《2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前一章內(nèi)容的基礎(chǔ)上，在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程，它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用。在這一過程中，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)的方法解決幾何問題的能力。同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.B.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.C.掌握點與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.1.數(shù)學(xué)抽象：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.邏輯推理：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.數(shù)學(xué)建模：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)重點】：會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握點與圓的位置關(guān)系【教學(xué)難點】：根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、情境導(dǎo)學(xué)《古朗月行》唐李白小時不識月，呼作白玉盤。又疑瑤臺鏡，飛在青云端。月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學(xué)作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當(dāng)做一個圓，建立一個平面直角坐標(biāo)系,那么圓的坐標(biāo)方程如何表示?二、探究新知思考1圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.確定圓的因素：圓心和半徑圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.思考2已知圓心為A(a,b),半徑為你能推導(dǎo)出圓的方程嗎？|MA|＝r,由兩點間的距離公式,得＝r,化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點睛：(1)當(dāng)圓心在原點即A(0,0)時,方程為x2+y2=r2.(2)當(dāng)圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.(3)相同的圓,建立坐標(biāo)系不同時,圓心坐標(biāo)不同,導(dǎo)致圓的方程不同,但是半徑是不變的.1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析:設(shè)圓心為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=1,又點(1,2)在圓上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程為x2+(y-2)2=1.答案:A二、點與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設(shè)d=|PC|=(x位置關(guān)系d與r的大小圖示點P的坐標(biāo)的特點點在圓外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2點在圓上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點在圓內(nèi)d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r22.點P(-2,-2)和圓x2+y2=4的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.以上都不對解析:將點P的坐標(biāo)代入圓的方程,則(-2)2+(-2)2=8>4,故點P在圓外.答案:B三、典例解析例1.求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路分析:解答本題可以先根據(jù)所給條件確定圓心和半徑,再寫方程,也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解,也可以利用幾何性質(zhì)求出圓心和半徑.解:(方法1)設(shè)點C為圓心,∵點C在直線:x-2y-3=0上,∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又∵該圓經(jīng)過A,B兩點,∴|CA|=|CB|.∴(2解得a=-2.∴圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r=10.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),由條件知(2-故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法3)線段AB的中點為(0,-4),kAB=-3所以弦AB的垂直平分線的斜率k=-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為:y+4=-2x,即y=-2x-4.故圓心是直線y=-2x-4與直線x-2y-3=0的交點,由y即圓心為(-1,-2),圓的半徑為r=(-1所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法由三個獨(dú)立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:①設(shè)——設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;③解——解方程組,求出a,b,r;④代——將a,b,r代入所設(shè)方程,得所求圓的方程.跟蹤訓(xùn)練1．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求該三角形的外接圓的方程．[解]法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因為A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋5－b2＝r2，,1－a2＋－2－b2＝r2，,－3－a2＋－4－b2＝r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r＝5.))故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.法二：因為A(0,5)，B(1,－2)，所以線段AB的中點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直線AB的斜率kAB＝eq\f(－2－5,1－0)＝－7，因此線段AB的垂直平分線的方程是y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x＋y＋5＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0))得圓心的坐標(biāo)為(－3,1)，又圓的半徑長r＝eq\r(－3－02＋1－52)＝5，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.跟蹤訓(xùn)練2已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周長最小的圓的方程;(2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.(1)解:當(dāng)AB為直徑時,過點A、B的圓的半徑最小,從而周長最小,即AB中點(0,1)為圓心,半徑r=12|AB|=10則圓的方程為:x2+(y-1)2=10.(2)(方法1)AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0由x-3yr=|AC|=(3-1)∴圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.(方法2)待定系數(shù)法.設(shè)圓的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2,則(∴圓的方程為:(x-3)2+(y-2)2=20.例2(1)點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是()A.點P在圓內(nèi) B.點P在圓外C.點P在圓上 D.不確定(2)已知點M(5a+1,a)在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范圍是.

思路分析:(1)首先根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑,然后利用P到圓心的距離和圓的半徑大小關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系;(2)首先確定圓心和半徑,利用圓心到點M的距離小于半徑列出不等式求解.解析:(1)因為(m2)2+52=m4+25>24,所以點P在圓外.(2)由題意知a解得0≤a<1.答案:(1)B(2)[0,1)點與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用點與圓的位置關(guān)系有三種:點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外.判斷點與圓的位置關(guān)系有兩種方法:一是用圓心到該點的距離與半徑比較,二是代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷與r2的大小關(guān)系.通過點與圓的位置關(guān)系建立方程或不等式可求參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是()A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.a=±1解析:由題意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1.答案:B金題典例1.若P(x，y)為圓C(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上任意一點，請求出P(x，y)到原點的距離的最大值和最小值．[提示]原點到圓心C(－1,0)的距離d＝1，圓的半徑為eq\f(1,2)，故圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．若P(x，y)是圓C(x－3)2＋y2＝4上任意一點，請求出P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．[提示]P(x，y)是圓C上的任意一點，而圓C的半徑為2，圓心C(3,0)，圓心C到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，所以點P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2eq\r(2)＋2，最小值為2eq\r(2)－2.3.已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值與最小值.思路探究：x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，即點P(x，y)是圓上的點．而eq\r(x＋12＋y＋12)表示點(x，y)與點(－1，－1)的距離．故此題可以轉(zhuǎn)化為求圓x2＋(y＋4)2＝4上的點與點(－1，－1)的距離的最值問題．[解]因為點P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上的任意一點，圓心C(0，－4)，半徑r＝2，因此eq\r(x＋12＋y＋12)表示點A(－1，－1)與該圓上點的距離．因為|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以點A(－1，－1)在圓外．如圖所示．而|AC|＝eq\r(0＋12＋－4＋12)＝eq\r(10)，所以eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值為|AC|＋r＝eq\r(10)＋2，最小值為|AC|－r＝eq\r(10)－2.母題探究1：本例中條件不變，試求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．[解]設(shè)k＝eq\f(y＋1,x＋1)，則此式可看作是圓上一點與點(－1，－1)連線的斜率．所以由k＝eq\f(y＋1,x＋1)可得y＋1＝k(x＋1)，此直線與圓應(yīng)相交．圓心(0，－4)到直線的距離d≤r.即eq\f(|3＋k|,\r(k2＋1))≤2，解得k≥eq\f(3＋2\r(6),3)或k≤eq\f(3－2\r(6),3).2．本例條件不變，試求圓上一點到直線x＋y＝4的最大值與最小值．[解]圓心(0，－4)到直線x＋y＝4的距離d＝eq\f(|－4－4|,\r(2))＝eq\f(8,\r(2))＝4eq\r(2).所以圓上一點到直線x＋y＝4的最大值為d＋r＝2＋4eq\r(2)，最小值為d－r＝4eq\r(2)－2.與圓有關(guān)的最值問題的求解策略(1)本題將最值轉(zhuǎn)化為線段長度問題，從而使問題得以順利解決．充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的強(qiáng)大作用．(2)涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：①k＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方的最值問題等．通過古詩中關(guān)于月亮的描述，引出建立圓的方程的問題，同時類比直線方程的建立過程，幫助學(xué)生通過類比建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)會聯(lián)系舊知，制定解決問題的策略。讓學(xué)生進(jìn)一步感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問題的方法。通過點與圓的位置關(guān)系，體會運(yùn)用代數(shù)法和幾何法解決問題的特點，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中掌握求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，即：代數(shù)法與幾何法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過與圓相關(guān)的最值問題的解決，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.圓x2+y2=1的圓心到直線3x+4y-25=0的距離是()A.5 B.3 C.4 D.2解析:圓心坐標(biāo)為(0,0),所以圓心到直線的距離為d=2532+答案:A2.以C(2,-3)為圓心,且過點B(5,-1)的圓的方程為()A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=(5-2)2+(-1+3)2=13,即圓的半徑r=13,又∵圓心為C(2,-3),∴圓的方程為(答案:D3.已知點P(1,-1)在圓(x+2)2+y2=m的外部,則實數(shù)m的取值范圍是.

解析:由題意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范圍是(0,10).答案:(0,10)4.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點O(0,0)對稱的圓的方程為.

解析:已知圓的圓心(-2,0)關(guān)于原點的對稱點為(2,0),半徑不變,故所求對稱圓的方程為(x-2)2+y2=5.答案:(x-2)2+y2=55.求經(jīng)過點P(1,1)和坐標(biāo)原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的方程.[解]法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.法二：(幾何法)由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3，))即圓心坐標(biāo)為(4，－3)，半徑r＝＝5.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】在本節(jié)課的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生回顧確定直線的幾何要素——兩點（或者一點和斜率）的基礎(chǔ)上，類比得到圓的幾何要素——圓心位置和半徑大小。由直線方程類比得到從圓心坐標(biāo)和半徑大小入手探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這一過程提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽樣等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，注意幾何法與代數(shù)法的比較，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)?！?.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.2.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握點與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.【重點和難點】重點：會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握點與圓的位置關(guān)系難點：根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識梳理】一、自主導(dǎo)學(xué)(一)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點睛：(1)當(dāng)圓心在原點即A(0,0)時,方程為x2+y2=r2.(2)當(dāng)圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.(3)相同的圓,建立坐標(biāo)系不同時,圓心坐標(biāo)不同,導(dǎo)致圓的方程不同,但是半徑是不變的.（二）、點與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設(shè)d=|PC|=(x位置關(guān)系d與r的大小圖示點P的坐標(biāo)的特點點在圓外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2點在圓上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點在圓內(nèi)d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2二、小試牛刀1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=12.點P(-2,-2)和圓x2+y2=4的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.以上都不對【學(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)學(xué)《古朗月行》唐李白小時不識月，呼作白玉盤。又疑瑤臺鏡，飛在青云端。月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學(xué)作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當(dāng)做一個圓，建立一個平面直角坐標(biāo)系,那么圓的坐標(biāo)方程如何表示?思考1圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？思考2已知圓心為A(a,b),半徑為你能推導(dǎo)出圓的方程嗎？二、典例解析例1.求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法由三個獨(dú)立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:①設(shè)——設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;③解——解方程組,求出a,b,r;④代——將a,b,r代入所設(shè)方程,得所求圓的方程.跟蹤訓(xùn)練1．已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求該三角形的外接圓的方程．跟蹤訓(xùn)練2已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周長最小的圓的方程;(2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.例2(1)點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是()A.點P在圓內(nèi) B.點P在圓外C.點P在圓上 D.不確定(2)已知點M(5a+1,a)在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范圍是.

點與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用點與圓的位置關(guān)系有三種:點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外.判斷點與圓的位置關(guān)系有兩種方法:一是用圓心到該點的距離與半徑比較,二是代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷與r2的大小關(guān)系.通過點與圓的位置關(guān)系建立方程或不等式可求參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是()A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.a=±1金題典例1.若P(x，y)為圓C(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)上任意一點，請求出P(x，y)到原點的距離的最大值和最小值．2．若P(x，y)是圓C(x－3)2＋y2＝4上任意一點，請求出P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．3.已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值與最小值.母題探究1：本例中條件不變，試求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．2．本例條件不變，試求圓上一點到直線x＋y＝4的最大值與最小值．與圓有關(guān)的最值問題的求解策略(1)本題將最值轉(zhuǎn)化為線段長度問題，從而使問題得以順利解決．充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的強(qiáng)大作用．(2)涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：①k＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方的最值問題等．【達(dá)標(biāo)檢測】1.圓x2+y2=1的圓心到直線3x+4y-25=0的距離是()A.5 B.3 C.4 D.22.以C(2,-3)為圓心,且過點B(5,-1)的圓的方程為()A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=133.已知點P(1,-1)在圓(x+2)2+y2=m的外部,則實數(shù)m的取值范圍是.

4.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點O(0,0)對稱的圓的方程為.

5.求經(jīng)過點P(1,1)和坐標(biāo)原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的方程.【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理二、小試牛刀1.解析:設(shè)圓心為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=1,又點(1,2)在圓上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程為x2+(y-2)2=1.答案:A2.解析:將點P的坐標(biāo)代入圓的方程,則(-2)2+(-2)2=8>4,故點P在圓外.答案:B學(xué)習(xí)過程思考1定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.確定圓的因素：圓心和半徑圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.思考2|MA|＝r,由兩點間的距離公式,得＝r,化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.二、典例解析例1.思路分析:解答本題可以先根據(jù)所給條件確定圓心和半徑,再寫方程,也可以設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解,也可以利用幾何性質(zhì)求出圓心和半徑.解:(方法1)設(shè)點C為圓心,∵點C在直線:x-2y-3=0上,∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又∵該圓經(jīng)過A,B兩點,∴|CA|=|CB|.∴(2解得a=-2.∴圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r=10.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),由條件知(2-故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法3)線段AB的中點為(0,-4),kAB=-3所以弦AB的垂直平分線的斜率k=-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為:y+4=-2x,即y=-2x-4.故圓心是直線y=-2x-4與直線x-2y-3=0的交點,由y即圓心為(-1,-2),圓的半徑為r=(-1所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.跟蹤訓(xùn)練1．[解]法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因為A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋5－b2＝r2，,1－a2＋－2－b2＝r2，,－3－a2＋－4－b2＝r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1，,r＝5.))故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.法二：因為A(0,5)，B(1,－2)，所以線段AB的中點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直線AB的斜率kAB＝eq\f(－2－5,1－0)＝－7，因此線段AB的垂直平分線的方程是y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x＋y＋5＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0))得圓心的坐標(biāo)為(－3,1)，又圓的半徑長r＝eq\r(－3－02＋1－52)＝5，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.跟蹤訓(xùn)練2(1)解:當(dāng)AB為直徑時,過點A、B的圓的半徑最小,從而周長最小,即AB中點(0,1)為圓心,半徑r=12|AB|=10則圓的方程為:x2+(y-1)2=10.(2)(方法1)AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0由x-3yr=|AC|=(3-1)∴圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.(方法2)待定系數(shù)法.設(shè)圓的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2,則(∴圓的方程為:(x-3)2+(y-2)2=20.例2思路分析:(1)首先根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑,然后利用P到圓心的距離和圓的半徑大小關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系;(2)首先確定圓心和半徑,利用圓心到點M的距離小于半徑列出不等式求解.解析:(1)因為(m2)2+52=m4+25>24,所以點P在圓外.(2)由題意知a解得0≤a<1.答案:(1)B(2)[0,1)跟蹤訓(xùn)練3解析:由題意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1.答案:B金題典例1.[提示]原點到圓心C(－1,0)的距離d＝1，圓的半徑為eq\f(1,2)，故圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離為1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，最小距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．[提示]P(x，y)是圓C上的任意一點，而圓C的半徑為2，圓心C(3,0)，圓心C到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，所以點P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2eq\r(2)＋2，最小值為2eq\r(2)－2.3.思路探究：x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，即點P(x，y)是圓上的點．而eq\r(x＋12＋y＋12)表示點(x，y)與點(－1，－1)的距離．故此題可以轉(zhuǎn)化為求圓x2＋(y＋4)2＝4上的點與點(－1，－1)的距離的最值問題．[解]因為點P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上的任意一點，圓心C(0，－4)，半徑r＝2，因此eq\r(x＋12＋y＋12)表示點A(－1，－1)與該圓上點的距離．因為|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以點A(－1，－1)在圓外．如圖所示．而|AC|＝eq\r(0＋12＋－4＋12)＝eq\r(10)，所以eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值為|AC|＋r＝eq\r(10)＋2，最小值為|AC|－r＝eq\r(10)－2.母題探究1：[解]設(shè)k＝eq\f(y＋1,x＋1)，則此式可看作是圓上一點與點(－1，－1)連線的斜率．所以由k＝eq\f(y＋1,x＋1)可得y＋1＝k(x＋1)，此直線與圓應(yīng)相交．圓心(0，－4)到直線的距離d≤r.即eq\f(|3＋k|,\r(k2＋1))≤2，解得k≥eq\f(3＋2\r(6),3)或k≤eq\f(3－2\r(6),3).2．[解]圓心(0，－4)到直線x＋y＝4的距離d＝eq\f(|－4－4|,\r(2))＝eq\f(8,\r(2))＝4eq\r(2).所以圓上一點到直線x＋y＝4的最大值為d＋r＝2＋4eq\r(2)，最小值為d－r＝4eq\r(2)－2.達(dá)標(biāo)檢測1.解析:圓心坐標(biāo)為(0,0),所以圓心到直線的距離為d=2532+答案:A2.解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=(5-2)2+(-1+3)2=13,即圓的半徑r=13,又∵圓心為C(2,-3),∴圓的方程為(答案:D3.解析:由題意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范圍是(0,10).答案:(0,10)4.解析:已知圓的圓心(-2,0)關(guān)于原點的對稱點為(2,0),半徑不變,故所求對稱圓的方程為(x-2)2+y2=5.答案:(x-2)2+y2=55.[解]法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.法二：(幾何法)由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3，))即圓心坐標(biāo)為(4，－3)，半徑r＝＝5.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.《2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．以為圓心，4為半徑的圓的方程為A． B．C． D．2．已知以點A(2，－3)為圓心，半徑長等于5的圓O，則點M(5，－7)與圓O的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外 D．無法判斷3．圓的圓心到直線的距離是（）A． B． C．1 D．4．過點，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．5．（多選題）已知圓，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為B．圓的圓心為C．圓的半徑為5D．圓被軸截得的弦長為66．（多選題）已知圓（為常數(shù)，）不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)的可取值為（）A．-2 B．0 C．2 D．4二、填空題7．經(jīng)過圓的圓心C，且與直線垂直的直線方程是．8．直徑的兩個端點是的圓的方程為______．9．若圓的半徑為1，其圓心與點關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.10．已知點和圓，若點在圓上，則實數(shù)________；若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為________.三、解答題11．已知點，求（1）過點A,B且周長最小的圓的方程；（2）過點A,B且圓心在直線上的圓的方程．12．已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的方程.《2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．以為圓心，4為半徑的圓的方程為A． B．C． D．【答案】C【解析】以為圓心，4為半徑的圓的方程為：，故選C．2．已知以點A(2，－3)為圓心，半徑長等于5的圓O，則點M(5，－7)與圓O的位置關(guān)系是()A．在圓內(nèi)B．在圓上C．在圓外 D．無法判斷【答案】B【解析】因為,所以點M在圓上，選B.3．圓的圓心到直線的距離是（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為（1，0），∴圓心到直線的距離為，故選A．4．過點，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】本題作為選擇題，可采用排除法，根據(jù)圓心在直線上，排除B、D，點在圓上，排除A，故選C.5．（多選題）已知圓，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為B．圓的圓心為C．圓的半徑為5D．圓被軸截得的弦長為6【答案】ACD【解析】由圓，故圓心為，半徑為，則AC正確；令，得或，弦長為6，故D正確；故選：ACD.6．（多選題）已知圓（為常數(shù)，）不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)的可取值為（）A．-2 B．0 C．2 D．4【答案】CD【解析】圓C：（x﹣a）2+y2=4表示以C（a，0）為圓心，以2為半徑的圓，此圓不經(jīng)過第二象限，需OC≥2，故a≥2，故選：CD.二、填空題7．經(jīng)過圓的圓心C，且與直線垂直的直線方程是．【答案】【解析】圓：x2＋2x＋y2＝0的圓心C(－1,0)，因為直線的斜率為，所以與直線垂直的直線的斜率為1，因此所求直線方程為，即x－y＋1＝08．直徑的兩個端點是的圓的方程為______．【答案】【解析】因為直徑的兩個端點是，所以圓心為，半徑為，所以，圓的方程為：.9．若圓的半徑為1，其圓心與點關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.【答案】【解析】因為圓心與點關(guān)于直線對稱，所以圓心坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為.10．已知點和圓，若點在圓上，則實數(shù)________；若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】；或【解析】由題,,當(dāng)點在圓上時,,解得.當(dāng)點在圓外時,,解得或.三、解答題11．已知點，求（1）過點A,B且周長最小的圓的方程；（2）過點A,B且圓心在直線上的圓的方程．【解析】(1)當(dāng)AB為直徑時，過A、B的圓的半徑最小，從而周長最?。碅B中點(0,1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.則圓的方程為：x2＋(y－1)2＝10.(2)解法1：AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0由圓心在直線上得兩直線交點為圓心即圓心坐標(biāo)是C(3,2)．r＝|AC|＝＝2.∴圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法2：待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.則∴圓的方程為：(x－3)2＋(y－2)2＝20.12．已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的方程.【解析】(1)∵AB所在直線的方程為x－3y－6＝0，且AD與AB垂直，∴直線AD的斜率為－3．又∵點T(－1,1)在直線AD上，∴AD邊所在直線的方程為y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．(2)由,得,∴點A的坐標(biāo)為(0，－2)，∵矩形ABCD兩條對角線的交點為M(2,0)，∴M為矩形ABCD外接圓的圓心，又|AM|＝.∴矩形ABCD外接圓的方程為(x－2)2＋y2＝8．《2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1．已知A(3，－2)，B(－5,4)，則以AB為直徑的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1002．若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的圓心位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若i為虛數(shù)單位，已知(a，b∈R)，則點(a，b)與圓x2＋y2＝2的關(guān)系為（）A．在圓外 B．在圓上 C．在圓內(nèi) D．不能確定4．已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．A．4 B．5 C．6 D．75．（多選題）以直線與兩坐標(biāo)軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程可能為（）A． B．C． D．6.（多選題）實數(shù)，滿足，則下列關(guān)于的判斷正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為二、填空題7．與圓同圓心，且面積等于圓面積的一半的圓的方程為_____.8．若圓的圓心到直線的距離為，則的值為_________.9．直線與軸、軸分別交于點，，則______；以線段為直徑的圓的方程為_________．10．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點，，其歐拉線方程為，則頂點的坐標(biāo)可以是_________．三、解答題11．已知以點C為圓心的圓經(jīng)過點A(－1,0)和B(3,4)，且圓心在直線x＋3y－15＝0上．設(shè)點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．12．已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.《2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知A(3，－2)，B(－5,4)，則以AB為直徑的圓的