云南省中央民族大附屬中學(xué)芒市國際學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1n+2?n+n=-2A．2k+1 B．22k+1 C．2k+1k+12．在空間中，可以確定一個平面的條件是（）A．一條直線B．不共線的三個點C．任意的三個點D．兩條直線3．設(shè)和分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則等于（）A． B． C． D．4．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，則B＝（）A． B．或 C． D．或6．如圖，是圓的直徑，，假設(shè)你往圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．7．已知扇形的周長為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．8．如果存在實數(shù)，使成立，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．或9．已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，則的值為A．11 B．12 C．13 D．1410．平行四邊形中，若點滿足，，設(shè)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f(x)＝coscos的最小正周期為________．12．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.13．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則數(shù)列的公比為__________．14．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為_____．15．?dāng)?shù)列滿足：，，的前項和記為，若，則實數(shù)的取值范圍是________16．若，則的值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．年北京市進(jìn)行人口抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了某區(qū)居民人，記錄他們的年齡，將數(shù)據(jù)分成組：，，，…，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計其年齡不小于的概率；（Ⅱ）估計該區(qū)居民年齡的中位數(shù)（精確到）；（Ⅲ）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計該區(qū)居民的平均年齡.18．在中，角，，的對邊分別為，，.且滿足.（Ⅰ)求角；（Ⅱ)若的面積為，，求邊.19．已知直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1．

（1）求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求實數(shù)a的值．20．的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，且的面積為，求的值．21．已知集合，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前三項滿足.（1）求通項公式；（2）若是等比數(shù)列的前項和，記，試用等比數(shù)列求和公式化簡（用含的式子表示）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

要分清起止項，以及相鄰兩項的關(guān)系，由此即可分清增加的代數(shù)式?！驹斀狻慨?dāng)n=k時，左邊=k+1當(dāng)n=k+1時，左邊====k+1∴從k到k+1，左邊需要增乘的代數(shù)式為22k+1【點睛】本題主要考查學(xué)生如何理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推關(guān)系。2、B【解析】試題分析：根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論，即確定平面的幾何條件，即可知道答案．解：對于A．過一條直線可以有無數(shù)個平面，故錯；對于C．過共線的三個點可以有無數(shù)個平面，故錯；對于D．過異面的兩條直線不能確定平面，故錯；由平面的基本性質(zhì)及推論知B正確．故選B．考點：平面的基本性質(zhì)及推論．3、C【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)的值域，確定出的最大值和最小值，即可計算出的值.【詳解】因為的值域為，所以的最大值，所以的最小值，所以.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的最值問題，難度較易.求解形如的函數(shù)的值域，注意借助余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行分析.4、D【解析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計算公式，計算，即可．【詳解】過P點作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【點睛】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．5、A【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對大角可求為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【詳解】由題意知，由正弦定理，可得＝＝，又因為，可得B為銳角，所以．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

先根據(jù)條件計算出陰影部分的面積，然后計算出整個圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計算出對應(yīng)的概率.【詳解】設(shè)圓的半徑為，因為，所以，又因為，所以落到陰影部分的概率為.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應(yīng)用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：.7、A【解析】

利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出．【詳解】設(shè)此扇形半徑為r，扇形弧長為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A【點睛】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)，可得，再根據(jù)基本不等式取等的條件可得答案.【詳解】因為，所以，即，即，又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的值域，考查了基本不等式取等的條件，屬于中檔題.9、C【解析】

利用等差數(shù)列通項公式及前n項和公式，即可得到結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列的公差為2，且，∴∴∴.故選：C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

畫出平行四邊形，在上取點，使得，在上取點，使得，由圖中幾何關(guān)系可得到，即可求出的值，進(jìn)而可以得到答案．【詳解】畫出平行四邊形，在上取點，使得，在上取點，使得，則，故，，則.【點睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期為T＝＝212、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為n∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時f（n）有最小值．又因為，，所以的最小值為故答案為【點睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．13、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，數(shù)列的公比為，故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列公比的計算，在等比數(shù)列的問題中，通常將數(shù)列中的項用首項和公比表示，建立方程組來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為,再根據(jù)中點在直線上,且與直線垂直求解即可.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為,則中點為,則在直線上,故①.又與直線垂直有②,聯(lián)立①②可得.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了點關(guān)于直線對稱的點坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

因為數(shù)列有極限,故考慮的情況.又?jǐn)?shù)列分兩組,故分組求和求極限即可.【詳解】因為,故,且,故,又,即.綜上有.故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列求和的極限,需要根據(jù)題意分組求得等比數(shù)列的極限,再利用不等式找出參數(shù)的關(guān)系,屬于中等題型.16、【解析】

把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（I）計算之間的頻率和，由此估計出年齡不小于的概率.（II）從左往右，計算出頻率之和為的位置，由此估計中中位數(shù).（III）用各組中點值乘以頻率人后相加，求得居民平均年齡的估計值.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計其年齡不小于60為事件,所以該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計其年齡不小于60的概率為.（Ⅱ）年齡在的累計頻率為,,所以估計中位數(shù)為.（Ⅲ）平均年齡為【點睛】本小題主要考查頻率分布直方圖的識別與應(yīng)用，考查頻率分布直方圖估計中位數(shù)和平均數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ)；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得，結(jié)合范圍，可得．（Ⅱ）由已知利用三角形的面積公式可得：，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得的值．【詳解】（Ⅰ)由得：∴∴又∴，即.又，∴（Ⅱ)∵的面積為，∴∴又，∴，即【點睛】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想．19、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】

（1）求得直線的斜率，再由點斜式方程可得所求直線方程；（2）運(yùn)用直線和圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于半徑，解方程可得所求值．【詳解】（1）直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1，可得直線l的斜率為=2，則直線l的方程為y3=2（x1），即y=2x+1；

（2）若直線l與圓C：（xa）2+（y+a）2=5相切，

可得圓心（a，a）到直線l的距離為，即有

=，解得a=2或．【點睛】本題考查直線方程和圓方程的運(yùn)用，考查直線和圓相切的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）（2）【解析】

（1）對等式，運(yùn)用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系中的商關(guān)系，可求出角的正切值，最后根據(jù)角的取值范圍，求出角；（2）由三角形面積公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴在中；（2）∵的