2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差1.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度,量X與其均值E(X)的平均偏離程度,我們稱(chēng)D(X)為隨機(jī)變量X的方差,并稱(chēng)其算術(shù)平方根

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)意義:隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.(3)離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì):設(shè)a,b為常數(shù),則D(aX+b)=a2D(X).【思考】

隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何不同?提示:樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的,因此它是一個(gè)隨機(jī)變量,而隨機(jī)變量的方差是通過(guò)大量試驗(yàn)得出的,刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,因此它是一個(gè)常量而非變量.【做一做1】

已知X的分布列如下表:

若Y=3X-1,則D(Y)的值為(

)A.-∵Y=3X-1,∴D(Y)=9D(X)=5.

答案:B

2.服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p);(2)若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).【做一做2】

已知兩名射手每次射擊中靶的概率分別為0.8和0.7,若各射擊3次,則兩名射手中靶次數(shù)的方差分別為(

).8,0..4,2.1.48,0..16,0.21解析:兩名射手獨(dú)立射擊3次的中靶次數(shù)都服從二項(xiàng)分布,即X~B(3,0.8),Y~B(3,0.7),所以D(X)=3×0.8×0.2=0.48,D(Y)=3×0.7×0.3=0.63.答案:C探究一探究二探究三規(guī)范解答求離散型隨機(jī)變量的方差例1

袋中有20個(gè)大小相同的球,其中標(biāo)記0的有10個(gè),標(biāo)記n的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.思路分析:(1)根據(jù)題意,由古典概型的概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解.(2)運(yùn)用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X),求a,b.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答解:(1)X的分布列為

(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,得a=±2.又E(Y)=aE(X)+b,所以當(dāng)a=2時(shí),由1=2×1.5+b,得b=-2;當(dāng)a=-2時(shí),由1=-2×1.5+b,得b=4.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答反思感悟1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟:理解X的意義,寫(xiě)出X可能取的全部值↓寫(xiě)出X取每個(gè)值的概率↓寫(xiě)出X的分布列↓由均值的定義求出E(X)↓當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答2.對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過(guò)程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η=aξ+b的分布列,又避免了繁雜的計(jì)算,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答變式訓(xùn)練1袋中有除顏色外其他都相同的6個(gè)小球,其中紅球2個(gè)、黃球4個(gè),規(guī)定取1個(gè)紅球得2分,1個(gè)黃球得1分.從袋中任取3個(gè)小球,記所取3個(gè)小球的分?jǐn)?shù)之和為X,求隨機(jī)變量X的分布列、均值和方差.解:由題意可知,X的所有可能取值為5,4,3.故X的分布列為

當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差例2某出租車(chē)司機(jī)從某飯店到火車(chē)站途中需經(jīng)過(guò)六個(gè)交通崗,假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的,并且概率是

.(1)求這位司機(jī)遇到紅燈次數(shù)X的均值與方差;(2)若遇上紅燈,則需等待30秒,求司機(jī)總共等待時(shí)間Y的均值與方差.解:(1)由題意知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)X服從二項(xiàng)分布,(2)由已知得Y=30X,∴E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1

200.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答反思感悟1.如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么其方差D(X)=p(1-p)(p為成功概率).2.如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),那么方差D(X)=np(1-p),計(jì)算時(shí)直接代入求解,從而避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答變式訓(xùn)練2已知p,q∈R,X~B(5,p),若E(X)=2,則D(2X+q)的值為(

)...4+q.8+q解析:∵X~B(5,p),∴E(X)=5p=2.∴p=0.4.D(X)=5×0.4×0.6=1.2,∴D(2X+q)=4D(X)=4×1.2=4.8.答案:B當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用例3

甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且候鳥(niǎo)的種類(lèi)和數(shù)量也大致相同,兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為:試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.思路分析:要比較兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平,要先比較兩個(gè)保護(hù)區(qū)違反保護(hù)條例的事件的平均次數(shù),然后比較其穩(wěn)定性,即方差.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答解:甲保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的次數(shù)X的均值和方差分別為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的次數(shù)Y的均值和方差分別為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因?yàn)镋(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)相對(duì)分散且波動(dòng)較大,乙保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定.相對(duì)而言,乙保護(hù)區(qū)的管理更好一些.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答反思感悟離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.因此在實(shí)際決策問(wèn)題中,需先計(jì)算均值,看誰(shuí)的平均水平高,再計(jì)算方差,分析誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.當(dāng)然不同的情形要求不同,應(yīng)視具體情況而定.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答變式訓(xùn)練3為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹(shù)、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳.各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)X為成活沙柳的株數(shù),均值E(X)為3,標(biāo)準(zhǔn)差(1)求n和p的值,并寫(xiě)出X的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種.求需要補(bǔ)種沙柳的概率.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答解:由題意知,X服從二項(xiàng)分布B(n,p),X的分布列為

(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,則P(A)=P(X≤3),當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題典例

甲袋和乙袋中都裝有除顏色外其他都相同的紅球和白球,已知甲袋中共有m個(gè)球,乙袋中共有2m個(gè)球,從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為,從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m=10,求甲袋中紅球的個(gè)數(shù);(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后,從中摸出1個(gè)紅球的概率是,求P2的值;(3)設(shè)P2=,若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球,每次摸出1個(gè)球,并且從甲袋中摸1次,從乙袋中摸2次.設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù),求ξ的分布列和均值.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答【審題策略】

(1)概率的應(yīng)用,由甲袋中總球數(shù)為10和摸1個(gè)球?yàn)榧t球的概率,求袋中紅球個(gè)數(shù);(2)利用方程的思想,列方程求解;(3)求分布列和均值,關(guān)鍵是求ξ的所有可能取值及每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.【規(guī)范展示】

解:(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x,當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答所以ξ的分布列為

當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答【答題模板】

求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟:第1步,確定隨機(jī)變量的所有可能值;第2步,求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率;第3步,列出離散型隨機(jī)變量的分布列;第4步,求均值和方差;第5步,反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.失誤警示(1)本題重點(diǎn)考查了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值.(2)本題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)范.如第(3)問(wèn)中,不明確寫(xiě)出ξ的所有可能取值,不逐個(gè)求概率,這都屬于解答不規(guī)范.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)X=0時(shí),兩向量夾角為直角,共有8種情形,(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為-2,-1,0,1,X=-2時(shí),有2種情形;X=1時(shí),有8種情形;X=-1時(shí),有10種情形.所以X的分布列為當(dāng)堂檢測(cè)1.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,則n與p的值分別為(

)和0.和0.4和0.和0.8解得n=10,p=0.8.答案:D探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)2.已知隨機(jī)變量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值為

(

)A.64 B.256 解析:∵X~B(100,0.2),∴D(X)=100×0.2×0.8=16.D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.答案:B探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂