2024年四川省成都八中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合A={xeZ[x2+2x-3<0},B={x\x>一1},則集合An8的元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知z=2—i,則z（z+i）的虛部是（）

A.2B.-2C.2/D.-2i

3.若雙曲線C蘭-出=1的焦距長為8,則該雙曲線的漸近線方程為（）

9m

A.y=土字尤B.y=C.y=D.y=±?x

（x+2y—5N0

4.設(shè)工，y滿足約束條件x-2y+3>0,則z=2x+y的最小值是（）

x-5<0

A.4B.5C.8D.9

5.已知a是第一象限角，滿足cos（?+a）=—1,則cos2a=（）

4，

A.—7B.一?二4C2.T4D.-74

252S2S2S

6.已知"，是直線，a,6是兩個互相垂直的平面，則“m〃a”是“zn.L?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件

7.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70,方差為75,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)

據(jù)時，其中得兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60,另一個錯將70記錄為90,在對錯誤得數(shù)據(jù)進(jìn)

行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為。方差為52,貝1]（）

A.x<70?52>75B.X>70，S2<75

C.x=70>S2>75D.x=7o，S2<75

8.2023年5月21日，中國羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分3：0

戰(zhàn)勝韓國隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能

站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

9.已知三梭錐P—48C的四個頂點(diǎn)均在同一個球面上，底面△4BC滿足B4=BC=，石，^ABC=p若該

三棱錐體積的最大值為3,則其外接球的體積為()

A.471B.87rC.ynD.167r

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級”=20xlg^,其中常數(shù)

Po(Po>0)是聽覺下限閾值，〃是實(shí)際聲壓，下表為不同聲源的聲壓級：已知在距離燃油汽車、混合動力汽

車、電動汽車10，”處測得實(shí)際聲壓分別為Pi，p2,p3,則()

聲源與聲源的距熟/m聲壓級"8

燃油汽車1060-90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

A.pi<3P3B.p2>lop1C.p3=lOOOpoD.P2WPiW100p2

11.將函數(shù)f(x)=cos(x+4)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?3>0),縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間

3勺

[0,爭上恰有兩個零點(diǎn)，且在[-也月上單調(diào)遞減，則/的取值范圍為()

A.白司B《4)C.[^,4]D.得,6]

12.函數(shù)f(x)=簿和g(x)=署有相同的最大值b,直線y=爪與兩曲線y=f(x)和y=g(x)恰好有三個交

點(diǎn)，從左到右三個交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為勺，右，x3,則下列說法正確的是()

I

①a=1；②b=；；③X+X3=2%2：-x3=X2.

A.???B.①②④C.①②③D.②?@

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(2Q—§6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

14.已知向量Q萬=5，\a+b\=8>則|G|=.

15.己知/?,是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)p(—2,2),過點(diǎn)/■,的直線/與C交于人，8兩點(diǎn)，”是線段A8

的中點(diǎn).若[4B|=2|PM|,則直線/的斜率k=

16.△/1BC的外心為。，三個內(nèi)角4,B,C所對■的邊分別為a,匕,,瓦f=ga(a—gc),b=4.則△4BC

面積的最大值為

三、解答題；本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

已知似“｝是遞增的等差數(shù)列，％=2,好=+8.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式：

a

(2)若氏=an+2?,求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和5n.

18.(本小題12分)

某地區(qū)對某次考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的A,8兩門學(xué)科成績作為樣本.將他們的A學(xué)科成

績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達(dá)到70分為良好.已知他們中8學(xué)科良好的有50人，兩門學(xué)

科均良好的有40人.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的

A學(xué)科良好與8學(xué)科良好有關(guān);

8學(xué)科R好8學(xué)科不夠良好合計(jì)

A學(xué)科良好

A學(xué)科不夠良好

合計(jì)

(2)用樣本頻率估計(jì)總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中A,8學(xué)科均良

好的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：K2其中M=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

2

P(K>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

頻率

1組—距

,—--

0.010

0.005

5060708090100分?jǐn)?shù)

19.(本小題12分)

如圖所小，在四棱銖P-48C0中，平面P48.L平面A8CD,四邊形ABC。是邊長為2的菱形，/.ABC=

120°,PB=1,PB1AB.

(1)求證：平面P801平面PAC-.

(2)求平面PA/)與平面P8c所成銳二面角的大小.

20.(本小題12分)

已知橢圓C：,+，=l(a>?>>0)的焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn)P(l,|).

(1)求橢圓C的方程；

(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為k(k豐0)的動直線/與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F

的定點(diǎn)T,使伊F|■\BT\=|BF|?|47|恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

21.(本小題12分)

己知函數(shù)f(匯)=ln(l+x)+acosx.

(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y=x+2,求實(shí)數(shù)a的值.

(2)在(1)的條件下，若g(x)=f(x)-擊，試探究g(x)在(-13)上零點(diǎn)的個數(shù).

22.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程

c

2+

為psiM。=acos0(a>0)，過點(diǎn)尸(-2,-4)的直線/的參數(shù)方程為12

c(t為參數(shù))，直線/與曲線

4+

2

C相交于A,B兩點(diǎn).

(圈)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程;

⑶若|P4|-|PB|=|4臼2,求a的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A={xeZ\x2+2x-3<0}={xeZ|-3<x<1]={-3,-2,-1,0,1).

：.AC\B=[-1,0,1),即集合An8的元素個數(shù)為3.

故選：C.

結(jié)合一元二次不等式求集合A,再利用集合的交集運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】4

【解析】【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，涉及到復(fù)數(shù)虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及共短復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】

解：因?yàn)閦=2-i.

則z(W+i)=?-()(2+i+i)=(2-0(2+2i)=4+2+2i=6+2i，

所以虛部為2,

故選：A.

3.【答案】D

【解析】解：由題意可知9+機(jī)=5)2nm=7,即c：[一<=1,

A.97

所以a=3,b=^7-又雙曲線的焦點(diǎn)在.i?軸上，

則該雙曲線的漸近線方程為y=±?x=±^x.

故選：D.

利用雙曲線的性質(zhì)計(jì)與即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示的陰影部

分，

z=2x+y可得y=-2x+z,則二表示直線y=-2x+z在y軸上

的截距，截距越小，z越小

由題意可得，當(dāng)y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時，z最小

Mt甑建軻得心力，此時Z=4.

故選：A.

作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=2x+y可得y=-2x+z,則z表示直線y=-2x+z在了釉上的截

距，截距越小，z越小，結(jié)合圖象可求［的最小值

本題主要考查了線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值的求解，解題的關(guān)鍵是明確z的幾何意義.

5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閍是笫一象限,

則:+a為第一象限用或第二象限角，且cosG+a)=—￡<0，

所以sin/+a)=Jl—cos2(j+a)=&,

由題意可得：cos2a-cos[2(：+a)-J]-sin2G+a)=2sin(^+a)cos(J+a)=—卷.

故選：B.

以;+a為整體，先求sing+a),再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基

礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由7na16=m〃a或mua.

；?“M/a”是“m」./?”的既不充分也不必要條件條件.

故選:D.

由m1(i,aJ.0=血〃0：或771ua.即可判斷出結(jié)論.

本題考查了空間位置關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，在收集這些數(shù)據(jù)時，其中得兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60,另一個

錯將70記錄為90.

由于因?yàn)?0+70=60+90.

則在更正數(shù)據(jù)之后，數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，

即平均數(shù)3=70，

不妨設(shè)其他48個數(shù)據(jù)依次為由,。2,…，a48，

2222

所以(4-70)+(a2-70)+■■-+948-70產(chǎn)+(60-70)+(90-70)=50x75.

2222

(%-70)2+(a2-70)2+…+(a48-70)+(80-70)+(70-70)=50xs,

W50(52-75)=100-400-100=-400<0,

解得S2<75

故選：D.

由題意，根據(jù)平均數(shù)與方差的定義再進(jìn)行求解即可.

本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的W算，注意平均數(shù)、方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意可知，當(dāng)丙站在左端時，有心=6種站法.

當(dāng)丙不站在左端時，有?掰咫=24種站法,

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，一共有6+24=30種不同的站法.

故選：C.

分丙站在左端和丙不站在左端兩種情況，結(jié)合排列組合知識求解即可.

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：?：BA=BC=&，^ABC=l，則△ABC是等腰直用三角形，

,-.AC為4A8C所在截面圓的宜徑，

取AC的中點(diǎn)D,則/)'為△ABC外接圓圓心，

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為0,

則OD.L平面AHC,

「底而AHC的面積為定值，

.?.當(dāng)P,。，。共線且P,。位于截面同一側(cè)時，棱錐的最大高度為P/),棱錐的體積最大,

則三極錐P-ABC的體枳V=|x|x/6xy/_6xPD=3,解得PD=3,

設(shè)外接球的半徑為/<，則OD=3-R,OC=R.

l

在^ABC\',AC==J"1)2+)2=2V3,

在AODC中，CD=^AC=73，

由勾股定理得：(3-R)2+3=R2,解得R=2.

???外接球的體枳V=?X23=挈.

故選：C.

根據(jù)給定條件，確定△48c外接圓圓心D,確定在三棱錐P-A8c的體積最大時外接球球心。與/X尸的

位置關(guān)系，再由勾股定理求出半徑，即可得體積.

本題考查球的體積計(jì)算問題，涉及球與三棱錐的關(guān)系，屬于中檔題.

9【答案】D

【解析】解：由題意得，60<201g^<90,

Po

所以lOOOpo<pi<102p'

50<201g"W60,

Po

所以io"oWP2WlOOOpo'

20]g"=4O,p3=lOOpo,故C錯誤：

即

則有3P3=3OOpo,

(j

因?yàn)?P3=300Po<lOOOpo<P1<102p>

可得Pl>3P3,故A錯誤;

因?yàn)?0%WP2WlOOOpo，lOOOpo<pt<102p-貝UlOOOOpoWlOp】M10學(xué)p，

所以P2<1000p0<lOOOOpo<lOp],故8錯誤;

95

,

Pi<102po=100x102Po<l00p2

所以P2三Pi￡100p2,故。正確.

故選：D.

根據(jù)題意,分別計(jì)算P1，P2的范圍以及P3的值，進(jìn)行運(yùn)算比較即可求解.

本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題，

11.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，將丫=(：。5(>+與)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬(3>0)倍，

縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=cos(a>x+等的圖象，

設(shè)g(x)=cos(3X+y)=sing-(cox+y)］=-sin(wx+看)，

在區(qū)間［0,爭上g(x)恰有兩個零點(diǎn)，且在［-芻為上單調(diào)遞減，

因?yàn)?3刀3］兀，所以［W3X+2w^可知2”W學(xué)7T+2V3萬，解得與W3<g

3663636I4

令T+2kHs3*+**+2時，kez,解得一算+皿+如，kez,

乙043(0O)3wco

令k=0,可得g(x)在［一券勺上單調(diào)遞減，所以［一總罰=［號忌］,

2n__三

可得五二一瓦，結(jié)合3>0，解得0<3弓4.

-->-

.3一12

綜上所述，y<W<4,即3的取值范圍是［4,4］.

故選：C.

先由三角函數(shù)圖象變換，得到g(x)=cos(3x+3在區(qū)間［0,豹上恰有兩個零點(diǎn)，口在［-《總上單調(diào)遞

減，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，建立關(guān)于3的不等式，解出川的取值范圍.

本題主要考查了函數(shù)圖象的變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于

中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：由函數(shù)〃切=能和g(x)=普得，/V)=與2g'(x)=在，

當(dāng)￡>0時，當(dāng)xe(-8,l)時,/'(*)>0,/'(X)在(-8,1)上弟調(diào)遞增,

當(dāng)x6(1,+8)時，［(X)<0,在(1,+8)單調(diào)遞減：

當(dāng)Xe(0,e)時，g'(x)>0,g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)“e(e,+8)時，g'(x}<0,在(e,+8)上單調(diào)遞減.

Tf(x)與g(x)有相同的最大值，；./■⑴=g(e),即*看

a=1,b=

e

當(dāng)a<。時，當(dāng)x>1時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x<1時，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)X=1時，函數(shù)/"(X)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

當(dāng)a<0時，當(dāng)x>e時，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<e時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=e時，函數(shù)g(x)有最小值，沒有最大值，不符合題意，

所以①②正確.

兩個函數(shù)圖象如圖所示：

由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線y=ni經(jīng)過點(diǎn)M時，此時直線

y=ni與兩曲線y=/(x)和y=g(x)恰好有三個交點(diǎn)，

不妨設(shè)0<A<1<X2<e<X3,

且缶=釜=詈=**

由冷=野=蟋二門足不)，又Xi<1,lnx2<

Ine=1,

又當(dāng)x<1時,/(%)單調(diào)遞增，所以七=lnx2?

又盍=詈=需=/(*2)=/(In/),又不>1,lnx3>Ine=1.

乂當(dāng)x>1時,/(x)單調(diào)遞減，所以=lnx3,

X3_h兇_%2_1

x2-hix2lnx2-？n，

鋁藏。，于是畸咤"向=若，所以④正確，

如果無］+工3=2工2，則上2=所以工1%3=(%上)2，(七一巧>=0，右=%，

與0V0V1<<已<小矛盾，所以不+必=2不錯誤，所以③借誤.

故選：B.

先求導(dǎo)，對〃分兩種情況討論，求出函數(shù)的最大值即可判斷①②：由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線y=m經(jīng)

過點(diǎn)M時，此時直線y=m與兩曲線y=/(%)和y=g(x)恰好有三個交點(diǎn)，不妨設(shè)0<七<1<工2<。<

勺，再利用指數(shù)和對數(shù)恒等式證明?正確：再利用反證法判斷③的真假.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

13.【答案】240

【解析】解：由于.(2V1-1)6展開式的通項(xiàng)公式為：7>+1=C(2x；)6-r(-X-l)r6-3r

=匕（一1）「X26-rX~<

令與包=0,解得：r=2,

可得常數(shù)項(xiàng)為7=或(-1)2X2,=240,

故答案為：240.

由題意，利用二項(xiàng)式定理，求出通項(xiàng)公式，再令.1?的輪指數(shù)等于0,求得r的值，即可求得展開式中的常

數(shù)項(xiàng)的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】7

【解析】解：已知向量五=(2,—1),

則I五I=/22+(-1)2=/5,

X|a+b|=8.

即日2+2五-3+=64，

乂日d=5-

則于=49，

即日|=7

故答案為：7.

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的模的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【解析】解：方法一：由題意"(2,0),k手0,

設(shè)直線I：x=my+2,其中m=

聯(lián)立消去.1,得y2—8my—16=0,4>0,

設(shè)AQiJi)，8(外,力)，則%+72=8m,yxy2=-16，

乂[48|二2|PM|,則尸A1P8,即西?麗二0，

而而=(4+2,7]-2)，PB=(x2+2,為-2)，

則(必+2)(X2+2)+(%-2)(力-2)=0.

即(m%+2)(my2+2)+(力-2)(%—2)=0，

即(巾2+1)%%+(4m-2)(%+力)+20=0,

所以一16(7幾2+1)+8771(47九—2)+20=0,解得m=

所以々=工=2.

m

方法二：如圖，由題意，尸(2,0),點(diǎn)〃在準(zhǔn)線x=-2上，

設(shè)人，8,M在準(zhǔn)線上的射影分別是a,&,N,

則|A8|=\AF\+\BF\=\AA,\+|88i|=2\MN\=2\PM\,

所以

設(shè)A(%i，yi),8(x2,%)，I-x=my+2,

聯(lián)立2，消去M得P—8my-16=0,

所以％+y2=4=8mnm=；,所以k='=2.

故答案為：2.

方法一：設(shè)直線/：x=my+2,設(shè)A(xi，%),B(x2,y2),聯(lián)立直線/與拋物線的方程求出力+丫2，%?

y2,由|A8|=2|PM|可得麗,麗=0,將韋達(dá)定理代入化簡即可得出答案：

方法二：設(shè)人，8,M在準(zhǔn)線上的射影分別是4,8i，N,由題意可得出PM〃x軸，設(shè)A(xi，%)，

S(x2,y2),/：x=my+2,聯(lián)立直線/與拋物線的方程可得力+以=4,解方程即可得出答案.

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

6【答案】12

【解析】解：設(shè)8C,的中點(diǎn)為M,「△ABC的外心為。，，OMJ.BC,則麗質(zhì)=6，

.-.AO-BC=Ad-BC+OMBC=(Ad+OM)■BC

=AM-BC=l(AB+AC)(AC-AB)=l(：b2-c2),

又,:AOBC=ga(a-|c)..?.|(b2-c2)=；a(a-|c),

整理得a2+c2_b2=|g

；.cos8=U±￡=f，則sin8=稱,

2nc5￡

又b=4,16=b2=a2+c2—|ac>2ac-|ac=|ac,得ac<40,

S=；acsin8<12.

故答案為：12.

由平面向量的數(shù)量枳結(jié)合已知可得a2+c2-b2=&ac，再由余弦定理求得C0S8,進(jìn)一步得到sinB,由余

?J

弦定理及基本不等式求得ac的最大值，則△4BC面積的最大值可求.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查三角形的解法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解:⑴解：?.?等差數(shù)列｛。"的公差為d,d>0,%=2,=a4+8.

(2+=2+3d+8,d2+d-6=(d+3)(d—2)=0=d=2,

an=%+(n-1)?d=2+(n—1)?2=2?i.

n2n

(2)bn=a”+2?=2n+2

24Zn

Sn=&+b2+...+bn=(2+2)+(4+2)+...+(2n+2)

=(2+4+6+…+2n)+(22+24+...+22n)

(2+2n)n4-(1-4n)

=24.-

/4〃+l_4

=n(n+1)+工^—?

［解析】(1)利用等差數(shù)列的通頂公式求解即可；

(2))利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n頂和公式，分組求和即可.

本題考查了等差數(shù)列的前〃頂和公式和通頂公式，等比數(shù)列的前“頂和公式，分組求和，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得A學(xué)科良好的人數(shù)為100x(0.040+0.025+0.005)x10=

70,

所以2x2列聯(lián)表如下:

8學(xué)科良好B學(xué)科不夠良好合計(jì)

A學(xué)科良好403070

A學(xué)科不夠良好1()2030

合計(jì)5050100

假設(shè)%:A學(xué)科良好與8學(xué)科良好無關(guān),

此時八筆磊畿*顆生8>3.84］，

所以我們有95%把握認(rèn)為A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān):

(2)已知4,學(xué)科均良好的概率P=器=：，

易知X的所有可能取值為0,1,2,3,

此時P(X=0)=4x(|)。x(|尸=急，P(X=1)=屐x：x(|)2=急,

P(X=2)=耨x(§2x(|)i=哉，P(X=3)=喘x(§3*號)。=2，

則X的分布列為:

X0123

27

P54368

125125125125

所以E(X)=0x%+1x+2x■—+3x

1251251251255

【解析】(1)由題意，根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可得出4學(xué)科良好的人數(shù)，補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，代入公式求

出觀測值，將其與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而即可求解：

(2)先得到X的所有可能取值，求出相對應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的期望以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

19.【答案】解：(1)證明：?.,平面PAB.L平面ABC。，J^PABCi^ABCD=AB,且PB148,PBc?PAB,

PB.L平面ABCD,

ACu面ABCD,.1.AC1PB,

由菱形性質(zhì)知ACIB。，?.P8CBQ=8,

AC.L平面PBD,

又ACu平面PAC,.,.平面P8D.L平面PAC.

(2)如圖，設(shè)C。的中點(diǎn)為

CE=^CD=l.zfiCE=60",BC=2,■■BE1CE

BE1AB,

???平面P4B1平面ABC。，面P4BD面A8CD=AB,5.BELAB,BEc^iSABCD,

BE上面PAB,

又PB.LA8,所以PB,AB兩兩互相垂直，

所以以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BA、BP、BE為X、)，、z軸，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

py

可得B(0,0,0),4(2,0,0),P(O,1,O),C(_1,O,V3),0(1,0,C)，

設(shè)平面的一個法向量為沅=(x,y,z),而而=(-1,0,0存=(-2,1,0).

=°,得「：+Cz[0,取“=0，

=01-2工+y=0

得記=(/3,2^3,1).

設(shè)平面P8C的一個法向量為五=(a,b,c)，且前=(0,1,0),阮=(-1,0,0,

由伊.更=0,得FUC，取a=C，得"(C，0,1)，

設(shè)平面山。與平面P/3C所成銳二面角為。，則

3+1_1

COS0=Icos何，孫=黯

/3+12+lxf-2f

所以。=60。，故平面PAD與平面PBC所成銳二面角為60。.

【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證4C_LPB,再根據(jù)題意，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)

果；

(2)根據(jù)題意可建立以點(diǎn)8為原點(diǎn)，以直線8A、BP、BE為X、義工軸的空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量

法，即可求出二面角的大小.

本題考查了面面垂直的證明和空間二面角的計(jì)算，屬于中檔題.

20.【答案】解：由橢圓C的焦距為2,故c=l,則。2=。2—1,

又由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(l,|),代入C得?+言=1,得。2=4,肥=3,

所以橢圓C的方程為：￥+?=1.

(2)根據(jù)題意，直線/的斜率顯然不為零，令旨m

由橢圓右焦點(diǎn)F(l,0),故可設(shè)直線的方程為x=my+1,

與C：aq=1聯(lián)立得，(3?n2+4)y2+6iny—9=0,

則4=36m2—4(-9)(3m2+4)=144(m2+1)>0?

—6〃2—9

設(shè)A(XQi),8(X2，y2)，yi+力=莉彳/加=布西7

設(shè)存在點(diǎn)7；設(shè)7'點(diǎn)坐標(biāo)為什,0),

由|AF|-\HT\=\HF\-\AT\,得耨=瑞，

又因?yàn)榈?%膽=殉刖sinRF_附|sinUTF

'1幽S&TFR一新7'|即IsinMTF—|8T|sin，8TF'

所以sin4ATF=sin^BTF,乙ATF=乙BTF,

所以直線TA和TH關(guān)于K軸對稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有的7+kBT=0,

則：如+kBT=+含=0,所以%(丫2-t)+為(匕-0=0，

所以必(m%+1-t)+V2(myi+1-t)=0,2myxy2+(1-t)(7i+y2)=0,

即+H—。即^i+(l-C)^TZ=°，

3m」+43nlz+43/rr+4