機器學(xué)習(xí)與線性代數(shù)之間的關(guān)系分析綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u3823機器學(xué)習(xí)與線性代數(shù)之間的關(guān)系分析綜述 18851線性代數(shù)的基本概念 1216682.1預(yù)測輸出與實際結(jié)果的差異——損失函數(shù) 1317512.2雙變量分析——協(xié)方差 2326382.3主成分分析——特征向量 2268562.4奇異值分解 2284613總結(jié) 31線性代數(shù)的基本概念線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系表示數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有個未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。2機器學(xué)習(xí)中的線性代數(shù)基礎(chǔ)2.1預(yù)測輸出與實際結(jié)果的差異——損失函數(shù)范數(shù)包括向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，向量范數(shù)表征向量空間中向量的大小，矩陣范數(shù)表征矩陣引起變化的大小。一種非嚴密的解釋就是，對應(yīng)向量范數(shù)，向量空間中的向量都是有大小的，這個大小如何度量，就是用范數(shù)來度量的，L1范數(shù)也稱曼哈頓距離、最小絕對誤差等，它的定義如下：表示向量中非零元素的絕對值之和。使用L1范數(shù)可以度量兩個向量間的差異，如絕對誤差和：L2范數(shù)也稱歐幾里德距離，它的定義如下：表示向量距離原點的最短距離。L2也可以度量兩個向量間的差異，如平方差和：假設(shè)預(yù)測值存儲在向量P中，并且真實值存儲在向量E中。P-E是它們之間的差異。P-E的范數(shù)就是預(yù)測的總損失。2.2雙變量分析——協(xié)方差雙變量分析是數(shù)據(jù)探索中的重要一步。我們想研究變量對之間的關(guān)系。協(xié)方差或相關(guān)性是用于研究兩個連續(xù)變量之間關(guān)系的度量。協(xié)方差表示變量之間線性關(guān)系的方向。正協(xié)方差表示一個變量的增加或減少在另一個變量中同樣增加或減少。負協(xié)方差表明一個變量的增加或減少同時另一個變量與它相反。使用線性代數(shù)中轉(zhuǎn)置和矩陣乘法的概念，協(xié)方差矩陣可表達為：其中是包含所有數(shù)字特征的標準化數(shù)據(jù)矩陣。2.3主成分分析——特征向量主成分分析（PCA）是一種無監(jiān)督降維技術(shù)。PCA會找到最大方差的方向并沿著它們的投影以減小維度。這些方向就是數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的特征向量。方陣的特征向量是特殊的非零向量，即使在對矩陣應(yīng)用線性變換（乘法）之后，其方向也不會改變。設(shè)A是階矩陣，如果數(shù)和維非零向量使關(guān)系式成立。那么，這樣的數(shù)稱為矩陣A的特征值，非零向量稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量，2.4奇異值分解設(shè)的特征值為則稱為的奇異值：為零矩陣時，它的奇異值都是0.酉矩陣就是正交矩陣，也就是說都有這個性質(zhì)：設(shè)則存在階酉矩陣和階酉矩陣，使得其中而為矩陣的全部非零奇異值。3總結(jié)機器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)是建立在數(shù)學(xué)概念之上的，掌握理解數(shù)學(xué)知識對于算法構(gòu)建和數(shù)據(jù)處理有極大幫助。線性代數(shù)的研究包括向量及其操作。在機器學(xué)習(xí)中，各處可見線性代數(shù)的背影，如線性回歸，獨熱編碼，主成分分析PCA，推薦系統(tǒng)中的矩陣分解。機器學(xué)習(xí)中，很多情況下需要向量化處理，為此，掌握線性代數(shù)的知識至關(guān)重要。對于機器學(xué)習(xí)中典