5?一§+/+豆+…+曠萍+—弓-----^+T

_22n+2

=可一^￥7，

所以％=1-

【解析】【分析】（1）由數(shù)列｛3九n｝是等差數(shù)列，記其公差為d,根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可求解；

（2）由（1）先表示Sn,再利用錯(cuò)位相減法求和即可.

19.【答案】（1）解：在四邊形ZBCD中，vAD=2,AB=1,ABAD=60%

：.BD=J4+1-2X2X1=V3,AB2+BD2=AD2,4B1BD，

XvAB1BD1,BDCBDLB,BD,u/順叫AB1平面幽0,DD、u面BD、D,

AB1叫

又；DrD1AD,ABCtADA,AB,ADru平面ABCDDD1，平面ABC。；

_(l+2)xV3_3V31

(2)解:s

四邊形ABCD~2—2

_13/33/3

S四邊形A\B\C\D[=4X2=8

TZ_1,3乃，3，3樂3同nn21_nn_r-

:?V四棱臺(tái)=3-(―+丁+1丁X-g-)DDi=-g-DDi=V3>

如圖建系，

B(V3,0,0),C(0,2,0),6(0,1,V3),D(0,0,0),

BC=(-V3,2,0),CQ=(0,-1,V3);設(shè)平面BCCi的一個(gè)法向量汨=(K，y,z)

%?BC=0f-V3x+2y=0一后.、

???{i-n%=(2,73,1)

城.CG=0I-y+V3z=0

平面CC1。的一個(gè)法向量五=(1,0,0),設(shè)二面角B—CC1—D的平面角為e,

顯然6為銳角，:COS。=[1^[=-^-j==孝.

\ni\-\n2\2/22

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件推出ABIB。，ABIDDr,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)四棱臺(tái)ABCD-&B1C1A的體積寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量計(jì)算

二面角B-CQ—D的余弦值即可.

20.【答案】(1)解：由題意可得雙曲線C：胃一號(hào)=1(Q>0,6>0)的一條漸近線方程為云一

*b乙

ay=0,

離心率為百，貝哈=百，

Clb

頂點(diǎn)到漸近線的距離為Q竽，不_妨取頂點(diǎn)(Q,0)，則丁瓦二2丁AZ6，

qaru

即得弛=孚，故b=2a,結(jié)合a2+d=c2,

c3

解得=4

故雙曲線C的方程為耳一萼=1；

48

（2）解：由題意得5]工3=

直線1的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=/cc—1,設(shè)MQi，yQ,Ng,%），

由｛2::=1，得(2_卜2)%2+2-一9=0,

'/。2

則JA=4k2+36(2-/)>0,即得<卜<傷

3<0

<2—k

,2k9

貝ni！lJ%i+%2=F—，亞工2=F-,

r-2r-2

22xx2—2

旦|MN|=V1+/c-I%!—X2|=V1+/c.7(l+2)4xt%2=V1+/c.

2網(wǎng)9-4/,

=V1+/c2?

2-k2

(y=kx-1__,o

由_y2=0，得zn(2-fc2)x2+2/cx-l=0,4=41+4(2-1Q)=8>0,

e.2k1

貝！J%p+xQ=-2—,xPxQ=f-,

k—2k-2

22

得|PQI=V1+fc?^/(xp+xQy—4XPXQ=V1+/c-2q,

'2-k

S2_\PQ\_\PQ\1

故S1+S3-\PM\+\QN\—\MN\-\PQ\\MN\_

WT

而—/<k<魚,狀機(jī)=內(nèi)—4k2e(1,3],；?sjsseg，+8).

【解析】【分析】（1）先求出雙曲線的方程求得漸進(jìn)線，根據(jù)雙曲線的離心率以及頂點(diǎn)根據(jù)已知條件

列式計(jì)算，求出b,a?的值，即可求得雙曲線的方程；

（2）由題意得S]Sjs3=|pj片JQN「設(shè)直線Z的方程為丫=kx-1,設(shè)月），N（久2，丫2），聯(lián)立

直線和雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示弦長|MN|,再聯(lián)立直線和漸近線方程求得|PQ|,即可得

|pj任=疏罔PQ|的表達(dá)式，結(jié)合參數(shù)范圍，即可求解?

2L【答案】(1)解：X2=1000的情形為第2位員工從第2個(gè)盒子中摸出紅球，包括兩種情況:

①第1位員工從從第1個(gè)盒子中摸出紅球放入第2個(gè)盒子后第2位員工摸出紅球；

②第1位員工從從第1個(gè)盒子中摸出白球放入第2個(gè)盒子后第2位員工摸出紅球.

故X2=1000的概率為：P(X2=1000)=+=

(2)解：設(shè)第i位員工取出紅球的概率為Pj.則有Pi+1=*Pj+/(l—Pj)=〃Pj+；,

即：Pi+1_I_I)'且

故｛Pi-1｝組成首項(xiàng)為辦公比為上的等比數(shù)列.

=n(?T=IG'即Pi=I+2G)'

第i位員工取出白球的概率為1—B

易知X的所有可能取值為1000,500,則X的分布列如下：

Xi1000500