52.動態(tài)探究問題代碼中考題及解析5201（2020衡陽）如圖1，在平面直角坐標系中，?ABCD在第一象限，且BC∥x軸．直線y＝x從原點O出發(fā)沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被?ABCD截得的線段長度n與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖象如圖2所示．那么?ABCD的面積為（B）A．3 B．3 C．6 D．6【解析】選B．過點B作BM⊥AD于點M，分別過點B，D作直線y＝x的平行線，交AD點于E，如圖1所示，由圖象和題意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直線BE平行直線y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四邊形ABCD的面積是：AD?BM＝3×＝3．5202（2020濰坊）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以點O為圓心，2為半徑的圓與OB交于點C，過點C作CD⊥OB交AB于點D，點P是邊OA上的動點．當PC+PD最小時，OP的長為（B）A． B． C．1 D．【解析】選B．如圖，延長CO交⊙O于點E，連接ED，交AO于點P，此時PC+PD的值最?。逤D⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴，即，解得，PO＝．5203（2020遼陽）如圖，射線AB和射線CB相交于點B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點D是射線CB上的動點（點D不與點C和點B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當點D在線段CB上，α＝90°時，請直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當點D在線段CB上，α＝120°時，請寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當α＝120°，tan∠DAB＝時，請直接寫出的值．解：（1）連接AC，如圖①所示，∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A，B，E，C四點共圓，∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，F(xiàn)H＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，F(xiàn)H＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分兩種情況：①當點D在線段CB上時，在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖②所示：由（2），得FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴＝；②當點D在線段CB的延長線上時，在射線AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖③所示：同①，得FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴＝；綜上所述，當α＝120°，tan∠DAB＝時，的值為或．5203（2020青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點C在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延長DC交EF于點M．點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點M出發(fā)，沿MF方向勻速運動，速度為1cm/s．過點P作GH⊥AB于點H，交CD于點G．設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：（1）當t為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點N，當四邊形PQNH為矩形時，求t的值；（3）連接QC，QH，設四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻t，使點P在∠AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵AB∥CD，∴，∴，∴CM＝，∵點M在線段CQ的垂直平分線上，∴CM＝MQ，∴1×t＝，∴t＝；（2）如圖1，過點Q作QN⊥AF于點N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，∴AC＝＝＝10cm，EF＝＝＝10cm，∵CE＝2cm，CM＝cm，∴EM＝＝＝，∵sin∠PAH＝sin∠CAB，∴，∴，∴PH＝t，同理可求QN＝6﹣t，∵四邊形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6﹣t＝t，∴t＝3；∴當t＝3時，四邊形PQNH為矩形；（3）如圖2，過點Q作QN⊥AF于點N，由（2）可知QN＝6﹣t，∵cos∠PAH＝cos∠CAB，∴，∴，∴AH＝t，∵四邊形QCGH的面積為S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S＝×6×（8﹣t+6+8﹣t+）﹣××[6﹣（6﹣t）]﹣×（6﹣t）（8﹣t+6）＝﹣t2+t+；（4）存在，理由如下：如圖3，連接PF，延長AC交EF于K，∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM＝×EC×CM＝×EM×CK，∴CK＝＝，∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK，∴t＝10﹣2t+，∴t＝，∴當t＝時，使點P在∠AFE的平分線上．5203（2020陜西）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）解：如圖，點P即為所求．5203（2020牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，點D，E在射線BA上，BD＝DE，過點E作EF∥BC，交射線CA于點F．請解答下列問題：（1）當點E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時，如圖①，求證：AE+BC＝CF；（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點M．）（2）當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，如圖②；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE＝2AE＝6，則CF＝．解：（1）如圖①，延長CD，F(xiàn)E交于點M．∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，即AE+BC＝CF；（2）當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，BC＝AE+CF，如圖②，延長CD，EF交于點M．由①同理可證△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①證明過程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，AE＝CF+BC．如圖③，延長CD交EF于點M，由上述證明過程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；（3）CF＝18或6，當DE＝2AE＝6時，圖①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；圖②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；圖③中，DE小于AE，故不存在．5203（2020連云港）（1）如圖1，點P為矩形ABCD對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于點E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面積為S1，△CFP的面積為S2，則S1+S2＝12；（2）如圖2，點P為?ABCD內(nèi)一點（點P不在BD上），點E、F、G、H分別為各邊的中點．設四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PFCG的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，點P為?ABCD內(nèi)一點（點P不在BD上），過點P作EF∥AD，HG∥AB，與各邊分別相交于點E、F、G、H．設四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PGCF的面積為S2（其中S2＞S1），求△PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（4）如圖4，點A、B、C、D把⊙O四等分．請你在圓內(nèi)選一點P（點P不在AC、BD上），設PB、PC、圍成的封閉圖形的面積為S1，PA、PD、圍成的封閉圖形的面積為S2，△PBD的面積為S3，△PAC的面積為S4，根據(jù)你選的點P的位置，直接寫出一個含有S1、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）．解：（1）如圖1中，過點P作PM⊥AD于M，交BC于N．∵四邊形ABCD是矩形，EF∥BC，∴四邊形AEPM，四邊形MPFD，四邊形BNPE，四邊形PNCF都是矩形，∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFC＝PF·CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD，∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，∴S1＝S2＝6，∴S1+S2＝12，（2）如圖2中，連接PA，PC，在△APB中，∵點E是AB的中點，∴可設S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，∴S四邊形AEPH+S四邊形PFCG＝a+b+c+d，S四邊形PEBF+S四邊形PHDG＝a+b+c+d，∴S四邊形AEPH+S四邊形PFCG＝S四邊形PEBF+S四邊形PHDG＝S1+S2，∴S△ABD＝S平行四邊形ABCD＝S1+S2，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．（3）如圖3中，由題意四邊形EBGP，四邊形HPFD都是平行四邊形，∴S四邊形EBGP＝2S△EBP，S四邊形HPFD＝2S△HPD，∴S△ABD＝S平行四邊形ABCD＝（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）＝（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）＝（S2﹣S1）．（4）如圖4﹣1中，結(jié)論：S2﹣S1＝S3+S4．理由：設線段PB，線段PA，AB圍成的封閉圖形的面積為x，線段PC，線段PD，弧CD的封閉圖形的面積為y．由題意，得S1+x+S4＝S1+y+S3，∴x﹣y＝S3﹣S4，∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．同法可證：圖4﹣2中，有結(jié)論：S1﹣S＝S3+S4．圖4﹣3中和圖4﹣4中，有結(jié)論：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．5203（2020無錫）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點E為邊CD上的一點（與C、D不重合），四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME，延長ME交AB于點P，記四邊形PADE的面積為S．（1）若DE＝，求S的值；（2）設DE＝x，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式．【解析】（1）當DE＝，∵AD＝1，∴tan∠AED＝，AE＝，∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE為等邊三角形，∴S＝×（）2+×1＝；（2）如圖，過點E作EF⊥AB于點F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，∴AP＝PE，設AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，則PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得a＝，∴S＝．5203（2020棗莊）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設M點的坐標為M（m，0），請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+4；（2）由拋物線的表達式知，點C（0，4），由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+4；設點M（m，0），則點P（m，﹣m2+m+4），點Q（m，﹣m+4），∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQsin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，故當m＝2時，PN有最大值為；（3）存在，理由：點A、C的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），則AC＝5，①當AC＝CQ時，過點Q作QE⊥y軸于點E，則CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去負值），故點Q（，）；②當AC＝AQ時，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故點Q（1，3）；③當CQ＝AQ時，則2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；綜上，點Q的坐標為（1，3）或（，）．5203（2020南充）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點K在AD上，連接BK，過點A，C作BK的垂線，垂足分別為M，N，點O是正方形ABCD的中心，連接OM，ON．（1）求證：AM＝BN．（2）請判定△OMN的形狀，并說明理由．（3）若點K在線段AD上運動（不包括端點），設AK＝x，△OMN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的范圍）；若點K在射線AD上運動，且△OMN的面積為，請直接寫出AK長．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；（2）△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如圖，連接OB，∵點O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形；（3）在Rt△ABK中，BK＝＝，∵S△ABK＝×AK×AB＝×BK×AM，∴AM＝＝，∴BN＝AM＝，∵cos∠ABK＝＝，∴BM＝＝，∴MN＝BM﹣BN＝∵S△OMN＝MN2＝，∴y＝（0＜x＜1）；當點K在線段AD上時，則＝，解得：x1＝3（不合題意舍去），x2＝，當點K在線段AD的延長線時，同理可求y＝（x＞1），∴＝，解得：x1＝3，x2＝（不合題意舍去），綜上所述：k的值為3或時，△OMN的面積為．5203（2020遂寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，直線BE交AD于點E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，求點E的坐標．（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），∴設拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的圖象經(jīng)過點C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴拋物線解析式為：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點M的坐標為（2，﹣2），∵拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關(guān)于x軸對稱，∴點N（2，2），設直線AN解析式為：y＝kx+b，由題意可得：，解得：，∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，聯(lián)立方程組得：，解得：，，∴點D（4，6），∴S△ABD＝×2×6＝6，設點E（m，2m﹣2），∵直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，∴m＝2或3，∴點E（2，2）或（3，4）；（3）若AD為平行四邊形的邊，∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴AD＝PQ，∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，∴點P坐標為（5，16）或（﹣1，16）；若AD為平行四邊形的對角線，∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴AD與PQ互相平分，∴，∴xP＝3，∴點P坐標為（3，0），綜上所述：當點P坐標為（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．5203（2020紹興）如圖1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，F(xiàn)G，BC的延長線相交于點O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）當α＝30°時，求點C′到直線OF的距離．（2）在圖1中，取A′B′的中點P，連結(jié)C′P，如圖2．①當C′P與矩形DEFG的一條邊平行時，求點C′到直線DE的距離．②當線段A′P與矩形DEFG的邊有且只有一個交點時，求該交點到直線DG的距離的取值范圍．【解析】（1）如圖1中，過點C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O＝α＝30°，∴C′H＝C′O?cos30°＝2，∴點C′到直線OF的距離為2．（2）①如圖2中，當C′P∥OF時，過點C′作C′M⊥OF于M．∵C′P∥OF，∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′＝4，∴C′M＝2，∴點C′到直線DE的距離為2﹣2．如圖3中，當C′P∥DG時，過點C′作C′N⊥FG于N．同法可證△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N＝2，∴點C′到直線DE的距離為2+2．②設d為所求的距離．第一種情形：如圖4中，當點A′落在DE上時，連接OA′，延長ED交OC于M．∵OA′＝2，OM＝2，∠OMA′＝90°，∴A′M＝＝＝4，∴A′D＝2，即d＝2，如圖5中，當點P落在DE上時，連接OP，過點P作PQ⊥C′B′于Q．∵PQ＝1，OQ＝5，∴OP＝＝，∴PM＝＝，∴PD＝﹣2，∴d＝﹣2，∴2≤d≤﹣2．第二種情形：當A′P與FG相交，不與EF相交時，當點A′在FG上時，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2，如圖6中，當點P落在EF上時，設OF交A′B′于Q，過點P作PT⊥B′C′于T，過點P作PR∥OQ交OB′于R，連接OP．∵OP＝，OF＝5，∴FP＝＝＝1，∵OF＝OT，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），∴∠FOP＝∠TOP，∵PQ∥OQ，∴∠OPR＝∠POF，∴∠OPR＝∠POR，∴OR＝PR，∵PT2+TR2＝PR2，∴12+（5﹣PR）2＝PR2，∴PR＝2.6，RT＝2.4，∵△B′PR∽△B′QO，∴＝，∴＝，∴OQ＝，∴QG＝OQ﹣OG＝，即d＝∴2﹣2≤d＜，第三種情形：當A′P經(jīng)過點F時，如圖7中，顯然d＝3．綜上所述，2≤d≤﹣2或d＝3．（2020溫州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分別平分∠ADC，∠ABC，并交線段AB，CD于點E，F(xiàn)（點E，B不重合）．在線段BF上取點M，N（點M在BN之間），使BM＝2FN．當點P從點D勻速運動到點E時，點Q恰好從點M勻速運動到點N．記QN＝x，PD＝y(tǒng)，已知y＝x+12，當Q為BF中點時，y＝．（1）判斷DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．（2）求DE，BF的長．（3）若AD＝6．①當DP＝DF時，通過計算比較BE與BQ的大小關(guān)系．②連結(jié)PQ，當PQ所在直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個頂點時，求所有滿足條件的x的值．【解析】（1）DE與BF的位置關(guān)系為：DE∥BF，理由如下：如圖1所示：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，∵DE、BF分別平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC，∠ABF＝∠ABC，∴∠ADE+∠ABF＝×180°＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF；5203（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，令y＝0，得x＝10，∴MN＝10，把y＝代入y＝﹣x+12，解得：x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10﹣6＝4，∵Q是BF中點，∴FQ＝QB，∵BM＝2FN，∴FN+6＝4+2FN，解得：FN＝2，∴BM＝4，∴BF＝FN+MN+MB＝16；（3）①連接EM并延長交BC于點H，如圖2所示：∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，∴四邊形DFME是平行四邊形，∴DF＝EM，∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，∴∠DEA＝30°，∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，∴∠DFM＝∠DEM＝120°，∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MEB＝∠FBE＝30°，∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，∴MH＝BM＝2，∴EH＝4+2＝6，由勾股定理得：HB＝＝＝2，∴BE＝＝＝4，當DP＝DF時，﹣x+12＝4，解得：x＝，∴BQ＝14﹣x＝14﹣＝，∵＞4，∴BQ＞BE；②（Ⅰ）當PQ經(jīng)過點D時，如圖3所示：y＝0，則x＝10；（Ⅱ）當PQ經(jīng)過點C時，如圖4所示：∵BF＝16，∠FCB＝90°，∠CBF＝30°，∴CF＝BF＝8，∴CD＝8+4＝12，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP，∴＝，∴＝，解得：x＝；（Ⅲ）當PQ經(jīng)過點A時，如圖5所示：∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴＝，由勾股定理得：AE＝＝＝6，∴AB＝6+4＝10，∴＝，解得：x＝，由圖可知，PQ不可能過點B；綜上所述，當x＝10或x＝或x＝時，PQ所在的直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個頂點．5203（2020衡陽）如圖1，平面直角坐標系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點A在y的正半軸上，OA＝2，一動點E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達OB的中點停止．另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止．已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側(cè)，設運動的時間為t秒（t≥0）．（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；（2）設正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請問是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，取AC的中點D，連結(jié)OD，當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運動，到達點O停止運動．請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．【解析】（1）如圖1﹣1中，由題意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，當點H落在AC上時，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴點E的運動路程為1，∴t＝1時，點E落在AC上．（2）由題意，在E，F(xiàn)的運動過程中，開始正方形EFGH的邊長為1，∵正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，S＝，∴此時點F與O重合，已經(jīng)停止運動，如圖1﹣2中，重疊部分是五邊形OEKJG．由題意：（t﹣3）2﹣??（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍棄），∴滿足條件的t的值為．（3）如圖3﹣1中，當點M第一次落在EH上時，4t+t＝3，t＝當點M第一次落在FG上時，4t+t＝4，t＝，∴點M第一次落在正方