海南省?？谑?024屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合/=何一2Vx<3},8={x|2TV1},則Nn8=()

A.{x|x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.1x|0<x<3}D.{尤|-2<尤40}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)=2i,則彳=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

3.已知向量訝=(2,加)石=(l*-2),若(午+2可，兀則向=()

A.2A/5B.2MC.4A/5D.40

4.一個(gè)近似圓臺(tái)形狀的水缸，若它的上、下底面圓的半徑分別為25cm和15cm,深度為

18cm,則該水缸灌滿水時(shí)的蓄水量為()

B.4900兀(cm，

D.2205071(cm3

5.在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書(shū)記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡

發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門(mén)積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家

前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的

概率為()

48

A.B.一D.—

99ci27

6.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,/卜+；1

為偶函數(shù)，/(2-x)+/(x)=0,f

2

1

A.B.一C.0D.

23

7.三相交流電是我們生活中比較常見(jiàn)的一種供電方式，其瞬時(shí)電流i(單位：安培)與

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

時(shí)間f（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式：://05（就+%）（其中，為供電的最大電流，單

位：安培；。為角速度，單位：弧度/秒；例為初始相位），該三相交流電的頻率/（單

位：赫茲）與周期T（單位：秒）滿足關(guān)系式/=（.某實(shí)驗(yàn)室使用10赫茲的三相交流

電，經(jīng)儀器測(cè)得在f=0.025秒與/=0.5秒的瞬時(shí)電流之比為百，且在7=0.8秒時(shí)的瞬時(shí)

電流恰好為1.5安培.若%則該實(shí)驗(yàn)室所使用的三相交流電的最大電流為（

A.1安培B.百安培C.2安培D.3安培

22

8.已知橢圓C:5+《=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，尸為C上一點(diǎn)，滿足

PFJPF],以C的短軸為直徑作圓。，截直線尸耳的弦長(zhǎng)為揚(yáng)，則C的離心率為（）

A.旦B.叵C.1D.—

3233

二、多選題

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位數(shù)是4

B.若數(shù)據(jù)再,%2，%3,…，％”的標(biāo)準(zhǔn)差為$，則數(shù)據(jù)2再,2姑,2X3,…的標(biāo)準(zhǔn)差為為

31

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（l,2）,若尸（X>0）=j,則尸（0<X<2）=Q

Q77

D.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布以4,p）,若方差。（X）=9,則尸（X=2）=三

4128

10.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若（幾一凡）（幾—幾）〈0，則（）

A.%3+。14〉。

B.與〈幾〈幾

C.當(dāng)”=14時(shí)，S“取最大值

D.當(dāng)S“<0時(shí)，〃的最小值為27

11.已知OC:（x-鏟+/=4,42是。C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|/8|=2百.設(shè)4（網(wǎng),必）,

B（x2,y2）,線段43的中點(diǎn)為則（）

71

A.ZACB=-

3

B.點(diǎn)M的軌跡方程為（X-4）2+J?=I

C.再遍+必%的最小值為6

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

D.|西-乂+1|+,2-%+1］的最大值為10+百

12.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx+(l-x)ln(l-x),則()

A./(x)=/(l-x)

B.函數(shù)/(x)有最大值-ln2

C.若玉+%=1,則占〃了2)+工2/(再)，-也2

D.若西+工2<1,且則/(%)</(國(guó))

三、填空題

13.在(x+2y)(x->)6的展開(kāi)式中//的系數(shù)為.

14.已知直線了二-ex+a是曲線y=|hu|的一條切線，則。=.

15.已知cos(a+2〃)=，,tan(a+夕)tan尸=-4,寫(xiě)出符合條件的一個(gè)角a的值

為.

16.已知直線辦-了+1=0過(guò)拋物線C:d=2眇(0>0)的焦點(diǎn)，且與C交于43兩點(diǎn).過(guò)

48兩點(diǎn)分別作C的切線，設(shè)兩條切線交于w點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N.若。=1,則

\MN\=；4ABM面積的最小值為.

四、解答題

17.已知函數(shù)尸㈤是高斯函數(shù)，其中［x］表示不超過(guò)尤的最大整數(shù)，如［0.8］=0,［1.5］=1.

若數(shù)列｛0“｝滿足。1=2,且a“+a“+i=2〃+3,記6“

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列抄,｝的前2024項(xiàng)和.

18.一次跳高比賽中，甲同學(xué)挑戰(zhàn)某個(gè)高度，挑戰(zhàn)規(guī)則是：最多可以跳三次.若三次都

未跳過(guò)該高度，則挑戰(zhàn)失敗；若有一次跳過(guò)該高度，則無(wú)需繼續(xù)跳，挑戰(zhàn)成功.已知甲

成功跳過(guò)該高度的概率為:，且每次跳高相互獨(dú)立.

(1)記甲在這次比賽中跳的次數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知甲挑戰(zhàn)成功，求甲第二次跳過(guò)該高度的概率.

19.已知四棱錐尸-48CD的底面為矩形，AD=2AB=2,過(guò)CD作平面a,分別交側(cè)棱

P4,PB于M,N兩點(diǎn)、,且

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

p

B

(1)求證：CD1PD；

(2)若AP/O是等邊三角形，求直線PC與平面a所成角的正弦值的取值范圍.

20.記的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知4=一,。是邊BC上的一點(diǎn),

6

口sinZBADsinZCAD3

bc2a

(1)證明：AD=^a-

Q)若CD=2BD,求cos//DC.

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

22

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:?-與=l(a>0/>0)的左頂點(diǎn)為A,離心

率為焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.直線/過(guò)點(diǎn)尸?,0)(0<f<2),且垂直于x軸，過(guò)戶的

直線/'交C的兩支于G,〃兩點(diǎn)，直線分別交/于兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

⑵設(shè)直線的斜率分別為配質(zhì)，若質(zhì)=；,求點(diǎn)p的坐標(biāo).

22.已知函數(shù)/(x)=ei+xlnx+冽.

⑴若/(%)的最小值為1,求加；

22

(2)設(shè)。,6為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且4-4=3山0-2皿，證明：a+b>2.

eeee

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】解指數(shù)不等式得到8={x|x20},根據(jù)交集的概念求出答案.

【詳解】B={x\rx<2°}=[x\x>0},

故Nc8={x|-2(尤<3}c{x|x20}={x|0Wx<3}.

故選：C

2.D

【分析】計(jì)算出z,即可得出I的值.

【詳解】由題意，z(I)=2由

2i2i(l+i)2i+2i22i-2,.

z—......=---------------=--------=--------=—1+1

1-i(l-i)(l+i)1-i22'

故選：D.

3.B

【分析】利用向量垂直的性質(zhì)和模長(zhǎng)求出即可.

【詳解】由已知可得萬(wàn)+25=(4,加=4),

因?yàn)?,

所以4—2，(加—4)m=6,

所以2=(2,6),

所以向二，2?+62二2&5,

故選：B.

4.C

【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題意，圓臺(tái)形狀的水缸的上、下底面圓的半徑分別為25cm和15cm,深度為18cm,

根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，可得憶=：加(252+152+乃春行)x18=7350兀(c畝).

故選：C.

5.B

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】分別求出“甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法”和

“每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法”的種數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：34=81種;

每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：C；A；=36種；

由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：各36=24.

819

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)題目條件推出函數(shù)的一個(gè)周期T=2,從而得到,再根據(jù)

和1(x-l)+/(x)=0得至U答案.

【詳解】因?yàn)?[x+￡|為偶函數(shù)，所以+=+

所以/(—x+2)=/(x—l),

因?yàn)?(2-x)+/(x)=O,故/(l)+/(x)=O,

即),所以/(x-l)=-〃x-2),

故/(x)=f(x-2),

故函數(shù)的一個(gè)周期7=2,

/■(x_l)+/(x)=O中，令x=；得,

故選：A

7.D

【分析】根據(jù)周期得。=20兀，進(jìn)而根據(jù)U0.025秒與"0.5秒的瞬時(shí)電流之比為百，可得

JT

%=-p進(jìn)而可根據(jù)f=0.8秒的電流求解乙=3.

【詳解】由題意可得了=』=10,所以7，故。=20兀，

T10co

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

所以i=/,“cos（20m+%）,

進(jìn)而可得（“cos（20^x0.025+。。）"5+%]-sin%：

Imcos（20TTx0.5+（Po）cos/cos%

因此tan%=-百，由于%￡[-,,（））,所以%=一1,

因止匕7'=/"戶05120向一弓],

則當(dāng)”0.8時(shí)，z=/,Hcosf207ix0.8-^=1/,?=1.5,故，=3,

因此最大電流為/叫=3,

故選：D

8.A

【分析】利用中位數(shù)定理，結(jié)合截直線尸耳的弦長(zhǎng)為標(biāo)求出|尸瓦卜方，再結(jié)合橢圓定義和

勾股定理得到。力,c的關(guān)系，從而得解.

【詳解】

x

?

如上圖，取弦25的中點(diǎn)。，連接OD,則即。D,P片

因?yàn)槭罚?，所以O(shè)D//PB，

因?yàn)?。為《耳的中點(diǎn)，所以。是尸片的中點(diǎn)，所以2|。0=|尸"

因?yàn)槭?，尸與，所以O(shè)D垂直平分弦

因?yàn)閞=b,|8C|=gb，所以|。口=卜二gb=jb,所以忸用=6,

由橢圓定義可得歸用+|尸閭=2W因用=2c,

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

J(2?-/?)2+ZJ2=4c23,6

所以?Cl——b,c=-b，

a72=b~9+c2722

所以離心率為好，

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的

取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：

①求出a，c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a/,c的齊次式，結(jié)合〃=/一/轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后

等式(不等式)兩邊分別除以“或/轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e

的取值范圍).

9.BCD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定B正確；根

據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可判定C正確；根據(jù)二項(xiàng)分布性質(zhì)和概率的計(jì)算公式，可判定D

正確.

【詳解】對(duì)于A中，數(shù)據(jù)從小到大排列為",2,2,3,4,4,5,共有8個(gè)數(shù)據(jù)，

因?yàn)?x45%=3.6,所以數(shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為2,所以A不正確；

對(duì)于B中，數(shù)據(jù)演,乙戶3,…,x”的標(biāo)準(zhǔn)差為s,

由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)2天,2馬,…,2x”的標(biāo)準(zhǔn)差為在/=2s，所以B正確；

對(duì)于C中，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(l,2),且尸(X>O)=a，

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得尸(0<X<2)=2尸(X>O)-1=g,所以C正確；

對(duì)于D中，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3(4,p),且。(X)=j

313

可得42(1—P)=:，解得或夕=:，

444

11177

當(dāng)P時(shí)，可得尸(X=2)=C：(RJ(l-/=加；

444IZo

當(dāng)P=可得尸(X=2)=C憐、意，

444IZo

97

綜上可得，P(X=2)=—,所以D正確.

故選：BCD.

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

10.ABD

【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AB；由A和等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和判斷C；由等差數(shù)列的前

n項(xiàng)和和等差中項(xiàng)判斷D.

【詳解】A：首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，

以615—（S］5—S%）—（“15+%4+413+”12）3。［4—6。］4（q4+^13）<。，

若。14>。，則％4+。13一定大于零，不符合題意，

所以用4<。，％4+。13>°，故A正確;

B：由A可矢口S15-S”=。15+%4+。13+%2=2（。14+43）>0。E5>8",

S15_S12-3〃14〈0D耳5（S12,故B正確；

C：由A可知，因?yàn)椋?<0，44+。13>0，可知〃13>°，故〃=13,s〃取最大值，故C錯(cuò)誤;

D：S”=27（；+%）=27。"<0,S26=26（"［“劣）=13+%3）〉0，故D正確.

故選：ABD.

11.BC

【分析】A選項(xiàng)，由垂徑定理得到3|=1,從而得到//CM=/8CM=60。，ZACB=y.

B選項(xiàng)，由|。/=1得到點(diǎn)M的軌跡為以。為圓心，半徑為1的圓，得到軌跡方程；C選項(xiàng),

由極化恒等式得到次.礪=|兩『-甌『=兩上3,結(jié)合點(diǎn)M的軌跡方程，得到

歸-%+[+卜-%+1|

*2+7跖=p叫L3的最小值;D選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題,

272

可看作點(diǎn)M到直線x-y+l=0的距離，結(jié)合點(diǎn)M的軌跡方程，求出最大值，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，由題意得C（4,0）,半徑為r=2,

由垂徑定理得CWL/8,

則|CM「+［四］=4,解得

I2J

由于1^=,，則//CM=Z8CM=60。,

r2

2兀

故A錯(cuò)誤；

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，|CM|=1,

故點(diǎn)M的軌跡為以。為圓心，半徑為1的圓，

故點(diǎn)M的軌跡方程為(x-4)2+j?=i,B正確；

C選項(xiàng)，由題意得9+05=2)?，OA-OB=2BM>

兩式分別平方后相減得，刀?礪=快7(-向『=頤，-3,

其中OAOB=xxx2+yxy2,

又點(diǎn)"的軌跡方程為0-4)2+/=1,

所以|萬(wàn)用的最小值為|OC|-1=4-1=3,

故X]/+必%=-3的最小值為9一3=6,C正確;

|龍2一y2+U

可看作點(diǎn)B到直線X-y+1=0的距離,

同理,72

故：可看作點(diǎn)M到直線…+「。的距離,

點(diǎn)M的軌跡方程為(x-4)2+y2=1,

故點(diǎn)M到直線x7+l=O的距離最大值為圓心到》7+1=0的距離加上半徑,

J4-0+1I541

區(qū)/十1十1,

V1+12

|西一必+1|+上-%+

故LA

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

所以lx】i必+H—%+11W1。+2&,

故最大值為10+2尬，D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：向量恒等式|方+可~+歸一彼「=2,2+廬)，及歸+役「一歸一可？=4小行是常

用等式，要學(xué)會(huì)合理利用這兩個(gè)式子解題.

12.ACD

【分析】根據(jù)/(x)的解析式直接求解〃1-力可對(duì)A判斷；利用導(dǎo)數(shù)求最值方法可對(duì)B判

斷；結(jié)合給出的已知條件并利用A、B中的結(jié)論可對(duì)C、D判斷求解.

【詳解】對(duì)A：由題意知f(x)=3nx+(l-x)ln(l-x),所以

/(l-x)=(l-x)ln(l-x)+xln^=/(x),故A正確；

對(duì)B：由題意知/(x)的定義域?yàn)?0,1),

1Y

廣⑺=Inx+xxIn(1-x)-1=Inx-In(1-x)=In,

當(dāng)xe(0,￡|,r(x)<0,當(dāng)xegj,f'(x)>0,所以/'(x)在/，單調(diào)遞減，在

單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=g時(shí)，取到極小值也是最小值/g]=-ln2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：當(dāng)無(wú)1+%=1時(shí)，可得再=1一%=1，由A知/=

所以不/(工2)+工2/(再)=(1-工2)/(工2)+//(1一X2)=(1-X2)/(工2)+々/(工2)=/(工2)，

由B知/(無(wú)絲-ln2恒成立，所以「(X2)2-In2,故C正確；

對(duì)D：當(dāng)國(guó)+/<1時(shí)，得又因?yàn)間<X2<l,所以;<1一毛<1,

由B知/(X)在&,11上單調(diào)遞增，所以/優(yōu))</(1-芭)，又由A知〃占)=/(1-玉)，

所以/口2)</(須)，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：靈活運(yùn)用已知條件占+%=1，占+迎<1,并結(jié)合f(x)的對(duì)稱性和單調(diào)

性進(jìn)行求解.

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

13.24

【分析】把(x-4按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得(&+2田(尤->)6的展開(kāi)式中//的系數(shù).

【詳解】結(jié)合題意可得：

(x+2y)(x-y)6=(x+2y)(Cy-C^5y+Cyy2-Cyy3HC>74-C^y5+C>6,)

所以x?了$的系數(shù)為-C：+2C：=24.

故答案為:24.

14.2

【分析】分尤21和0<x<l兩種情況，舍去切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切點(diǎn)坐標(biāo)，從而代

入y=-ex+a,求出答案.

lnx,x>1

【詳解】y=|liu|=

-Inx,0<x<1

當(dāng)時(shí)，y=Inx,yr=—,

x

設(shè)切點(diǎn)為(加,In加)，則切線斜率為0<1，故切線斜率不可能為Y,舍去，

m

當(dāng)0<x<l時(shí)，y=-inx,y',

X

設(shè)切點(diǎn)為(加,Tnzw),則切線斜率為令-，=-e

mm

解得a=5,則切點(diǎn)為g,l1,

將代入了=.ex+a中得，-ex|+a=l,

解得a=2.

故答案為：2

2兀

15.y(答案不唯一)

17

【分析】根據(jù)題目條件得到cos(a+夕)cos尸=%和sin(a+￡)sin/?=-：,從而求出

121

cosa=cos[(a+4)一=/—§=—§,進(jìn)而求出角二的值.

【詳解】cos(a+2/?)=cos[(a+￡)+〃]=cos(a+/?)cos"-sin(a+尸)sin萬(wàn),

5

故cos(a+/?)cos/?一sin(a+/?)sin/?

6

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

sin(a+￡)sin尸4

tan(a+/?)tan,=-4即

cos(a+尸)cosp

故sin(a+〃)sin〃=—4cos(a+〃)cos〃,

即

故5cos(a+/?)cos/3=—cos(a+/?)cos￡=:

6

則sin(a+尸)sin/=-4cos(a+/?)cos尸=——,

則cos<7=cos[(a+/?)-/?]=cos(a+〃)cos0+sin(a+/7)sin/3

_j__2

==,

632

—FA2兀

可令a.

2兀

故答案為：y

16.44

【分析】第一空求出拋物線焦點(diǎn)，直曲聯(lián)立，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義解出兩直線方程，求出

兩點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出距離；第二空設(shè)出/（￡,%）,8@4，乂），結(jié)合導(dǎo)數(shù)意義寫(xiě)出直線

方程，再求出點(diǎn)結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)|/耳，再由點(diǎn)到直線的距離求出力最

后求出面積的最小值.

所以0、+l=0np=2,所以拋物線C:/=4y,

當(dāng)。=1時(shí)，直線為x-y+1=0,

y+1—0

聯(lián)立<2A，解得12_4%-4=0,A=16+16=32>0,

[x=4y

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

%=2+2^2、x2=2-2yf2

解得：V或＜

/=3+20一%=3-2亞

所以線段月8的中點(diǎn)為N（2,3）,

又因?yàn)镵M=丁]=J6kBM=^^2=1+，

聯(lián)立直線方程可得

y-（3-2V2）=（1一拒,一

<

y_（3+2@=（l+①].一

解得N（2,T）,

所以|MV|=3+1=4.

設(shè)/@3，%）,8（匕/4）,

由X?=4了得y=,

,?^AM=~X3^BM=,4,

2

x1

A直線⑷1的方程為y-子=1x3(x-x3),

同理直線雙的方程為＞=;1一:看，②

fx2=4y

由，消歹得一一4ax-4=0,

[ax-y+l=0

x3+x4=4。,％3%4=-4，

由①-②得2X(X3-X4)=(X3-X4)(X3+X4),

而X3W%4，故有X=/=2a，

由①+②得2〉=一(%3+%4)、-丁,

n/nx7

即點(diǎn)M(2a,-1),

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

22

/.\AB\=yjl+a,J(%3+x4)-4X3X4

=J1+Q2.J16/+16，

點(diǎn)M（2a,T）至IJ直線依-y+1=0的距離d=竿萼

71+a

12a幺+2|3

?q=.d=4jl+02.JI6a?+16?￥~~=J4a?+4〔2/+21=4年+甲,

…Q"BM

211271W11V'

■：a2>0,

當(dāng)”=o,即。=0時(shí)，S4/BM有最小值4.

故答案為：4；4.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，再用交點(diǎn)到直線的距離求出比

17.(\)an=n+\(neN*)

(2)4968

[分析X1）計(jì)算出出=3,將兩式an+l+a“+2=2〃+5和a“+a?+1=2n+3做差，得出關(guān)于an+2,an

的隔項(xiàng)關(guān)系式，判斷該數(shù)列所具有的性質(zhì)，求得通項(xiàng)即可；

5

（2）由于lgl0=l,lgl00=2,lgl000=3,.......,給出“當(dāng)IV"V8時(shí)，bn=[lg（n+1）]=0............

等結(jié)論，分組計(jì)算數(shù)列｛勾｝的前2024項(xiàng)和即可.

【詳解】（1）因?yàn)?=2,?[+a2=5,所以出=3,

因?yàn)?+a,+i=2n+3,所以an+l+an+2=2〃+5,

將兩式。"+1+。"+2=2〃+5和°"+<7"+]=2〃+3相減，得:an+2-an=2,

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別單獨(dú)構(gòu)成等差數(shù)列.

下面顯而易見(jiàn)：

其中當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，由于。〃+2-。〃=2,得：%=2,%—%=2,.......,且4=2,說(shuō)明

數(shù)列｛與｝的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)滿足以6=2為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則

an=%+(〃一l)d=2+(〃-1)=〃+1,

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

其中當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，由于%+2一%=2,得：a4—a2=2,a6—a4=2,...,且4=3,說(shuō)明

數(shù)列｛〃〃｝的偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)滿足以4-1=2為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，

則%=(%—1)+(〃—1)?！?3—1)+(H—1)=〃+1

所以%=n+l(neN*).

(2)設(shè)｛￡｝的前"項(xiàng)和為年*

當(dāng)時(shí)，bn=[lg(?+l)]=O,

當(dāng)9V〃W98時(shí)，bn=[lg(M+l)]=l,

當(dāng)99V〃V998時(shí)，bn=[lg(?+1)]=2,

當(dāng)999V〃V2024時(shí)，bn=[lg(?+1)]=3,

所以加4=8x0+90x1+900x2+1026x3=4968.

13

18.(1)概率分布見(jiàn)解析，—

【分析】（1）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,求得相應(yīng)的概率，列出分布

列，結(jié)合期望的公式，即可求解；

（2）設(shè)“甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功”為事件5,分別求得尸（8）,尸（凡8），結(jié)合條件概率的公式，即可

求解.

【詳解】（1）解：記“第i跳過(guò)該高度”分別為事件4,，=1,2,3,可得隨機(jī)變量X的可能取值

為1,2,3,貝l]P（X=l）=尸（4）=g；P（X=2）=P（74）=（1-|）X|=|：

P（X=3）=尸（不）=（1-于=；,

所以隨機(jī)變量X的概率分布為

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

所以，期望為E（X）=lx,7+2xg?+3x,1=1?

（2）解：“甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功”為事件8,

則尸（3）=1-玖444）=1一（1^丫=||;

——222

p（"）=尸（44）=P（4*⑷=（1-^-=

所以p（ai8）=4^=2,所以甲挑戰(zhàn)成功，且第二次跳過(guò)該高度的概率［.

尸屹）1313

19.（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先由//CD證C。〃平面尸48,再由CD_L取和CD_L4D證CD_L平面尸，

即可得到CD1PD；

（2）先建立空間直角坐標(biāo)系。-刈z,分別求出直線尸。的方向向量和平面。的法向量，求

解即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅?BCD是矩形，所以N3〃CD.

又/8u平面P48,CD（XPAB,SLABUCD.

所以CD〃平面尸48.

因?yàn)镃Ouc,平面尸/8ca=MV,且CD〃平面尸N瓦

所以CDHMN,且"V_LP/,所以C￡>_LE4.

因?yàn)樗倪呅?BCD為矩形，所以CD，40,

又尸4u平面P4D,40u平面P4D,且尸/c4D=N,CDVPA,CDVAD,

所以CD_L平面P4D,且PDu平面尸

所以CD_LPD.

（2）設(shè)中點(diǎn)分別為。E,

因?yàn)锳P4D是等邊三角形，所以尸0_L4D.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，點(diǎn)O,E分別為AD,BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)E_LQD,旦OEHCD.

由（1）可知，。_1平面己4。，

又尸Ou平面P/D,所以CD_LPO,所以O(shè)E.PO.

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

以。為原點(diǎn)，瓦，歷，礪的方向分別為X軸，了軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

則尸(0,0,6),3(1,-1,0),c(l,l,o),z)(o,l,o).

設(shè)PAf=2PB(0<4V1),貝!JPA/=(4—尢一),所以M(尢一尢—).

設(shè)平面a的一個(gè)法向量為J=(x,%2),

又麗=（一1,0,0）,可=卜一1,/一1,百年；1）,PC=（1,1,用,

而k=0,-x=0

由，_.得.

CM-n^O,(A-l)x-(A+l)y+V3(l-A)z=0

不妨取z=2+l,可得平面a的一個(gè)法向量為元=（0,6-石44+1）.

設(shè)直線PC與平面a所成的角為0,

2A/3A

則sin。=|cosPC,n\=PC-n

HR25J；12-2+1

設(shè)"』

因?yàn)?<彳41,所以421,所以0</（彳）41,

Z

所以0<sin。W,

5

所以直線尸。與平面。所成角的正弦值的取值范圍為（o，W].

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

20.(1)證明見(jiàn)解析

13

(z2)—

14

【分析】(1)分別在和"CO中利用正弦定理表示出sin/A4￡>,sinND/C,代入已知

等式化簡(jiǎn)整理即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)cos乙4Z)8=-cos乙4QC,在△/助和A/CD利用余弦定理可整理得到/一^=2c?;

在中，利用余弦定理可得c=回,進(jìn)而得到。=，?，代入cos44DC中即可求得結(jié)

果.

smZBADBDsmB

【詳解】(1)證明：在△/助中，由正弦定理得：=sinZBAD=,

BDADAD

,.…口sinADACsmC.CDsmC

在△4CZ)中，由正弦定理得：-------------=--------=>sinADAC=------------，

CDADAD

abc

在中,

sinABACsinBsinC

-sinZBADsinACADBDsmBCDsinCBDsinABACCDsmABAC

所以——------+---------------------1--------=-----------F-----------

bcbADcADaADaAD

1(5￡>+CD)]]

3,

AD-aAD?a2AD2a

所以AD=—a.

21

(2)由CQ=25。，^CD=-a,BD=-a,

33

RD?+AD23—AR2?/72—Qr2

在△/助中，由余弦定理得：cos/4DB=-----------------------=-------；—,

2BD-AD2a2

五r+-ir+iN=十—工用彳目/)+CD~—AC"5a~-9b~

在△/(7/)中，由余弦定理得：cosZ.ADC=------------------------=--------—，

2ADCD4a2

2a2-9c25a2-9b2

?：AADB+AADC=\^°,:.cosZADB=-cosZADC,即：=-:，

2a14/

整理可得：a2-b2=2c\

在443C中，由余弦定理得：cos/=匯土￡二三=一走，則一二=一￡=一",

2bc22bc2b2

:.c=回,a2-b2=6b2,即0=療6,

5a2—9b?35b2-9b213

cos/ADC=

4/28〃-14

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

⑵*。

【分析】（1）利用給定條件，求出。/,c,即可得解；

（2）設(shè)出點(diǎn)G,H,M的坐標(biāo)及直線G”的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率

坐標(biāo)公式列式計(jì)算得解.

【詳解】（1）不妨設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。,0）,。＞0,漸近線方程為y=

a

a

由題意可得：＜be_2

yla2+b2

c2=a2+b2

解得a=b=2f

所以雙曲線C的方程為片一片=1.

44

（2）由題意直線G"的斜率不為0.

設(shè)直線GH方程為尤=my+t,

[22

-%---y--=11

由＜:447肖去尤得：(m2-l)j2+2mZy+?2-4=0,

x=my+t

m2—1^0

由產(chǎn)-4,得:(m2-l)(?2-4)<0.

<0

jn2-1

2m4

設(shè)G(X],"),"(X2，%),則乂+