2024屆青海省海北市數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和為S,,4〉0,公差為d,%+%〉°，的<0,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.d<0B.當(dāng)〃=8時(shí)，S,取得最大值

C.[4+45+〃18<0D.使得S"〉0成立的最大自然數(shù)〃是15

22

2.如圖，耳、工分別為橢圓C：A+A=l（a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓。上的點(diǎn)，Q是線段P耳上靠近巴

ab

的三等分點(diǎn)，PQ8為正三角形，則橢圓。的離心率為（）

A.也B.苴

24

口D.五

35

3.已知直線方程為x+也y+7=0,則其傾斜角為（）

A.30°B.6O0

C.120°D.150°

4.已知向量0=（2,—1,3）出二（匕—2,1）,且〃與人互相垂直，則上=（）

11

A.一一B.—

22

55

C.一一D.-

22

5.已知點(diǎn)A（3,2）,B（-l,4）,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（2,5）且經(jīng)過(guò)線段A5的中點(diǎn)的直線方程為（）

A.2x+y-l=OB.2x-y-l=0

C.2x—y+1=0D.2x+y+l=0

22

6.已知拋物線E：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠恰為雙曲線。：二一與=1（?！?］〉0）的一個(gè)頂點(diǎn)，C的另一頂點(diǎn)為

ab

A,。與E在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為尸（4,m）,若|Pb|=5,則直線PA的斜率為（）

44

A.一一B.-

33

44

C.一一D.-

55

.22

7.已知橢圓工+工=1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

3616

A.9B.7

C.5D.3

22

8.已知橢圓C：j=l（a〉6〉0）的右焦點(diǎn)為尸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P,直線/:百x-y=O與橢圓相交于A、B兩

a2b2

點(diǎn).若|A耳+|3尸|=4,點(diǎn)P到直線/的距離不小于|,則橢圓C離心率的取值范圍為。

a-°4B.。］

j_4

D.4

9.某救援隊(duì)有5名隊(duì)員，其中有1名隊(duì)長(zhǎng)，1名副隊(duì)長(zhǎng)，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個(gè)行動(dòng)小組，其中一組2名隊(duì)員,

另一組3名隊(duì)員，則正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為（）

11

A.—B.—

102

32

C.一D.-

55

10.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/（x）的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象可能為（）

11.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至

少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()

11

B.——

2920

9

D.—

2029

12.已知點(diǎn)尸是圓C:x2+y2+2y=。上一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/：2x—y+4=0的距離的最大值為()

A.2B.^/5+2

C忑+1D.V5-1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知/(%)=兀3+3分2+〃％+片在1=_］時(shí)有極值0,則a+b的值為

14.過(guò)點(diǎn)M(2,—3)作圓C:d+y2=i3的切線，則切線的方程為

1

15.計(jì)算：^—=------

1=1乙

16.已知雙曲線”的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸.從以下三個(gè)條件中任選兩個(gè)條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線拉

的標(biāo)準(zhǔn)方程.①一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6,0)；③離心率為J5.你選擇的兩個(gè)條件是，得到的

雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=—+〃ln%.

x

(1)若/(%)在尤=2處取得極值，求在(1,2)處的切線方程;

(2)討論/(無(wú))的單調(diào)性;

(3)若函數(shù)f(x)在U,e]上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)分別求滿足下列條件的曲線方程

V2V21

(1)以橢圓工+匕=1的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為e=—的橢圓方程;

2592

(2)過(guò)點(diǎn)卜,6),且漸近線方程為y=±gx的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=3取2-]nx(aeR).

(1)證明：x>lnx；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且。2+%=12,S3=15

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若&=120,求左的值

21.(12分)如圖所示，在正方體ABC。—A4G，中，點(diǎn)E，F(xiàn),G分別是A3,BC,AG的中點(diǎn)

(1)證明：\EHFG.

(2)求直線AB】與平面EfU所成角的大小

22.(10分)已知數(shù)列｛?！埃凉M足」--H—^*1--1———n

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)d=(一1)”也—2,求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S,

I°n為+1J

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.

【題目詳解】因?yàn)榫W(wǎng)+。9〉0，%<0，

所以外〉0,則d<o,故A正確；

當(dāng)〃=8時(shí)，S”取得最大值，故B正確；

a4+a5+?18=3%+24d=3?9<0,故C正確；

因?yàn)?5=15%〉0,S[6=8(4+%)>0,S17=17a9<0,

所以使得S,〉0成立的最大自然數(shù)〃是16,故D錯(cuò)誤.

故選：D

2、D

【解題分析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到|尸娟\|尸鳥(niǎo)再在△尸片心中運(yùn)用余弦定理得到。、c的關(guān)系,

進(jìn)而求得橢圓的離心率

【題目詳解】由橢圓的定義知，|尸團(tuán)+|尸閭=2a,則萬(wàn)|尸口+|尸囚=2a,

因PQK為正三角形，所以歸囚=學(xué),歸用=當(dāng)

在△/)耳心中，由余弦定理得4c2=更“2+—a2-2x—x—xcos60°=—a~,

25255525

則e2=，-正，

255

故選：D

【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

3、D

【解題分析】由直線方程可得斜率左=-且，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.

3

【題目詳解】由題設(shè)，直線/斜率左=-走，若直線/的傾斜角為々，貝！Jtana=-3,

33

,/ae[0,兀），

/.a=——=150.

6

故選：D

4、C

【解題分析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.

【題目詳解】由a與匕互相垂直得10=（2,—1,3＞（左,一2,1）=2左+2+3=0,

解得左

2

故選：C.

5^C

【解題分析】求A8的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線所過(guò)的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程即可.

【題目詳解】由已知，A5中點(diǎn)為（1,3）,又C（2,5）,

...所求直線斜率為左="=2,故直線方程為y—3=2（x-1）,即2x—y+l=0

2-1

故選：C.

6、D

【解題分析】根據(jù)題意，列出P，區(qū)相的方程組，解得相M,再利用斜率公式即可求得結(jié)果.

【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€/=2內(nèi)（0〉0）的焦點(diǎn)由題可知g=a；

又點(diǎn)尸（4,間在拋物線上，故可得病=8。；又附J”言1+m2=5,

聯(lián)立方程組可得（4-駕+8p=25,整理得（°+18）（p—2）=0,解得夕=—18（舍）或2,

此時(shí)a=l,m=4,又P（4,加）,A（—a,0）,故直線"的斜率為金=g.

故選：D.

7、A

【解題分析】根據(jù)橢圓定義求得即可.

【題目詳解】由橢圓定義知，點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2X6?3=9.

故選：A

8、D

【解題分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，由題可得|AF|+忸尸|=忸司+忸/[=2a=4,由點(diǎn)尸到直線/的距離不小于可

得[?人<2,進(jìn)而可求c的范圍，即可得出離心率范圍.

【題目詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸'，尸為短軸的上端點(diǎn)，連接”'，BF',

\F\Aj-----'

如圖所示：由橢圓的對(duì)稱性可知，A,3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。4=。5,又OF=OF,

二四邊形AFBF'為平行四邊形，,AF=BF',

^\AF\+\BF\=\BF\+\BF'\=2a=4,解得;a=2,

點(diǎn)尸到直線/距離：解得：-<b<2,即戛J"2<2,

2555

8。(4一

0<c<—,:?e=—￡0,—?

5a\5_

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵是由橢圓定義得出"=2,再根據(jù)已知條件得出

-<b<2.

5

9、C

【解題分析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出答案.

【題目詳解】基本事件總數(shù)為=10

正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)為c\-c1=6

故正、副隊(duì)長(zhǎng)不在同一組的概率為3=].

故選：C.

10、D

【解題分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)/'（X）的正負(fù)，從而得到函數(shù)/'（X）的圖象.

【題目詳解】由函數(shù)y=/（x）的圖象可知,

當(dāng)xe（f,O）時(shí)，了（無(wú)）單調(diào)遞增，則/（x）＞。，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)xe（O,+8）時(shí)，〃尤）先增，再減，然后再增，則/'（X）先正，再負(fù)，然后再正，

所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函

數(shù)了（盼在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，/（%）＞0,則“尤）在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，則/（X）

在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).

11、B

【解題分析】由幾何概型公式求解即可.

40-1811

【題目詳解】紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為-------=一,

4020

故選:B

12、C

【解題分析】求出圓心到直線的距離，由這個(gè)距離加上半徑即得

【題目詳解】由圓C：/+y2+2y=0,可得圓心坐標(biāo)C（0,—1），半徑r=1，則圓心C到直線/的距離為=A/5,

所以點(diǎn)P到直線/的距離的最大值為百+1.

故選：C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、11

f/（-l）=0

【解題分析】由題知八，

J（-1）=0

且/'（X）=3%2+6ax+b,

-1+3ci+=0

所以《，，,

3—6〃+Z?—0

得。=1或a=2,

①當(dāng)a=l時(shí)，b=3,此時(shí)，

(x)=3x2+6x4-3=3(x+1)2>0,

所以函數(shù)單調(diào)遞增無(wú)極值，

舍去

②當(dāng)a=2時(shí)，b=9,此時(shí)r(x)=3x2+12x+9=3(x+l>(x+3),

尤=-1是函數(shù)的極值點(diǎn)，符合題意，

?*.a+b=ll

14、2%—31y_13=0

【解題分析】由已知可得點(diǎn)M在圓C上，則過(guò)拉作圓的切線與CM所在的直線垂直，求出斜率，進(jìn)而可得直線方程.

【題目詳解】由圓。：必+丁2=13得到圓心(7的坐標(biāo)為((),0),圓的半徑廠=垣，

而|CM|=百+㈠)?=而=廠

所以點(diǎn)M在圓C上，則過(guò)M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又M(2,-3),

3

得到CM所在直線的斜率為-大，

2

92

所以切線的斜率為則切線方程為：y=-(x-2)-3

即2%—3y—13—0

故答案為：2x-3y-13=0.

15、1

【解題分析】根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.

1

+22,17

【題目詳解】X—=^=1.

2

故答案為：1.

16、①.①②或①③或②③②.三一y2=i或目-21=1或￡—￡=i

32233

【解題分析】選①②，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)直接求解，選①③，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求出。即可得解，選②

③，可由頂點(diǎn)坐標(biāo)及離心率得出。，。，即可求解.

【題目詳解】選①②，由題意則。=2,。=百,

/.b1=c2—a2=1>

x2

???雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-y2=1,

3

V-2

故答案為：①②；—-y2=l,

3-

選①③，由題意，c=2,e=f=0,

a

a=y/2，

b2=c2—a2=29

22

「?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)-匕=1,

22

選②③，由題意知，=g,e=￡=Ji,

a

/.c=^6，

b2=c2—a2=39

二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4-4=1-

33

故答案為：①②；三一y2=i或①③；工—亡=i或②③；二一二=1.

3-2233

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)x+y—3—0?(2)見(jiàn)解析；(3)］—,+°°^-

【解題分析】(1)根據(jù)在x=2處取極值可得/'(2)=0,可求得。=1,驗(yàn)證可知滿足題意；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得

切線斜率，利用點(diǎn)斜式可求得切線方程；(2)求導(dǎo)后，分別在aVO和a>0兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到

/(%)的單調(diào)性;(3)根據(jù)/(%)在［1,e］上無(wú)零點(diǎn)可知/(%)在工e］上的最大值和最小值符號(hào)一致;分別在a<0,a>0

兩種情況下根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值，利用符號(hào)一致構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【題目詳解】(1)由題意得：/'(x)=—2+4=竺［2

XXX

2/7—9

/(X)在x=2處取極值/(2)=^—=0,解得：a=l

Ji

則當(dāng)xe(0,2)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增

.”=2為/(%)極小值點(diǎn)，a=l滿足題意二函數(shù)〃x)=—+lnx

X

當(dāng)％=1時(shí)，/(1)=2

由r(x)==得：k=f^=-i

X

??./(x)在(1,2)處的切線方程為:y-2=-(x-l),即:x+y—3=0

(2)由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+"),/'(x)=4?

①當(dāng)aVO時(shí)

若%>0,d%—2<0恒成立，d>0恒成立二/'(九)<0

???/(%)在(0,+。)內(nèi)單調(diào)遞減

②當(dāng)a>0時(shí)

22

由/(%)>0,公一2>0得：%>-；由得：0<x<-

.?"(尤)在，皆內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增

綜上所述：當(dāng)4<0時(shí)，”可在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，〃尤)在［0,3內(nèi)單調(diào)遞減，在［：,+co］內(nèi)單調(diào)

遞增

(3)①當(dāng)a<0時(shí)，/(%)在［1,4上單調(diào)遞減

9

f(X)在［1,e］上無(wú)零點(diǎn)，且/'(l)=2>0.?./■,)=工+°>0

(2'

ae—,0

Ie_

②當(dāng)a>0時(shí)

2

(i)若,W1,即aN2,則/(%)在［Le］上單調(diào)遞增

由/(1)=2>0,知符合題意

22

(ii)若即0<aW］,則/(%)在［l,e］上單調(diào)遞減

2

/(X)在［1,e］上無(wú)零點(diǎn)，且/(1)=2>0.?./,)=］+a>0

L2］

ae\0,—

29「2、一

(iii)若1<—<e,即一<。<2,則/(%)在1,一上單調(diào)遞減，在一,e上單調(diào)遞增

aeL^7-

/(l)=2>0,/(e)=|+?>0,/(x)而0=/fa+alnj>0

.，.2<a<2符合題意

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[,+s]

【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用問(wèn)題，涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、討論含參數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性、根據(jù)區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問(wèn)題.本題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類討論的方式，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判

斷出函數(shù)的單調(diào)性以及最值.

22

18、(1)—+^=1

2736

(2)—-/=1

4-

【解題分析】(1)由題意得出仇。的值后寫(xiě)橢圓方程

(2)待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解

【小問(wèn)1詳解】

22

土+匕=1的短軸頂點(diǎn)為(0,-3),(0,3),

259

二所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=3

一C1

又6=—=—,.??。=6./.b1=a2—c2=36—9=27

a2

22

所求橢圓方程為L(zhǎng)+2L=I

2736

【小問(wèn)2詳解】

12

根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=±-x,可設(shè)雙曲線的方程號(hào)-V=帆，

把卜,/)代入手―_/=/%得m=1.所以雙曲線的方程為9—y2=i

19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)0,1.

【解題分析】(1)令g(x)=x-Inx,求導(dǎo)得到函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(0,1),故g(x)2g⑴=1,

得到證明.

(2)/'(%)=竺二1,討論。V0和。>0兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到/解得答案.

X)

1Y—1

【題目詳解】(1)令g(x)=x—Inx,有5(x)=l——=一,令g'(x)>0可得X>1,

XX

故函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(0,1),g(%)Ng⑴=1,故有]>lnx.

/一、4X/、1ax2-1

(2)由/(jr)=ar——=------

xx

①當(dāng)〃40時(shí)，/(%)<0,此時(shí)函數(shù)/(%)的減區(qū)間為(0,+8),沒(méi)有增區(qū)間;

②當(dāng)a>0時(shí)，令—。)>。可得%>方=,

7a

,+8、,減區(qū)間為[o,7=]

此時(shí)函數(shù)Ax)的增區(qū)間為

若函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須〃>0且=—+]n4a<0,可得0<Q<L

2e

11

此時(shí)~j=>~r‘

7a7e

又由咱=￡+i>。，

當(dāng)x〉一時(shí)，由(1)有/(x)>—cix^—x=—x(av—2)>0,取=maxJ—,—產(chǎn)?時(shí),

a22[a

顯然有，當(dāng)f〉/時(shí)/⑺>0，

故函數(shù)Ax)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

20、(1)an=2n+l

(2)10

【解題分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛a,J的公差為d,利用已知建立方程組，解之可求得數(shù)列｛風(fēng)｝的通項(xiàng)公式;

⑵利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，化簡(jiǎn)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

2CL+3d=12

由已知〃2+〃3T2,83=15,得＜3%+3d=15,解得‘,貝！1%=2〃+1

a=2

小問(wèn)2詳解】

解：由（1）得?！?2〃+1,則S,=?+2；+1）左=左2+2左，

由S"=右+2左=120,得左=10或左=—12（舍去），所以人的值為10.

21、（1）證明見(jiàn)解析

【解題分析】（1）連接AC,可得M//4G,從而可證四邊形EPGA是平行四邊形，從而證明結(jié)論.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,所在直線為x,V,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線

面角.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，連接AC

在正方體ABCD—44G。]中，AC//A]G且AC=4G

因?yàn)镋,歹分別是AB,的中點(diǎn)，所以跖〃AC且所=^AC