湖南省邵陽市2024屆高三上學(xué)期1月第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合A={x∣x=3n+1，n∈N}，A．1 B．2 C．3 D．42．若i(1+z)=1（i為虛數(shù)單位），則z+zA．-2 B．-1 C．1 D．23．命題“?x∈R，A．?x∈R，x2C．?x∈R，x24．若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(3A．34 B．43 C．235．城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會(huì)要在原定排好的10個(gè)“本土歌舞”節(jié)目中增加2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目.若保持原來10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）A．110 B．144 C．132 D．1566．已知向量a=(t，2)，b=(2，?1).若A．52 B．?52 C．37．在某次美術(shù)專業(yè)測(cè)試中，若甲?乙?丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.A．1529 B．78 C．588．已知a=10lg4，A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>b>a二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知平面直角坐標(biāo)系中，M(?2，0)，N(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足|PM|=2|PN|，點(diǎn)A．曲線C的方程為(x?6)2C．曲線C的方程為(x+6)210．下列命題中，說法正確的有（）A．設(shè)隨機(jī)變量X～B(10，1B．成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)r越接近于1C．決定系數(shù)R2D．基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2?xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<11．已知函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x)?x與g(1?2x)均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有（）A．f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱 B．f(x)x關(guān)于點(diǎn)(0C．g(x+2)+g(x)=2 D．f(0)=112．如圖所示，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，AB=3，BC=4，半圓面APD⊥平面ABCD.點(diǎn)P為半圓弧AD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A．三棱錐P?ABD的四個(gè)面都是直角三角形B．三棱錐P?ABD體積的最大值為4C．異面直線PA與BC的距離的取值范圍為[4D．當(dāng)直線PB與平面ABCD所成角最大時(shí)，平面PAB截四棱錐P?ABCD外接球的截面面積為15π三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，an14．已知(1+x)8=15．已知3sinφ?3cosφ=2sinα，16．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們的離心率分別為e1，e2，點(diǎn)P為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17．甲?乙?丙三名同學(xué)準(zhǔn)備參加本校知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定比賽成績(jī)達(dá)到90分以上（含90分）獲優(yōu)秀等級(jí).為預(yù)測(cè)他們的知識(shí)競(jìng)賽情況，收集了甲?乙?丙三人在學(xué)校的以往知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)，整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：分）：甲：86，乙：88，丙：96，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲?乙?丙的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲在本次知識(shí)競(jìng)賽中未獲優(yōu)秀等級(jí)的概率；（2）設(shè)X表示甲?乙?丙三人在本次知識(shí)競(jìng)賽中獲得優(yōu)秀等級(jí)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX.18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，（1）求證：tanB=3tanA；（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使得|DA|=|DB|.當(dāng)∠DAC最大時(shí)，求tanD的值.19．如圖所示，圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為4cm和6cm，（1）求證：A1（2）截面ABB1A1與下底面所成的夾角大小為60°，且截面截得圓臺(tái)上底面圓的劣弧20．已知遞增的等差數(shù)列{an}(n∈（1）求數(shù)列{a（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn=S21．已知橢圓C：x2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖所示，點(diǎn)A是橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)(6，0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且都在x軸的上方，點(diǎn)P的坐標(biāo)為22．已知函數(shù)f(x)=3lnx+ax（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)a=12時(shí)，方程f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別記為①求b的取值范圍；②證明|x

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】A,B10．【答案】C,D11．【答案】B,C12．【答案】A,B,D13．【答案】8114．【答案】12915．【答案】016．【答案】5+517．【答案】（1）解：甲在以往參加的10次知識(shí)競(jìng)賽中有4次成績(jī)獲得優(yōu)秀等級(jí).記事件A為“甲在本次知識(shí)競(jìng)賽中獲得優(yōu)秀等級(jí)”，則P(A)=4所以甲在本次知識(shí)競(jìng)賽中未獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為1?P(A)=（2）解：X的所有可能取值為0，記事件B為“乙在本次知識(shí)競(jìng)賽中獲得優(yōu)勝等級(jí)”，事件C為“丙在本次知識(shí)競(jìng)賽中獲得優(yōu)勝等級(jí)”，則P(B)=36=則P=(1?=P==P==P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=∴EX=0×318．【答案】（1）證明：∵m∴(c+b)(c?b)+(2a?b)(2∵b∴c即c=4acosB.再由正弦定理得：sinC=4sinAcosB（顯然B為銳角），結(jié)合sinC=sin(A+B)，得：sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosB.即cosAsinB=3sinAcosB（顯然A為銳角）.所以tanB=3tanA（2）解：如圖：設(shè)∠BAC=α(0<α<π2)因?yàn)锳D=BD，所以B=∠BAD=α+∠CAD，∴∠CAD=B?α.故tan∠CAD=tan(B?α)==當(dāng)且僅當(dāng)1tanα=3tanα，即此時(shí)tanB=3，B=π19．【答案】（1）證明：∵圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.∴母線AA1與母線∴A，∵圓面O1∥圓面O，且平面ABB1A1∩∴A（2）解：解法一：∵劣弧A1B1的長(zhǎng)度為8π3，∴∠A1O則A(6，則AA1=(?2向量為n1?2x+tz=0，?9x+33y=0.底面的一個(gè)法向量n2因?yàn)榻孛媾c下底面所成的夾角大小為60所以cos60即|OO∴BB∵在等腰梯形ABB1A∴等腰梯形ABB1A∴S解法二：如圖，分別取AB，A1B1的中點(diǎn)為C，C1，連結(jié)O1過點(diǎn)C1作C1D⊥OC由O1C1∴|CC∴S20．【答案】（1）解：設(shè)an由題意得3a4=21，a∴（2）解：由（1）可得Sn則bn=可得：12T①-②可得：12設(shè)Kn=12K③-④可得：12∴21．【答案】（1）解：依題意得2b=2解得a=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：∵直線l過點(diǎn)(6，0)，與橢圓C：x2∴直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為y=k(x?6)，聯(lián)立方程y=k(x?6)，x2設(shè)E(x1，又P(=k?=k?∴k∵k∴∠APE=∠OPF.22．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，又a>0，令f'(x)=0，得當(dāng)Δ?0，即a?23時(shí)，2ax2?4x+3?0當(dāng)Δ>0，即0<a<23時(shí)，方程2ax當(dāng)x∈(0，x1)和(x2，綜上：當(dāng)a?23時(shí)，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<23時(shí)，f(x)在（2）解：當(dāng)a=12時(shí)，①方程f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程?b=3lnx+12x2?4x在(0令g'(x)=0，求得：x=1或x=3，則g(x)在(0，1)和(3，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，3ln3?152<?b<?②證明：設(shè)方程f(x)=0三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為：x1，x2，x3，且x1<x2<x3，由①可得0<x1<1<且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)→?∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞.由f(x構(gòu)造函數(shù)?(x)=f(x)?f(2?x)(?