2024年宜荊荊隨恩高二3月聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題

命題學(xué)校：隨州一中審題學(xué)校：龍泉中學(xué)

考試時(shí)間：2024年3月19日下午15：0017：00試卷滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考

證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知等比數(shù)列｛4｝中，。2a3a4=8,4=16,則公比4=（）

A.-2B.2C.3D.2或一2

【答案】B

【解析】

【分析】由a2a3%=8,可得。；=8,解得%=2,再由每=16可得。3。/=16,根據(jù)4=2求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，42a3%=8，

所以%3=8,解得%=2,

又因?yàn)槊?16,即％4=16,解得2.

故選：B.

2.若兩條平行直線x—2y+加=0（加〉0）與x+〃y-3=0之間的距離是2岔，則加+〃=（）

A.5B.-15C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩直線平行可求出"的值，利用平行線間的距離公式可求出加的值，即可得出加+〃的值.

【詳解】因?yàn)橹本€x—2y+/〃=0(加〉0)與x+〃y—3=0平行，則〃=—2,

加+3-77

且這兩條直線間的距離為一^二2/5,解得加=7,故加+〃=7—2=5.

V5

故選：A.

3.。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為拋物線C:「=4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若同=4,則4尸。尸的面積為

A.72B.V3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程/=4x可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程設(shè)出尸(X/),由PG4以及拋物線

的定義列式可得x-(-1)=4,即x=3,再代入拋物線方程可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再由三角形的面積公式

S=g|川OF可得?

【詳解】由/=4x可得拋物線的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

如圖:過點(diǎn)尸作準(zhǔn)線x=-l的垂線，垂足為根據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4,

設(shè)P(x/),則x—(―1)=4,解得％=3,將x=3代入y2=4x可得y=±273,

所以△P。尸的面積為:|yH9E=；x2Gxl=百.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì),定義以及三角形的面積公式，關(guān)鍵是①利用拋物線的定義求尸點(diǎn)的坐

標(biāo);②利用。尸為三角形的底，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)的絕對值為高計(jì)算三角形的面積.屬中檔題.

4.如圖，在三棱錐O—48C中，^：OA=a,OB=b,OC=c,若彳"=屜，兩=2就，則加=()

A

1_12一1-1f2一

—a+—br——cB.—a——b+—c

263263

1-1f1-1-1f1-

C.—a——b——cD.—a+—b+—c

263263

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算求解.

【詳解】解：MN=BN-BM

1—.1—.2—■

=-OA+-OB--OC,

263

故選：A

5.若尸(3)滿足/+「=1,/。,2),3(1,4)則+忸司2最小值是()

A.22-6V10B.22-4^/10C.24-6^/10D.24-4^/10

【答案】D

【解析】

【分析】代入「(友田化簡可得|「聞2+|尸砰=24—4%—12%再設(shè)x=cos。，y=cos0,根據(jù)輔助角公

式求解即可.

［詳解］由題意，|「聞2+|必「=(x_l)2+(y_2/+(x_l)2+(y_4/

=2x~—4x+2y~—12y+22=24—4x—12y.

因?yàn)?+/=1,故可設(shè)x=cos。，y=smO,

則|尸20+|P5|2=24-4(cos6*+3sin6>)=24-4V10sin(6*+^>),其中tan。=；.

故當(dāng)sin(0+°)=1時(shí)\PA^+\PB^取小值24一4A/10.

故選：D

6.下列不等式中，對任意xe(O,+8)的恒成立的是()

A.e'>e(x+l)B.sinx>x

]/—x—1

C.ln(x+l)>x——x2D.InVx<----

''2x+1

【答案】C

【解析】

【分析】對于AB,取x=l即可推翻，對于D,取x=e?即可推翻，對于C,構(gòu)造函數(shù)

/(x)=ln(x+l)-x+|x2,(x>0),通過求導(dǎo)得其單調(diào)遞增，進(jìn)而有/(x)〉/(O)=O,由此即可判斷.

【詳解】對于AB,當(dāng)x=l時(shí)，e*2e(x+l)即e22e不成立，51111〉工即51111〉1不成立，AB錯(cuò)誤；

[2

對于C,令/(x)=ln(x+l)-x+—x',(x>0),則r(x)=」_—i+x='〉o,

V7x+1x+1

從而/(X)單調(diào)遞增，所以/(X)>/(0)=0,即對任意xe(O,+8),ln(x+l)2x—恒成立，c正確;

2-l

對于D,?。?e2,則此時(shí)lnr4~=lne=l〉工e一，D錯(cuò)誤

e2+l

故選：C.

22

7.已知片，鳥是橢圓。：斗+白=1伍〉6〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)可在。上，若使△兒陰名為直角三角形的

ab

點(diǎn)”有8個(gè)，則。的離心率的范圍是()

、fV2⑻

A.?B.口，2JD.I3'2J

7加

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)△〃耳鳥為直角三角形分三類討論，利用橢圓的對稱性可分析出以點(diǎn)耳、《和M為直角

頂點(diǎn)的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)；再利用余弦定理及判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù)的方法得出a<①；最后根據(jù)離心率

的求法及橢圓離心率的范圍即可求解.

△御月為直角三角形，可分為以下三類討論:

以點(diǎn)片為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)巴為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn).

由橢圓的對稱性可知：以點(diǎn)片為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)M有兩個(gè)；以點(diǎn)心為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)M有兩個(gè),

則要使△胸鳥為直角三角形的點(diǎn)M有8個(gè)，須使以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形有4個(gè).

由橢圓的對稱性可得在x軸上方有兩個(gè)點(diǎn)M滿足以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn).

1M四寸—陽聞2

則cosZFMF=二0,

l22MlM號

即|即用『即『+伽—町)2_(加)2=2孫12乂①乂孫k4@2-02)=0,

所以△=(—2x2a)?—4x2x4(/_c2)>0,解得/℃2即?！囱?

所以e=￡〉《Z,

a2

又因?yàn)闄E圓離心率e<l,

所以注<e<l.

2

故選：C.

8.已知函數(shù)/(x)=e「右，若不等式/("+l)+/(lnx)<0在(0,+”)上恒成立，則實(shí)數(shù)°的取值范圍

是()

(2、(2、

A.一一,+coB.(-1,+co)C.r,—一D.(-co,-l)

te/IeJ

【答案】D

【解析】

【分析】判斷函數(shù)/(x)=e=底的奇偶性以及單調(diào)性，從而將不等式/(G+l)+/(lnx)<0在(0,+。)

上恒成立，轉(zhuǎn)化為"+1<-原在(0,+。)上恒成立，參變分離，再結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最

小值，即可得答案.

【詳解】由于函數(shù)/(x)=e-e'定義域?yàn)镽,滿足/(—封=b—e'=—/(x),

得/(x)是奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù).

:/(ox+1)+/(Inx)<0在(0,+8)上恒成立,

f(^ax+l)<-f(lnx)=f(-Inx)在(0,+。)上恒成立，

InY1

ax+\<-Inx在(0,+℃))上恒成立，,a<-------在(0,+8)上恒成立.

X

./xlnx+1/八"、血

令g(x)=-------,xe(0,+oo),貝|g(x)=F，

JCJC

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(1,+“)上單調(diào)遞增，

.?.g(x)>g(l)=-l,.-.fit<-l,即a的取值范圍為(一8,-1),

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，再分離參數(shù)法借助導(dǎo)數(shù)求范圍.

二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分，有選錯(cuò)的得0分)

9.設(shè)｛%｝是公差為"的等差數(shù)列，S”為其前項(xiàng)的和，且SgVS]。，510=>512,則下列說法正確的是

()

A.d>0B.au=0C.514<S9D.Sw,又均為的最大

值

【答案】BCD

【解析】

【分析】由題意首先得用o=Eo—$9〉0,知=%—Eo=0,42=岳2-S”<0,結(jié)合已知可得d<0,進(jìn)

一步有%>。2>…>。10〉。11=0>。12>由此即可逐一判斷每個(gè)選項(xiàng).

【詳解】由題意[()二岳0—89>°Mu=Sn-510=O,￡Z12=Sn-Sn<0,

又｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，所以d<0,故A錯(cuò)B對；

從而為〉°2〉…〉/0〉用1=0〉42〉…，所以與，S]]均為S“的最大值，D對;

a

而Sl4-S9=?10+o11+/2+i3+44=5aH+5d=5d<0,所以S.<怎，C對.

故選：BCD.

10.有一個(gè)棱長為4的正四面體容器，。是P3的中點(diǎn)，￡是CD上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是

()

2

A.二面角尸-AB-C所成角的正弦值為§

TT

B.直線NE與網(wǎng)所成的角為一

2

C.△Z8E的周長最小值為4+后

D.如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球(全部進(jìn)入)，則小球半徑的最大值為逅

3

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,作出輔助線，由三線合一以及二面角的定義、余弦定理即可驗(yàn)算；對于B,證明可，面

CD4后,結(jié)合NEu面C"即可判斷；對于C,把AZCD沿著3展開使得它與平面5OC在同一個(gè)平面

內(nèi)，將問題轉(zhuǎn)換為牛吃草問題，結(jié)合解三角形知識即可判斷；對于D,等價(jià)于驗(yàn)算正四面體內(nèi)切球的半徑.

取48中點(diǎn)尸，連接。尸,小，因?yàn)檎拿骟w的四個(gè)面都是正三角形,

所以由三線合一可知CFLAB,PFLAB,CF=PF=4xsin600=2也，

而面CBNc面PR4=84,從而二面角P-AB-。所成角的平面角為NCFP,

…c12+12-161

在ACEP中，CF=PF=2&PC=4由余弦定理有cosNCFP=----?=----『=-,

2X2V3X2V33

從而sinNCEP=2也，故A錯(cuò)誤;

3

對于B,如圖所示,

BC

連接AD,CD,BE,AE,由于。為尸8中點(diǎn)，所以必_LJ_40,

又所以P8_L面CZ）/,

又NEu面0X4,所以P5J.4E,故B正確；

對于C,把AZCD沿著3展開使得它與平面HOC在同一個(gè)平面內(nèi)，連接43交3于點(diǎn)E,

則NE+3E的最小值即為（展開后的）Z3的長，由于/￡>=CD=28，AC=4,

CT>2+m—4c2

cos/ADC-

2CDAD2x273x2733

cosZADB=cos-+ZADC=-sinZADC=--

(2J3

（展開后的AB滿足）

AB2=BD-+AD2-2BD-ADcosNADB=22+(26『-2x2x24

C錯(cuò)誤;

對于D,如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為內(nèi)切球的半徑五，

設(shè)球心為。，取/C的中點(diǎn)連接BM,PM,過點(diǎn)尸作PE垂直于于點(diǎn)/，

則尸為的中心，點(diǎn)。在尸尸上，過點(diǎn)。作。NLPM于點(diǎn)N,

因?yàn)?2,48=4,所以BM=個(gè)AB?—AM?=打-2。=2址>，同理PM=2j3,

則旅=18加=無3，故PF￡P(guān)M2-MF2=迪,

333

設(shè)OF=ON=R,故OP=PF-OF=^--R，

3

ONOP

因?yàn)?PNOfPFM,所以——=——

FMPM

4V6_

即—產(chǎn)=~~—/=—，解得R=，D正確.

2V32V33

亍

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)換為牛吃草問題，由此即可順利得解.

lnx-x-2(x>0)

11.已知/(x)=<-辦「2二2(J。)’其圖像上能找到45兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱/、B為

函數(shù)>=/(x)的一對“友好點(diǎn)”，下列說法正確的是()

A.>=/(x)可能有三對“友好點(diǎn)”

B.若0<a<l,則歹=/(力有兩對“友好點(diǎn)”

C.若y=/(x)僅有一對“友好點(diǎn)”，則。<0

D,當(dāng).<0時(shí)，對任意的再>0,總是存在/<0使得/(七)+/(%)=0

【答案】BD

【解析】

【分析】不妨設(shè)x>0,/(X)存在友好點(diǎn)等價(jià)于方程?有實(shí)數(shù)根，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得其

X

單調(diào)性，畫出圖形，討論y=g(x)的圖象以及直線>=。的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況即可逐一判斷求解.

【詳解】若(X/)和(-X,一田互為友好點(diǎn)，不妨設(shè)x>0,

則lnx-x—2+(—ax?+2x+2)=0,即q=x+,

v7X

令g(x)=m，x〉0,則，/、[l+[x2.2x(x+lnx)；

X-g(x)=----------------------------=—3-------

?XJi

2

令/z(x)=l—x—21nx,則=——<0,

JC

所以力(x)單調(diào)遞減，注意到力⑴和g'(x)同號，且力⑴=0,

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(x)>0即g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時(shí)，/z(x)<0BPg,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

從而即可在同一平面直角坐標(biāo)系中作出j=g(x)的圖象以及直線^=a的圖象，如圖所示,

當(dāng)a>l時(shí)，y=/(x)不存在友好點(diǎn)，

當(dāng)。=1或a<0時(shí)，>=/(x)僅存在一對友好點(diǎn)，

當(dāng)0<°<1時(shí)，>=/(x)存在兩對友好點(diǎn)，

從而〉=/(x)不可能有三對“友好點(diǎn)”，

若>=/(x)僅有一對“友好點(diǎn)”，則。=1或。<0，故AC錯(cuò)，B對，

當(dāng).<0時(shí)，歹=/(x)僅存在一對友好點(diǎn)，即對任意的再>0,總是存在/<0使得/(石)+/(9)=0,D

對.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是將設(shè)x>0,/(X)存在友好點(diǎn)等價(jià)于方程。=巨少有實(shí)數(shù)根，由此即可通

x

過數(shù)形結(jié)合順利得解.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知正四棱臺ABCD-AXBXCXDX的上、下底面邊長分別為2和4,若側(cè)棱/4與底面/BCD所成的角為

45°,則該正四棱臺的體積為.

【答案】電1##型行

33

【解析】

【分析】作出輔助線，根據(jù)側(cè)棱與底面所成角的大小求出臺體的高，利用臺體體積公式求出答案.

【詳解】如圖，延長叫,5綜CG，。。］相交于點(diǎn)P,連接zc，4G，

過點(diǎn)p作p。，平面/BCD,交/c于點(diǎn)。，則平面4瓦。1，于點(diǎn)。一

且點(diǎn)a在4G上,

其中zc=4&,4ci=2收，過點(diǎn)4作于點(diǎn)尸，則。尸=401=血，

所以AF=OA—OF=2母—亞=亞，

因?yàn)閭?cè)棱Z4與底面/BCD所成的角為45。，所以N44F=45°,故AF=4F=C,

則該正四棱臺的體積為F=1（22+42+722X42）.V2=當(dāng)2.

3

13.已知曲線y=e'T-e在x=0的切線與曲線y=ln（x+加）只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為；

【答案】-

e

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得曲線了=d+1-e在x=0的切線方程為V=ex,結(jié)合直線

y=ex與＞=ln（x+加）相切求得切點(diǎn)尸d-加,-1）,代入切線方程，即可求解.

e

【詳解】由函數(shù)y=e'M—e,可得了=6m，所以4句=0且y'U）=e,

所以曲線^=d+1-e在x=0的切線方程為V=ex,

由函數(shù)J=ln（x+加）單調(diào)遞增，且xe（-加,+oo）,又y'=—-—,

x+m

結(jié)合對數(shù)型函數(shù)圖象，要使得切線V=ex與y=ln（x+加）只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則直線V=ex與〉=ln（x+加）相切，切點(diǎn)為尸（后,%）,可得------=e,解得/=-—m,

x0+me

則％=ln（g-加+加］=一1,所以切點(diǎn)為P（1一加,一1）,

將切點(diǎn)尸（工一掰,—1）代入直線可得ep—加）=一1,解得加=2.

eee

故…答案為：一2.

e

14.通過雙曲線的學(xué)習(xí)，我們知道函數(shù)＞='的圖象是“等軸雙曲線”，其離心率為行，經(jīng)深入研究發(fā)現(xiàn)函

6/、x1

數(shù)歹="+嚏（仍＞0）的圖象也是雙曲線，且直線*=0和＞="是它的漸近線，那么_^=耳+噎的離心

率是_________

【答案】

【解析】

【分析】由題意定義一般標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲線的漸近線的夾角為N/05,它使得雙曲線的一支包含在

N/05內(nèi)部，且令N/O5=2。，則有tanO=2,從而即可通過類比法求解.

a

【詳解】如圖所示:

對于標(biāo)準(zhǔn)的雙曲線方程與

上=1，在其對應(yīng)的漸近線上各取一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）A,B,

ab2

我們定義漸近線的夾角為,它使得雙曲線的一支包含在N/05內(nèi)部，

且令N40B=26,tan6=—,

a

x1一

對于歹=忑+1，我們知道其漸近線為y=和歹軸，

71_

從而可得其漸近線的夾角為4-四=巴，所以b,〃，3,兀

263一二tan"=tan-=tan—=——

a263

一x1「I￥

所以V=一后+—的離心率是e=—=J1+—=

V3%a\a2

故答案為：金口.

3

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知圓C的方程為：(x—2y+(y—2)2=4,直線/的方程為：(加+l)x—>—加=0,

(1)若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線/的方程；

(2)證明：直線/與圓C相交，設(shè)直線/與圓C相交于/、B,求弦長|48|的最小值，及此時(shí)直線/的方程;

(3)圓。的圓心。與/、2構(gòu)成三角形，求三角形ABC面積的最大值.

【答案】(1)x—y=0或x+y—2=0

(2)證明見解析，弦長的最小值2&，此時(shí)/尤-歹+2=。

(3)2

【解析】

【分析】(1)分別求解直線在X/軸上的截距，根據(jù)截距相等求解即可；

(2)根據(jù)直線(加+l)x-歹-加=0過定點(diǎn)可判斷直線與圓相交，再根據(jù)當(dāng)直線/與直線3垂直

時(shí)弦長最小求解即可；

(3)由三角形的面積公式判斷即可.

【小問1詳解】

令x=0可得一y-冽=0,即)7=一加，令歹=0,易得此時(shí)加。一1,可得x=------，

m+1

依題意一^=一加，化簡得加(加+2)=0,故〃7=0或根=-2.

m+1

故直線/的方程為：x—y=0或x+y—2=0.

【小問2詳解】

(冽+l)x-y-加=0即加(x—l)+x—y=0,故直線/過定點(diǎn)。(1,1).

因?yàn)?l—2y+(l—2><4,故。(1,1)在圓。內(nèi).

故直線/與圓C相交.

故當(dāng)直線/與直線CD垂直時(shí)弦長以同最小，此時(shí)。(2,2),￡>(1,1),

故直線|CD|={(2—1)2+(2_1『=垃,\AB\=2^-\Cb\=272.

2-1-1/、

此時(shí)左co=-----=1>k=一=-1,故y—l=—即/a—y+2=0.

2—1AB1

【小問3詳解】

依題意S“BC忸qsinNZCB=2sinNZC8,

故當(dāng)sinAACB=1,即ZACB為直角時(shí)S^ABC取最大值.

由（2）可得當(dāng)/1一了+2=0時(shí)45坐標(biāo)分別為（0,2）,（2,0）,此時(shí)為直角.

故三角形4BC面積的最大值為2.

16.如圖1,在等腰梯形/BCD中，BC//AD,AD=3BC=6,AB=CD=2-72?BE上AD于點(diǎn)、E.將

△48E沿著折起，使/到達(dá)P的位置，如圖2,連接尸C,PD,得到四棱錐P—BCD￡,且「C，CD.已

知0是棱PD上一點(diǎn)，且可〃平面CE。.

（1）求土g的值；?

（2）求二面角尸-CE-。的余弦值.

【答案】（1）g

⑵逅

3

【解析】

【分析】（1）連接交CE于點(diǎn)。，連接。。，由線面平行的性質(zhì)定理可得必〃。。，從而可得答案.

（2）利用線面垂直的判定定理證明PEL平面3CDE,過點(diǎn)。作CD的平行線交PC于點(diǎn)過點(diǎn)“作尸￡

的平行線交EC于點(diǎn)N,連接0N.證明￡C_L平面VNQ,利用二面角的定義找到平面角直接求解即可.

【小問1詳解】

由題意等腰梯形中，AB=CD=2C，可知ZE=2,E￡>=4,BC=2.

如圖，連接AD交CE于點(diǎn)。，連接

因?yàn)榭伞ㄆ矫鍯￡0,PBu平面PBD,且平面「60口平面CEQ=。。,

PQBO_BC

所以必〃。。，則

QD~0D~ED2

【小問2詳解】

在&CDE中，CE=2V2，CD=2V2.ED=4,

所以￡>￡2=CE2+CQ2,則CDJ_C￡.

又因?yàn)镃￡>_LPC,CE,PCu平面尸CE,CEcPC=C,所以C￡>_L平面尸CE.

因?yàn)镻Eu平面尸C￡,所以尸￡_LCD.

因?yàn)镻E_LBE,CD,BEcBCDE,且CD,BE相交，所以PEL平面2CDE.

過點(diǎn)。作CO的平行線交尸C于點(diǎn)過點(diǎn)M作尸￡的平行線交EC于點(diǎn)N,連接。N.

因?yàn)槠矫媸珻E,所以平面尸CE,則MQLEC.

又因?yàn)楫a(chǎn)￡，平面BCDE,所以P￡_L￡C,則上W，￡C,〃NcM。=M,

所以EC,平面〃N。，ECLNQ.故NMNQ是二面角尸—CE—。的平面角.

因?yàn)?=」，所以兒@=，?！?=其2，MN=^PE=3,NQ=JMQ2+MN2=，

PD3*3333±\上3

4

所以COSN〃NQ=GK=M3=一「，即二面角尸—C石一。的余弦值為四.

N(22,633

丁

17.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=1,且滿足%+]+%=3x2R,數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S"滿足S"=；(2+1)2,

且〃〉0.

(1)求證：｛%—2"｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)q,=(%-2")?上一，求數(shù)列｛q｝的前19項(xiàng)和.

第.bn+i

【答案】(1)證明見詳解

(2)b"=2n-l

、40

(3)

39

【解析】

【分析】(1)由遞推關(guān)系借助等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；

(2)利用當(dāng)〃22時(shí)，bn=Sn-Sn_x,求出數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，可得通項(xiàng)公式;

(3)由g=(-+利用裂項(xiàng)相消法求和.

12〃-12n+\J

【小問1詳解】

=M+3X2〃2向=—%+3x3〃-2x2〃--4+2"=_1

%_2。2%-2an-2

所以｛4—2"｝是以%—2=—1為首項(xiàng)，T為公比的等比數(shù)列.

所以%—2"=(—1)"；

【小問2詳解】

1?

當(dāng)〃=1時(shí)，4=S]=[(4+i),得4=1；

1919

當(dāng)心時(shí)，乙-1=押"+1)--*+1),

整理得("+%)(〃-%-2)=0,

因?yàn)?>0,所以％+4_戶0,則勿—2=0,

故數(shù)列抄/是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從而4=1+2(〃-1)=2〃-1,

所以數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式為〃=2〃-1；

【小問3詳解】

4〃=（-1/-------加------=（—1）"|1

由C"b-b[）（2〃-1）（2〃+1）’）[2〃-1

nn+i2/7+1

設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為北,

則幾="]+&口+[-!

1__40

一一~39~~39'

18.如圖，已知43為拋物線E：犬=2加(0>0)上任意兩點(diǎn)，拋物線￡在/,3處的切線交于點(diǎn)P,

71

點(diǎn)尸在直線y=-1上，且N4PB=2,動(dòng)點(diǎn)0為拋物線E在4,3之間部分上的任意一點(diǎn).

(1)求拋物線E的方程;

(2)拋物線￡在。處的切線交為，PB于M,N兩點(diǎn)，試探究△PNN與△AS。的面積之比是否為定值,

若為定值，求出定值，若不為定值，請說明理由.

【答案】(1)x2=4y

(2)與A4B0的面積之比為定值。，理由見詳解

【解析】

【分析】(1)設(shè)/、2的坐標(biāo)分別為,利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，得到切線方程，根據(jù)已知

可得畢=T和土?三=T,從而解得。，得解;

2ppp

(2)求出直線48方程，設(shè)點(diǎn)。(%,%)得的方程，再求出弦AB,長，點(diǎn)。，尸分別到直線48,

"V距離即可計(jì)算作答.

【小問1詳解】

]'X

拋物線方程為/=2陟（夕＞0）,故了=「/，所以"=一,

2pp

設(shè)4、5的坐標(biāo)分別為

x-i-

則E4的方程為：y——(x-%1)H—L即y=」■

P2Pp2P

同理尸8的方程為：y=—x——

P2P

Mx2

y=-x———

"P2P

聯(lián)立B4,網(wǎng)方程《

2

XX

y=—9x——9—

「P2P

得與=不，力=芋,

22P

因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線y=-1上，所以芋=-1,

2P

又因?yàn)?4P8=巴，即生?%=一：[,所以0=2,

2PP

則拋物線E：x2=4j；

【小問2詳解】

&PMN與&ABQ的面積之比為定值

（2、2

設(shè)點(diǎn)。％,四，由（1）知切線"N的方程為：y=9x—紅，

I4J，24

22

又切線尸4的方程為：y=&x—.，切線PB的方程為：y=^x—紅,

?24-24

22

設(shè)點(diǎn)尸（加1）,即有—l=2x—五，-1=強(qiáng)》—2，

2424

m

因此直線的方程為：y=—x+1,

2

mx,2J

”一才0+1

有|48|=卜—引，點(diǎn)。（%，%）到直線AB的距離是4=

,2

=J*—引yX-^+l,

則s：0

2

2y=xox-2--

由＜?，解得點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)“同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)》N二2等

八cM22

2y=x{x-2—

m1x：

”+1一寸

有|小儀=，點(diǎn)尸（見-1）到直線MN的距離％=

m1

則S△尸=j'l

MN~xoTo+l，

A1

所以=

S22,

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線f=2處（0/0）在點(diǎn)（%,義）處的切線斜率左=??；拋物線/=2px（p/0）

在點(diǎn)（非,％）（為w0）處的切線斜率左=f

19.已知函數(shù)/（x）=-alnx-L+x（a￡R）

x