第8講函數(shù)與方程

［考綱解讀］1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，能夠判斷一元二次方程根的存在性與

根的個(gè)數(shù).(重點(diǎn)、難點(diǎn))

2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.

［考向預(yù)測(cè)］從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)個(gè)數(shù)的判斷及由零

點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在.預(yù)測(cè)2021年高考將以零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷或根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍為

主要命題方向，以客觀題或解答題中一問的形式呈現(xiàn).

------------基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān)------------

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(D定義：對(duì)于函數(shù)y=f(S)(xQ力,把使Clf(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=Ax)(A-GP)

的零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

(3)存在性定理

2.用二分法求函數(shù)/'(x)零點(diǎn)近似值

(1)確定區(qū)間［a,b\,驗(yàn)證f(a)?f(6)<0,給定精確度f(wàn)；

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)為；

⑶計(jì)算

①若f(汨)=0,則無(wú)就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若03F(a)?則令b=xi(此時(shí)零點(diǎn)xoW(a,e))；

③若52/'(小)?f(6)<0,則令3=汨(此時(shí)零點(diǎn)(xi,6)).

⑷判斷是否達(dá)到精確度小即若以一引<￡，則得到零點(diǎn)近似值a(或6)；否則重復(fù)⑵?

O診斷自測(cè)

1.概念辨析

(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn).()

(2)函數(shù)尸/Xx)在區(qū)間(a,6)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則/"(a)?/'(AVO.()

(3)若f(x)在區(qū)間［a,加上連續(xù)不斷，且f{a)?f(b)>0,則f(x)在(a,6)內(nèi)沒有零

點(diǎn).()

(4)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.()

(5)若函數(shù)f(x)在(a,6)上單調(diào)且/"(a)?/'(AXO,則函數(shù)f(x)在［a,6］上有且只有一個(gè)

零點(diǎn).()

答案⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.小題熱身

(1)已知函數(shù)其力的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：

X12345

尸(X)-4-2147

在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)I).(4,5)

答案B

解析由已知得A2)?A3)<0,所以函數(shù)Ax)必有零點(diǎn)的區(qū)間為⑵3).

(2)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()

答案A

解析能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，由圖象可

得，只有A不滿足此條件.故選A.

(3)函數(shù)/U)=g一傳)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析函數(shù)/■(*)=及一曲零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是方程段―電=0的解的個(gè)數(shù)，即方程晝=自

”的解的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)y=g與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的

圖象，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為L(zhǎng)故函數(shù)f(x)=g—(?,零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

(4)若二次函數(shù)/?(入)=/+取+4在區(qū)上無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)衣的取值范圍是.

答案(0,4)

解析因?yàn)?'(x)在R上無(wú)零點(diǎn)，所以方程f+Ax+A=0無(wú)實(shí)根，所以4=

如一4K0,解得0〈旅4.

-----------經(jīng)典題型沖關(guān)------------

題型一求函數(shù)的零點(diǎn)或判斷其所在的區(qū)間

【舉例說明】

2'—1,x^：1,

1.(2019?廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=一

l+log2X,x〉l,

則函數(shù)Ax)的零點(diǎn)為()

1

-O民-O

夕2,

1

C-O

2D.

答案I)

解析當(dāng)xWl時(shí)，由/'(x)=2"—1=0,解得x=0；當(dāng)天>1時(shí)，由/'(x)=l+log2X=0,

解得x=T，因?yàn)閤>l,所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上，函數(shù)/'(X)的零點(diǎn)只有0,故選D.

2.若水從c,則函數(shù)f(x)=(x—a)(A-A)+(x—b)?(x—c)+(x—c)(x—a)的兩個(gè)零點(diǎn)

分別位于區(qū)間()

A.(a,b)和(b,c)內(nèi)B.(-8,a)和(a,6)內(nèi)

C.(b,。)和(c,+8)內(nèi)D.(—8,a)和(c,+8)內(nèi)

答案A

解析由已知得，/tr)是二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，又因?yàn)樗?<。，所以

f(a)=(a—A)(a—c)>0,f(6)=(，一c)(6—a)<0,f(c)=(c—a)(c—，)>0.由零點(diǎn)存在性定理

得函數(shù)Ax)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(4方)和(4。)內(nèi).

3.(2019?青島二中模擬)已知函數(shù)f(x)=2'—loggx,且實(shí)數(shù)a>b>c>0滿足

/"(a)/U)F(c)<0.若實(shí)數(shù)的是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，則下列不等式中不可能成立的是

()

A.B.xo>a

C.xo<bD.照<c

答案D

解析由f(x)=2Tog1x,可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)閷?shí)數(shù)a>6>c>0

滿足f(a)*6)?『(c)<0,所以3f(8),Ac)可能都小于0或有1個(gè)小于0,2個(gè)大于0,

如圖，則A,B,C可能成立，D不可能成立.故選D.

y

【據(jù)例說法】|

函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷方法及適合題型

方法解讀適合題型

解方可先解對(duì)應(yīng)方程，然后看所求的根是當(dāng)對(duì)應(yīng)方程K心=0易解時(shí).如舉例

程法否落在給定區(qū)間上說明1

續(xù)表

方法解讀適合題型

能夠容易判斷區(qū)間端點(diǎn)值所對(duì)應(yīng)函數(shù)值

定理法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷

的正負(fù).如舉例說明2

畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與X軸在

圖象法容易畫出函數(shù)的圖象.如舉例說明3

給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷

I【鞏固遷移】

1.在下列區(qū)間中，函數(shù)/1(x)=e-,+4x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能為()

MT'。)B.(0,力

CI},(ID.R3)

答案D

1

+

解析因?yàn)?一；)=++4義卜：)一3=e[—4<0,A0)=1—3=—2<0,e-2-

11⑶333

4X--3=e—KO,/R=e-1+4*彳-3=e1]>0.

乙乙\一/4XX4t

所以61?/(0<°‘所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能為(;，(

2.設(shè)f(x)=lnx+x—2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=lnx,方(x)=—x+2圖象交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)所在的取值范圍.作圖如右：

可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).

1+lgx,x>0,

3.函數(shù)/'(x)=?2,的零點(diǎn)是________.

x+x,盡0

小品1

答案一1,0,—

解析當(dāng)x>0時(shí)，由1+lgx=0,解得x=｝；當(dāng)后0時(shí)，由J+x=O,解得x=0或

-1.所以函數(shù)/'(x)的零點(diǎn)是一1,0,七.

題型二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定

【舉例說明】

X—2X9X〈0,

1.已知函數(shù)f(x)=<r。x>0,則函數(shù)y=f(x)+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

答案C

x+x,xWO,

解析由已知得y=f(x)+3x=<l+；+3x,x>0.令x+x=0,解得x=0或x=—

1.令l+1+3x=0(x>0)可得3/+^+1=0.因?yàn)?1-12<0,所以方程3/+^+1=0無(wú)實(shí)

x

根.所以尸F(xiàn)(x)+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

Ilgx\,x>0,

2.己知F(x)=、一則函數(shù)尸2f(x)-3f(x)+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.

[2,W0,

答案5

解析令2f(x)—3f(x)+1=0,解得Ax)=l或f(x)作出f(x)的筒圖:

由圖象可得當(dāng)f(x)=1或/?(*)七時(shí),分別有3個(gè)和2個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于x的函數(shù)y=2/(x)

—3f(x)+l的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.

【據(jù)例說法】

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)解方程法：所對(duì)應(yīng)方程Hx)=0有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)解就有幾個(gè)零點(diǎn).如舉例說明L

(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象交

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).如舉例說明2.

【鞏固遷移】

1.(2020?河南南陽(yáng)月考)函數(shù)f(x)=、「一cosx在［0,+8)內(nèi)()

A.沒有零點(diǎn)B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D.有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)

答案B

解析先研究/'(x)在區(qū)間［0,1］內(nèi)的零點(diǎn).因?yàn)镕(x)=#+sinx,、">0,sinx>0,

所以f(x)>0,故f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，且/'(0)=-1<0,AD=l-cosl>0,所以f(x)

在［0,1］內(nèi)有唯一零點(diǎn).當(dāng)x〉l時(shí)，f{x)—y［x-cosx>0,故函數(shù)f(x)在［0,+8)上有且僅有

一個(gè)零點(diǎn)，故選B.

2.偶函數(shù)f(x)滿足f(x—l)=f(x+l),且在xd［0,1］時(shí)，Xx)=Z則關(guān)于x的方程

Hx)=(卻在0,y上的根的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)xG[—1,0]時(shí)，-xG[0,1],所以f(—x)=f,即

7'5)=且又/15—1)=/'(入+1),所以/1(x+2)=F(x),故f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，據(jù)

此在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)與在0,y匕的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合得兩

圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故方程f(x)=(得)在[o,1上有3個(gè)根.

題型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用多角探究

【舉例說明】

9角度1根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)(或方程的根)的個(gè)數(shù)

求參數(shù)

L⑵電衡水模擬圮知函數(shù)個(gè))=1心切S為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若關(guān)于

x的方程f(x)+a=O有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是()

A.a>-lB.-Ka<l

C.(KaWlD.a<l

答案C

解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，若關(guān)于x的方程f(x)+a=O有兩個(gè)不相等的實(shí)

根，則函數(shù)『(%)與直線y=-a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由圖可知一lW—a<0,所以0<aWl.

。角度2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)

2.(2019?安慶模擬)函數(shù)/?(x)=f—ax+1在區(qū)間(；，3)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(2,+8)B.［2,+8)

C［2,|)式2,竽)

答案D

解析由題意知方程ax=/+l在(；，3)上有解，即a=x+1?在(g,3)上有解，設(shè)t=x

+p3),則t的取值范圍是2,￥)..??實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,芋)

【據(jù)例說法】

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形

結(jié)合求解.如舉例說明1.

(3)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.如舉例說明2.

【鞏固遷移】

1.若函數(shù)f(x)=4'-2"-a,—有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__.

答案一;，2

解析：函數(shù)f(x)=4'-2'—a,1,1］有零點(diǎn),

...方程4'—2"-a=0在［—1,1］上有解，

即方程a=4'一2'在［-1,1］上有解.

方程。=4*一2',

可變形為

-1

-2

[—1,1],2'€J

』2

?2

實(shí)數(shù)a的取值范圍是一；,2

Ix\,x&m,

2.已知函數(shù)f(x)=其中ZZ7>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于X的方程

2勿x+4加,x>m,

F(x)=6有三個(gè)不同的根，則加的取值范圍是_______.

答案(3,+8)

解析Mx)的大致圖象如圖所示，若存在8WR,使得方程Ax)=8有三個(gè)不同的根，只

需4/一/2〈勿，又因?yàn)槲?gt;0,所以R>3.

課時(shí)作業(yè)

組基礎(chǔ)關(guān)

1.若函數(shù)/U)=ax+6有一個(gè)零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x)="2-a*的零點(diǎn)是()

1

a2-

Ac.2

B.O,

1D.2,1

---

o,22

答案c

解析因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)=a_v+6有一個(gè)零點(diǎn)是2,所以2a+6=0,b=-2a,所以g(x)=

bx—ax——2ax—ax——ax(2x+l'),由屋")=0得x=0或一；，故g(x)的零點(diǎn)是0,—

2.(2020?佳木斯摸底)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值

表:

123456

124.433-7424.5-36.7-123.6

則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有()

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

答案B

解析由表可知，f(2)>0,A3)<0,f(4)〉0,A5X0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知,f(x)

在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)上均至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至

少有3個(gè).

3.在用二分法求方程/一2工-1=0的一個(gè)近似解時(shí)，已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，

則下一步可以斷定該根所在的區(qū)間為()

c(l,l)D.(|,2)

答案D

解析設(shè)/'(*)=/一2x一1,一根在區(qū)間(1,2)上，根據(jù)二分法的規(guī)則，取區(qū)間中點(diǎn)亍因

為/"(1)=—2<0,/0=*一4<0,A2)-3>0,所以下一步可以斷定該根所在的區(qū)間是修，2),

故選D.

2

4.若函數(shù)f(x)=2、-—-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

x

A.(1,3)B.(1,2)

C.(0,3)D.(0,2)

答案C

22

解析因?yàn)楹瘮?shù)〃*)=2、-一一a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)/.(X)=2、一一一a的一

xx

個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(l)?f(2)<0,所以(一山(4一1一向<0,即a(a-3)<0,解得0<水3.

5.函數(shù)/、(x)=|才一2|—Inx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析作出函數(shù)y=5一2|與g(x)=lnx的圖象，如圖所示.

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)Ax)在定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn).故選C.

6.(2019?江西三校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y=log2X-l與y=22f的圖象的交點(diǎn)為(施，％),則選

所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

答案C

解析設(shè)f(x)=(logzx-D—2",,則/?(2)=1—1—2°=—1<0,A3)=(log23-1)-1=

log23-log22^2>0.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).所以劉e(2,3).

7.若函數(shù)/'(x)=2ax2一犬一1在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[1,+0°)

C.(1,+8)D.(2,+8)

答案C

解析當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一1,—{%|0<Kl),不符合題意；當(dāng)aWO時(shí)，

4>0,

由《八

ff，

[l+8a>0,1

B|J_l解得a>l;當(dāng)〃=0,即，=一耳時(shí)，函數(shù)/Xx)的零點(diǎn)是一2,-

26{x|(KKl},不符合題意.故選C.

fxlnx,x>0,

8.已知f(x)=<2則其零點(diǎn)為—

[x-x-2,xWO,

答案1--1

解析當(dāng)*〉0時(shí)，由/'（x）=0,即xlnx=0得Inx=0,解得x=l；當(dāng)xWO時(shí)，由f（x）

=0,即I—x-2=0,解得x=-1或x=2.因?yàn)閤<0,所以入=-1.綜上，函數(shù)的零點(diǎn)為1,

-1.

9.若函數(shù)/（王）=2'一才一@在（-8,1]上存在零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案（0,1]

解析當(dāng)xG（—8,1]時(shí)，2七（0,2].由函數(shù)/Xx）=2'—3—a在（-8,1]上存在零點(diǎn),

可得0<一+aW2,又由a為正實(shí)數(shù)，得aW（0,1].

10g2A,X>0,

10.（2019?衡水模擬）己知函數(shù)Ax）=°才,c且關(guān)于x的方程f(x)+x—a=0

3,0,

有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案（1,+8）

解析如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出夕=〃才）與y=—x+a的圖象，其中a表示直線

在y軸上的截距.由圖可知，當(dāng)力1時(shí)，直線y=-x+a與y=log2X只有一個(gè)交點(diǎn).

1.函數(shù)Ax）=xcos（x'一2x—3）在區(qū)間[―1,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.5B.4

C.3D.2

答案B

解析由題意可知k0或cos（f—2x—3）=0,又x￡[—1,4],所以才2—2x一3=（王一

l）2-4e[-4,5],當(dāng)cos（f-2x-3）=0時(shí),x-2x~3=k^+y,〃仁Z,在相應(yīng)的范圍內(nèi)，

女只有一1,0,1三個(gè)值可取，所以總共有4個(gè)零點(diǎn)，故選B.

2.（2019?石家莊模擬）設(shè)方程10*=|lg（一才）|的兩個(gè)根分別為小，孫則（）

A.X