專題4.2等差數(shù)列知識儲備知識點一等差數(shù)列的概念思考1給出以下三個數(shù)列：(1)0,5,10,15,20.(2)4,4,4,4，….(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.它們有什么共同的特征？【答案】從第2項起，每項與它的前一項的差是同一個常數(shù).思考2你能從上面幾個具體例子中抽象出一般等差數(shù)列的定義嗎？【答案】如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可負可為零.知識點二等差中項的概念思考1觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.【答案】插入的數(shù)分別為3,2，eq\f(a＋b,2)，0.思考2如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項，試用x，y表示A.【答案】∵x，A，y組成等差數(shù)列，∴A－x＝y(tǒng)－A，∴2A＝x＋y，∴A＝eq\f(x＋y,2).知識點三等差數(shù)列的通項公式思考1對于等差數(shù)列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋d＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋d＝a1＋3×2.試猜想an＝a1＋()×2.【答案】n－1思考2若一個等差數(shù)列{an}，首項是a1，公差為d，你能用a1和d表示an嗎？【答案】an＝a1＋(n－1)d.知識點四等差數(shù)列通項公式的推廣思考1已知等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d能表示出通項an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m項am和公差d，又如何表示通項an?【答案】設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，則am＝a1＋(m－1)d，變形得a1＝am－(m－1)d，則an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.思考2由思考1可得d＝eq\f(an－a1,n－1)，d＝eq\f(an－am,n－m)，你能聯(lián)系直線的斜率解釋一下這兩個式子的幾何意義嗎？【答案】等差數(shù)列通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d)，其圖象為一條直線上孤立的一系列點，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是這條直線上的點.d為直線的斜率，故兩點(1，a1)，(n，an)連線的斜率d＝eq\f(an－a1,n－1).當兩點為(n，an)，(m，am)時，有d＝eq\f(an－am,n－m).知識點五等差數(shù)列的性質(zhì)思考1還記得高斯怎么計算1＋2＋3＋…＋100的嗎？【答案】利用1＋100＝2＋99＝….思考2推廣到一般的等差數(shù)列，你有什么猜想？【答案】在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….注意到上式中的序號1＋n＝2＋(n－1)＝…，有：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.知識點六由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列思考利用等差數(shù)列的定義，嘗試證明下列結(jié)論：若{an}、{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))此處以{an＋an＋k}為例.(an＋1＋an＋k＋1)－(an＋an＋k)＝an＋1－an＋an＋k＋1－an＋k＝2d.∴{an＋an＋k}是公差為2d的等差數(shù)列.能力檢測注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于()A．9 B．10C．11 D．122．數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．13．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S200等于()A．100 B．101C．200 D．2014．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－4n＋2，則|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15 B．35C．66 D．1005．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達到最大值的n是()A．18 B．19C．20 D．216.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3 B．4C．5 D．67．現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成一個正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為()A．9 B．10C．19 D．298．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為()A．15 B．24C．18 D．28二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，則()A．a(chǎn)6>0B．－<d<－3C．Sn<0時，n的最小值為13D．數(shù)列中最小項為第7項10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＝a4，則()A．a(chǎn)1＋a3＝0 B．a(chǎn)3＋a5＝0C．S3＝S4 D．S4＝S511．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選項正確的是（）A． B．C．當時最小 D．時的最小值為12．在等差數(shù)列中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.若是數(shù)列的項，則k的值可能為（）A．1 B．3 C．5 D．7三、填空題13．已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，則S9－S6＝________.14．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k＝________.15．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，則使前n項和Sn<0的最大自然數(shù)n是________．16.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項和為Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________；(2)若bn＝(c為非零常數(shù))，且數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，則c＝________.四、解答題17．若等差數(shù)列{an}的首項a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.18．在等差數(shù)列{an}中，a10＝23，a25＝－22.(1)數(shù)列{an}前多少項和最大？(2)求{|an|}的前n項和Sn.19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并畫出{Sn}(1≤n≤13)的圖象；(2)分別求{Sn}單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的n的取值范圍，并求{Sn}的最大(或最小)的項；(3){Sn}有多少項大于零？20．已知等差數(shù)列{an}