多項(xiàng)選擇題一立體幾何與空間向量（基礎(chǔ)、中檔、

壓軸）

1.如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿足〃平面ABC

2.如圖，為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形

狀可能為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.以下條件能夠判斷平面a與平面夕平行的是（）

A.平面a內(nèi)有兩條直線與平面夕平行

B.兩不同平面a,夕平行于同一個(gè)平面

C.平面a內(nèi)的任意一條直線與平面夕無公共點(diǎn)

D.夾在平面a與平面夕間的兩條平行線段相等

4.設(shè)〃?，〃為不同的直線，口,夕為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若m"a,nila,貝!］，〃//〃B.若帆J_a,貝！］，〃//〃

C.若mlaI,mu（3,則a//￡D.若〃?_LiZ,nV［｝,mYn,則a-L/?

5.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,將其復(fù)原為正方體后，互相重合的點(diǎn)是（）

C.8與。D.C與F

6.已知正方體ABCO-ABCR的棱長為小點(diǎn)尸為側(cè)面BCC當(dāng)上一點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)

Q為該正方體外接球球面上一點(diǎn).則下面選項(xiàng)正確的是（）

A.直線AP與平面ABC。所成最大角為JTT

B.點(diǎn)。到正方體各頂點(diǎn)距離的平方之和為12/

C.點(diǎn)Q到點(diǎn)A和點(diǎn)G的距離之和最大值為（1+五）〃

TTTT

D.直線AP與直線8。所成角范圍為py

7.在正四面體A-BCD中，AB=3,點(diǎn)。為△ACO的重心，過點(diǎn)0的截面平行于AB

和8,分別交BC,BD,AD,AC于E,F,G,H,則()

A

A.四邊形EFGH的周長為8

B.四邊形EFG”的面積為2

C.直線A8和平面EFGH的距離為夜

D.直線4c與平面EFGH所成的角為J

8.已知加，〃是兩條不同直線，a,p,7是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）

A.若加〃a,n//a,則〃?〃〃B.若a//y,pily,則a〃6

C.若用〃a,mlIp,則a〃￡D.若加_Lar,nVa,則加〃〃

9.已知正方體ABC。-A內(nèi)G2,則（）

A.直線BG與0A所成的角為90。B.直線與CA所成的角為90。

C.直線BG與平面85QO所成的角為45°D.直線BQ與平面ABC。所成的角為45。

10.如圖，ABC。是底面直徑為2高為1的圓柱。。的軸截面，四邊形OOQA繞。。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)6（0464萬）到。OQA,則（）

A.圓柱0。1的側(cè)面積為4z

B.當(dāng)0<6時(shí)，DD}1A,C

C.當(dāng)。時(shí)，異面直線A。與。。所成的角為￡

34

D.de。面積的最大值為G

11.已知直線平面a,直線機(jī)U平面a,則（）

A.若/與小不垂直，貝IJ/與a一定不垂直

B.若/與機(jī)所成的角為30,則/與。所成的角也為30

C.〃/，”是〃/a的充分不必要條件

D.若/與a相交，則/與〃?一定是異面直線

12.如圖，在正方體A8CO-44G2中，。為正方形ABCO的中心，當(dāng)點(diǎn)尸在線段BG

上（不包含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列直線中一定與直線OP異面的是（）

c.AAD.ADt

13.我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立.下面給出的平面幾何

中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（）

A.平行于同一條直線的兩條直線必平行

B.垂直于同一條直線的兩條直線必平行

C.一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D.一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

14.“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

的對稱美.某天小明在廣場上發(fā)現(xiàn)了如圖1所示的一個(gè)石凳，其形狀是將一個(gè)正方體沿

交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正

三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”（如圖2所示）.小明用卷尺測量出這個(gè)

石凳的高度為50cm,他給出了如下判斷，請你指出小明的哪些判斷是正確的（）

圖1圖2

A.這個(gè)石凳共有24條棱，12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面

B.一個(gè)體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個(gè)這樣的石凳（不計(jì)損耗）

C.這個(gè)石凳也可以由一個(gè)直徑為70cm的球形石料切割而成（不計(jì)損耗）

D.如果將這個(gè)石凳三角形的那個(gè)面水平放置，石凳的高度會(huì)增加

15.某球形巧克力設(shè)計(jì)了一種圓柱形包裝盒,每盒可裝7個(gè)球形巧克力，每盒只裝一層，

相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個(gè)球形巧克力與包裝盒相切，如圖是平行于

底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為R,球形巧克力的半徑為『，每

個(gè)球形巧克力的體積為匕，包裝盒的體積為匕，則（）

B.R=4rC.匕=9匕D.2%=27K

16.如圖，四邊形43CD為正方形，EDL^ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,記三

棱錐E-AC。，F(xiàn)-ABC,歹一ACE的體積分別為匕,匕,匕，貝D（）

￡

A.匕=2%B.匕=匕

c.匕=V+KD.2匕=3匕

17.棱長為1的正方體中，P、Q分別在棱BC、cq上，CP=X,CQ^y,

xe[O,l],ye[O,l]j±x2+/^O,過A、P、Q三點(diǎn)的平面截正方體ABC。-4田6。得

A.x=V時(shí)，截面一定為等腰梯形B.x=l時(shí)，截面一定為矩形且面積最大

值為應(yīng)

C.存在x,y使截面為六邊形D.存在x,y使8R與截面平行

18.直三棱柱A8C-A4G，中，ABLAC,A8=AC=A4,=1,點(diǎn)。是線段8c上的

動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）

A.AC//平面A8。

B.8與AG不垂直

C./ADC的取值范圍為m

D.A￡>+DC的最小值為相

19.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長為2,底面圓直徑為26，A,B,C為底面圓周上的

三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，M為母線尸C上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)48為底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，ZAPB=120°

B.△以8面積的最大值為g

C.當(dāng)△出B面積最大值時(shí)，三棱錐C-B4B的體積最大值為上史

3

D.當(dāng)AB為直徑且C為弧A8的中點(diǎn)時(shí)，"A+MB的最小值為價(jià)5

20.中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的

上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示

的曲池，它的高為2,M.BB,,CC,,均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩

個(gè)圓的半徑分別為1和2,對應(yīng)的圓心角為90。，則以下命題正確的是（）

4

A.AB1與CA成角的余弦值為:

B.A，B,C,A四點(diǎn)不共面

C.弧AR上存在一點(diǎn)E,使得BE〃CA

D.以C點(diǎn)為球心，石為半徑的球面與曲池上底面的交線長為|■不

21.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的

多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一

個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到的半正多面體的表面積為12+46，則關(guān)于該半正

多面體的下列說法中正確的是（）

TT

A.A8與平面8C。所成的角為二B.AB=2近

4

C.與A8所成的角是2的棱共有16條D.該半正多面體的外接球的表面積為6）

22.如圖所示，在四棱錐中S-AB8中，ABC。為正方形，SC=SD=CD=\,E為線

段SO的中點(diǎn)，尸為AC與8。的交點(diǎn),AD1SD.則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面SCOB.EFP平面

C.平面SCO平面488D.線段BE長度等于線段W長度

23.如圖，在直三棱柱ABC-A4c中，ABC是邊長為2的正三角形，M=4,M為

CG的中點(diǎn)，P為線段AM上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.AP+BP的最小值為40

B.三棱錐P—ABM的體積的最大值為拽

3

C.不存在點(diǎn)P,使得3尸與平面A4G所成的角為60。

D.三棱錐M-A3C的外接球的表面積為籌

24.棱長為4的正方體ABC。-48cA中，E,尸分別為棱AQ,A4的中點(diǎn)，若

4G=XgC（°〈2Wl）,則下列說法中正確的有（）

A.三棱錐尸-AEG的體積為定值

"'

B.二面角G-EF-A的正切值的取值范圍為:2，2&

C.當(dāng)4時(shí)，平面EGG截正方體所得截面為等腰梯形

D.當(dāng)4==3時(shí)，三棱錐A-EFG的外接球的表面積為1寧53乃

44

25.已知正四棱錐P-ABCD的側(cè)面是邊長為6的正三角形，點(diǎn)M在棱P。上，且

PM=2MD,點(diǎn)。在底面ABC。及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且〃面上鉆，則下列說法正確的

是（）

A.點(diǎn)Q的軌跡為線段

B.與CO所成角的范圍為y,y

C.的最小值為百

D.二面角M-A8-Q的正切值為立

5

26.如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體水槽ABC。-A8GA，水面高度為

2,水槽側(cè)面CDRG上有一個(gè)小孔E,點(diǎn)￡到直線CD的距離為3,將該水槽繞CD傾斜

（CD始終在桌面上）至恰有水從小孔E流出，則在傾斜過程中，下列說法正確的有（）

A.沒水的部分始終呈四棱柱形

B.水面始終經(jīng)過水槽的外接球的球心

C.水面的面積為定值

D.E到桌面的最小距離為石

27.如圖是四棱錐P-ABC。的平面展開圖，四邊形43。是矩形，

ED±DC,FD1DA,DA=3,DC=2,ZFAD=30°.在四棱錐P_A3C￡>中，M為棱心上

一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說法正確的有（）

A.AM+CM的最小值為>+3?

2

B.存在點(diǎn)M,使得DM_L8C

C.四棱錐P-A8CD外接球的體積為容

D.三棱錐M-Rm的體積等于三棱錐M-PCD的體積

28.在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面的射影為ABC的垂心O（O在,.AfiC內(nèi)部）,

且P0中點(diǎn)為過AM作平行于BC的截面a,過BM作平行于AC的截面夕，記a,

夕與底面ABC所成的銳二面角分別為4，%,若NPAM=NPBM=6,則下列說法正

確的是（）

P

4

A-/

-

B

3

A.若Q4=P3=PC=AB=1,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為5萬

B.若4=%,則ac=8c

C.若。尸。2，則tan。］.tana=g

D.。的值可能為［

o

29.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即去四面體的四個(gè)頂

點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體，如圖所示，將棱長為力的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面

的截面得到所有棱長均為。的截角四面體，則下列說法正確的是（）

B.該截角四面體的體積為生包/

A.該截角四面體的表面積為66a3

12

C.該截角四面體的外接球表面積為緊2

D.該截角四面體中，二面角A-3C-O的

余弦值為-g

30.某班級到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)。。2,在軸截面ABC。

A.該圓臺(tái)的高為1cm

B.該圓臺(tái)軸截面面積為3小0?

C.該圓臺(tái)的體積為當(dāng)1cm?

D.一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為5cm

31.在直四棱柱中，所有棱長均2,ZBAD=60°,P為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)

Q在四邊形。Cq。內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD,上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體ABPQ的體積為定值

B.若AQ〃平面A8P,則A。的最小值為石

C.若△ABQ的外心為M,則AB-AM為定值2

D.若AQ=4，則點(diǎn)。的軌跡長度為吃

32.如圖，在正三棱柱A8C-AgG中，AB=3C=AC=1,叫=2,P為線段上

的動(dòng)點(diǎn)，且則（）

A.存在2,使得AP_L8C

B.當(dāng)4時(shí)，三棱錐P-A81G的外接球表面積為?

/J

c.當(dāng)2=9時(shí)，異面直線4尸和GB所成角的余弦值為亞

439

D.過P且與直線AB和直線B￡所成角都是60的直線有三條

33.已知點(diǎn)區(qū)F為正方體ABC。-AB?。的棱AB、BC的中點(diǎn)，過EF的平面a截正

方體，AB=4,下列說法正確的是（）

A.若a與地面A3。所成角的正切值為血，則截面為正六邊形或正三角形

B.4與地面A8CO所成角為45則截面不可能為六邊形

C.若截面為正三角形EFG時(shí)，三棱錐R-EFG的外接球的半徑為半

D.若截面為四邊形，則截面與平面與針?biāo)山堑挠嘞抑档淖钚≈禐?

34.如圖，已知二面角a-/-￡的棱上有不同兩點(diǎn)A和B,若Ce/,Dil,ACua,

則（）

a

A.直線AC和直線BO為異面直線

B.若AC=AB=3O=2,則四面體A8C3體積的最大值為2

C.若AC=3,AB=6,BD=4,CD=1,AC±l,BDLI,則二面角a—/—A的大小

TT

D.若二面角a—/-尸的大小為AC=AB=BD=6,AC11,BDLI,則過A、B、

C、。四點(diǎn)的球的表面積為84萬

35.如圖，圓柱的底面半徑和高均為1,線段是圓柱下底面的直徑，點(diǎn)。是下底面

的圓心.線段EF是圓柱的一條母線，且已知平面以經(jīng)過A,B,F三點(diǎn)、,將

平面a截這個(gè)圓柱所得到的較小部分稱為“馬蹄體”.記平面a與圓柱側(cè)面的交線為曲線

C.則()

A.曲線C是橢圓的一部分B.曲線C是拋物線的一部分

1-TT

C.二面角F-AB-E的大小為工D.馬蹄體的體積為V滿足§

36.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球

的直徑恰好與圓柱的高相等?“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱

容球，0?為圓柱上下底面的圓心，。為球心，EF為底面圓。的一條直徑，若球的

半徑r=2,則()

A.球與圓柱的表面積之比為1:2

B.平面OE/截得球的截面面積最小值為為乃

C.四面體CDEF的體積的取值范圍為（0,孝

D.若尸為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則正+尸尸的取值范圍為[2+2有,46]

37.在棱長為1的正方體ABCD-AAGA中，點(diǎn)P滿足。P=2￡?D+〃D4,2e[0,l],

we[0,1],則（）

A.當(dāng)丸二〃時(shí)，BPA.AC}

B.當(dāng)〃=；時(shí)，三棱錐C-PBC的體積為定值

C.當(dāng)2+〃=1時(shí)，CC+PB的最小值為白+石

D.當(dāng)力+〃2=1時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到A8的距離等于到。。的距離

38.某工藝品如圖I所示，該工藝品由正四棱錐嵌入正四棱柱（正四棱柱的側(cè)棱平行于

正四棱錐的底面）得到，如圖H,已知正四棱錐y-EFGH的底面邊長為3板，側(cè)棱長

為5,正四棱柱ABCD-A/B/G。/的底邊邊長為。，且28/rWF=M,DDi^VH=N,

AAiC\VE=P,AAiOVG=Q,CCQVE=R,CCiClVG=S,則()

V

圖1圖1I

3夜

A.當(dāng)M為棱V7='中點(diǎn)時(shí)，aB.PMVMR

~2~

C.存在實(shí)數(shù)”，使得2例，何RD.線段MN長度的最大值日

39.如圖，在四棱錐S-AB8中，底面A8CD是邊長為2的正方形，SA_L底面

他8,54=4氏47,8。交于點(diǎn)0,M是棱S。上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

4

A.三棱錐S-ACM體積的最大值為］

B.存在點(diǎn)“，使QM〃平面SBC

C.點(diǎn)M到平面的距離與點(diǎn)M到平面SA8的距離之和為定值

D.存在點(diǎn)M,使直線QM與A3所成的角為3"

40.某地舉辦數(shù)學(xué)建模大賽，本次大賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，

己知球的表面積為16兀，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上

折疊面成，如圖②，則下列結(jié)論正確的是（）

cB

①②

A.直線AO與平面。底尸所成的角為三

B.經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的球的截面圓的面積為日

C.異面直線A。與CF所成角的余弦值為（

O

D.球上的點(diǎn)到底面OEF的最大距離為26+漁+2

3

41.在棱長為1的正方體4BCO-A4G。中，E,F,G分別為線段CG，CD,CB上的

動(dòng)點(diǎn)（E,F,G均不與點(diǎn)C重合），則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)E,F,G,使得AE，平面EFG

B.存在點(diǎn)E,F,G,使得/EEG+NEfC+N￡GC=;r

C.當(dāng)A。，平面E『G時(shí)，三棱錐A-EFG與C-EFG體積之和的最大值為3

D.記CE,CF,CG與平面EFG所成的角分別為a,P,Y,則近11%+豆112/?+$言7=1

42.已知正四面體ABC。的棱長為2衣，其外接球的球心為。.點(diǎn)E滿足

A￡=/IAB（O<^<1）,CF=juCD（0<//<1）,過點(diǎn)E作平面a平行于AC和BD,平面a

分別與該正四面體的棱BC,CD,A。相交于點(diǎn)M,G,H,則（）

A.四邊形EA/GH的周長為定值

B.當(dāng)2=1時(shí)，平面口截球。所得截面的周長為畫］

42

64

C.四棱錐A-EMG〃的體積的最大值為

7Or1

14

D.當(dāng)谷必竹時(shí)，將正四面體A8CC繞EF旋轉(zhuǎn)90。后與原四面體的公共部分體積為g

43.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始

終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)

頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體

A8C。的棱長為a,則（）

A.能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為a

B.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，-岑卜

C.勒洛四面體的截面面積的最大值為:（2兀-6）/

D?勒洛四面體的體積

,12o

44.如圖，正方體A8CO-48cA中，頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，其余頂點(diǎn)在a的同側(cè)，頂

點(diǎn)4,B,C到a的距離分別為遙，1,2,則（）

C,

B.平面A4CJ■平面a

C.直線4修與a所成角比直線AA與a所成角大D.正方體的棱長為2&

45.設(shè)正方體ABCZ>—4月￡。的棱長為2,尸為底面正方形ABC。內(nèi)（含邊界）的一

動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在點(diǎn)P,使得4/P〃平面

B.當(dāng)時(shí),A"的最小值是10-26

C.若4PG的面積為1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分

D.若三棱錐P—A1B￡的外接球表面積為于，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成圖形的面積為乃

參考答案：

1.AD

【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，由下圖可知〃。6/AC,平面ABC,ACu平面力BC,所以

MV〃平面ABC,A正確.

對于B選項(xiàng)，設(shè)”是EG的中點(diǎn)，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，

AB//NH,MN//AH//BC,AMHCH,所以A,8,C,H,N,M六點(diǎn)共面，B錯(cuò)誤.

對于C選項(xiàng)，如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知由于4)0平面A8C,所以

MVtZ平面A8C.所以C錯(cuò)誤.

對于D選項(xiàng)，設(shè)ACcN￡=O,由于四邊形ASCN是矩形，所以。是NE中點(diǎn)，由于8是ME

中點(diǎn)，所以MN//BD,由于MNU平面A6C,3￡>u平面A8C,所以MN〃平面A5C,D正

確.

故選：AD

2.BD

【分析】由正方體的對稱性即可得解.

【詳解】由正方體的對稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形,

如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.

故選：BD

3.BC

【分析】由面面平行的判定定理和面面的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A,由面面平行的判定定理可知，若平面a內(nèi)有兩條相交直線與平面尸平

行，則平面a與平面月平行，則A不正確；

對于選項(xiàng)B，平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，則B正確；

對于選項(xiàng)C,兩個(gè)平面的位置關(guān)系有平行和相交兩種，平面a內(nèi)的任意一條直線與平面僅無

公共點(diǎn)，則平面a與平面夕無公共點(diǎn)，即平面a與平面/平行，則C正確；

對于選項(xiàng)D,相交平面也存在夾在兩平面間的兩條平行線段相等的情況，則D不正確.

故選：BC.

4.BD

【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對A：若向/a,nila,則向/〃或與〃相交或"，與"異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對B：若,則，M/”,故選項(xiàng)B正確；

對C：若“〃a,，"u尸，則a〃尸或a與4相交，故選項(xiàng)C正確；

對D：若a_La,nVP,mLn,則a_L乃，故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

5.ABD

【分析】根據(jù)平面展開圖，還原正方體，然后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】將平面展開圖，還原正方體如下圖所示：

所以互相重合的點(diǎn)是4與8,D與E,C與F,

故選：ABD

6.AB

【分析】過點(diǎn)尸作平面ABC。的垂線，垂足為M,PM最大且AM最小時(shí)，所求角最大可判

斷A；由AG為外接球的直徑可求。到正方體各點(diǎn)的距離的平方和,可判斷B；由三角形QAC

為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)。到AG的距離最大可判斷C；點(diǎn)P與點(diǎn)8重合時(shí)，直線4P與直

線8。所成角為不滿足題意可判斷D.

4

【詳解】解：由題意得：

選項(xiàng)A:過點(diǎn)尸作平面A8C。的垂線，垂足為M,PM最大且AM最小時(shí)，所求角最大，此時(shí)

TT

點(diǎn)P為點(diǎn)與，所成角為丁，A正確；

選項(xiàng)B:因?yàn)?G為外接球的直徑，所以NAQ￡=90。，QA2+QC；=ACf=3a2,所以點(diǎn)。到

正方體各頂點(diǎn)距離的平方之和為12/,B正確；

選項(xiàng)（2:（04+。弓）2=3/+2。4。0=3/+45、30，當(dāng)三角形0G為等腰直角三角形時(shí)，

點(diǎn)Q到AG的距離最大，此時(shí)最大面積為宜，所以QA+2G的最大值為"“，C錯(cuò)誤；

4

選項(xiàng)D:當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，直線AP與直線所成角為f,故D錯(cuò)誤.

4

故選：AB

7.BCD

【分析】根據(jù)。點(diǎn)式的重心和"GQ可以求出用洞理可求出&則可以

判斷A,n，防，則四邊形的面積可求，可以判斷B,將正四面體補(bǔ)成正方體，

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求出距離和夾角，則可以判斷CD

2

【詳解】。為..ASC的垂心，連4。延長與C￡＞交于M點(diǎn)，則AO=]AM

:.HG//—CD,:.HG=2,EF=2，HE//—AB,HE=GF=1,

=3=3

，周長為6,A錯(cuò).

AB±CDf則S印G〃=2X1=2,B對.

將四面體補(bǔ)成一個(gè)長方體，則正方體邊長為迷，.?.”（0,夜,0）

2

C

(3/J、

P,Q分別為A5,CO中點(diǎn)，PQJ_平面EFGH,n=PQ=0,^—,0

<>

AH-n\必平廠

到平面EFGH距離d=Sc對

2

AC與PQ夾角為：，則AC與平面EFGH的夾角為:，D對

44

故選：BCD

8.BD

【分析】對于A,當(dāng)加，〃時(shí)也可以滿足條件；對于B,根據(jù)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面

平行即可判斷；對于C,當(dāng)a時(shí)也可以滿足條件；對于D,根據(jù)垂直于同一平面的兩條

直線相互平行即可判斷.

【詳解】A項(xiàng)，當(dāng)機(jī)_1_〃時(shí)，存在zw//a,n/la,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，根據(jù)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，故B項(xiàng)正確；

C項(xiàng)，當(dāng)a,尸時(shí)，存在帆//a,mlip,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，根據(jù)垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

9.ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接8。、BC、,因?yàn)镈4J/BC，所以直線BG與4c所成的角即為直線BC

與。A所成的角，

因?yàn)樗倪呅蜝8&C為正方形，則BC，BC-故直線8G與。4所成的角為90。，A正確；

連接AQ,因?yàn)?始，平面B2CC,BGu平面8片GC，則

因?yàn)锽CJ.BG，A用甲7=耳，所以?平面ABQ,

又ACu平面A4C,所以BG，CA，故B正確；

連接AG，設(shè)AGBR=O,連接80,

因?yàn)槠矫鍭|B|GP，GOU平面A81G則GOJ.AB,

因?yàn)镃Q_LBQ|,B]Dtr>B]B=B],所以GO_L平面BBQ。，

所以ZC,BO為直線BC,與平面BBQ。所成的角，

設(shè)正方體棱長為1,則G0=也，BC\=6.,sinZC,BO=-1^=1,

2力Jz

所以，直線BG與平面842。所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镃CL平面ABC。，所以NC/C為直線BQ與平面ABC。所成的角，易得NC|BC=45,

故D正確.

故選：ABD

10.BC

【分析】對于A,由圓柱的側(cè)面積公式可得；

對于B,由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得；

對于C,由題知，為正三角形，根據(jù)異面直線所成的角的定義計(jì)算得解；

對于D,作。ELQC,由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得AELDC.在RA"E中，

A.E=JAV+ED；=gDEVJl+RO：=④，代三角形面積公式得解.

【詳解】對于A,圓柱。。|的側(cè)面積為2%xlxl=2萬，A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)?<6<]，所以。RLOC，又。

所以。2，平面ARC,所以O(shè)R_LAC,B正確；

對于c,因?yàn)锳。//。。，所以NCAR就是異面直線4。與。。

TT

所成的角，因?yàn)樗?。。A為正三角形，

71

所以4R=AR=1,因?yàn)锳QLDR,所以c正確；

對于D,作RELOC,垂足為E,連接AE，所以0c，平面ARE,所以AE_LZ)C.

在MARE中，AE=72；+ED；=Q1+*24"1+DQ；=0,

SAiCD=jxDCxA,E<^x2xV2=y/2,所以^年,鵬二祀,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.AC

【分析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的判

定定理和性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)已知條件直接判斷/與機(jī)的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A,當(dāng)/與加不垂直時(shí)，假設(shè)/_La,因?yàn)椤?ua,則/，〃?，這與已知條件矛

盾，

因此/與a一定不垂直，A正確；

對于B選項(xiàng)，由線面角的定義可知，/與a所成的角是直線/與平面a內(nèi)所有直線所成角中

最小的角，

若/與加所成的角為30,則/與a所成的角。滿足0V043O,B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，若〃/m,，〃ua,/a,則〃/a,即〃〃wn〃/a,

若〃/a,因?yàn)闄C(jī)ua,貝IJ/與m平行或異面，即〃〃夕.

所以，〃/機(jī)是〃/?的充分不必要條件，C對；

對于D選項(xiàng)，若/與a相交，則/與用相交或異面，D錯(cuò).

故選：AC.

12.BCD

【分析】對于A,當(dāng)尸為8G的中點(diǎn)時(shí)，OPUAB、,故A不正確；對于BCD,根據(jù)異面直

線的判定定理可知都正確.

【詳解】對于A,當(dāng)P為8cl的中點(diǎn)時(shí)，OP1IDC\/IAB\,故A不正確；

對于B,因?yàn)锳Cu平面A4CC，Oe平面4ACC，Oi\C,P任平面AAGC,所以直線

AC與直線OP一定是異面直線，故B正確；

對于C,因?yàn)锳4u平面A4CC，Oe平面AAGC，Oi\A,P任平面AACC，所以直線

AA與直線O尸一定是異面直線，故C正確；

對于D,因?yàn)?"u平面A"C，Oe平面4"C,。任AS，P任平面ARC,所以直線AQ與

直線OP一定是異面直線，故C正確；

故選：BCD

13.AC

【分析】根據(jù)線線平行傳遞性和課本中的定理可判斷AC正確；垂直于同一-條直線的兩條直

線位置關(guān)系不確定，可判斷B,通過舉反例可判斷D.

【詳解】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；

空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)可知C正確；

如圖，

則OA±CE,CD±0B,但ZAOB和ZDCE的關(guān)系不確定,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC

14.ABD

【分析】利用“阿基米德多面體''與正方體之間的關(guān)系計(jì)算出正方體的棱長，可判斷A是否

正確；根據(jù)題意先求出一個(gè)“阿基米德多面體'’的體積，再根據(jù)體積關(guān)系即可判斷B是否正

確；求出棱長為50cm的正方體的外接球的直徑該球的直徑也是“阿基米德多面體”外接球的

直徑，將該直徑與70cm比較，由此即可判斷C是否正確；根據(jù)等體積法求出每個(gè)三棱錐的

高，在根據(jù)正方體的體積公式，可求出兩個(gè)三角形所在平面的距離，將其與正方體的棱長比

較，即可判斷D是否正確.

【詳解】觀察所得的幾何體可知，幾何體有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面，選項(xiàng)A正確；

由題意可知，“阿基米德多面體”體積為原正方體體積減去8個(gè)三棱錐體積，設(shè)原正方體的棱

長為則8個(gè)三棱錐體積為8x』xlx=所以“阿基米德多面體”體積為

32⑶26

133

a3——a--a,

66

又石凳的高度為50cm,所以原正方體的棱長a=50cm,

所以“阿基米德多面體”體積為|X503(cm3),

106。

又1立方米等于IO,(cn?),所以5^；=9-6>8,

所以一個(gè)體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個(gè)這樣的石凳(不計(jì)損耗)，故B正確；

原正方體的棱長。=50cm,則其外接球的直徑為，又506>70，所以一個(gè)直徑為70cm

的球形石料切割不成該幾何體(不計(jì)損耗)，故C錯(cuò)誤；

設(shè)原正方體的棱長為。，則每個(gè)三棱錐是底面邊長為亞a的正三角形，側(cè)棱長且兩兩

22

互相垂直的三棱錐，設(shè)頂點(diǎn)到正三角形的距離為3

由三棱錐的體積可知父x:=!xgx-^-ax/?,解得=

321,2)23426

所以兩個(gè)對角上的正三角形所在面的距離為耳-2x器”竽a>a,

由題意可知a=50cm,如果“阿基米德多面體”按照圖2放置，則高度為50cm,所以如果將

這個(gè)石凳三角形的那個(gè)面水平放置，石凳的高度為世叵>50,所以高度會(huì)增加，故D正

3

確；

故選：ABD.

15.AD

【分析】由截面直接可判斷AB；然后分別計(jì)算出球形巧克力體積和包裝盒的體積可判斷

CD.

【詳解】由圖知R=3/?，故A正確，B錯(cuò)誤；易知包裝盒的高為2~故匕=燈/?2、2廠=18萬，,

又K=g%，，所以2匕=27乂，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：AD.

16.CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算m,修,連接8。交月C于點(diǎn)M,連接由

匕=VA_EFM+^C-EFM計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)椤闐J_平面AfiCO,FBED,貝ij

X=；皿Sq=卜嗎（2不=#,

23

V2=^FBSAfiC=1-a-1-（2a）=|a,連接83交AC于點(diǎn)V,連接易得

BD1AC,

又皮>_L平面ABC。，ACu平面ABC。，則￡O_LAC,又￡?BD=D,E￡>,u平面5￡>￡尸,

則ACL平面BDEF,

又BM=DM==BD=EI,過尸作尸GJ.3E于G,易得四邊形BDG尸為矩形，則

2

FG=BD=2?,EG=a,

則EM=J（2a）2+（島j=y/6a,FM=,+（缶）2=島，EF=.+（2島丫=3a,

EM2+FM2=EF2,則SEFM=*M-FM=當(dāng)（^,AC=2缶，

則匕=；AC-S".M=2a3,則2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B錯(cuò)

誤；C、D正確.

故選：CD.

17.BD

【分析】對A,舉反例判斷即可；

對B,當(dāng)x=l時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)8重合，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)判斷即可;

對C,直觀想象根據(jù)截面可能的情況判定即可;

對D,根據(jù)線面平行與截面的性質(zhì)舉例當(dāng)x=g,y時(shí)成立判定即可

【詳解】對A,x=y=l時(shí)，截面為矩形，故A錯(cuò)；

對B,當(dāng)x=l時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)5重合，設(shè)過A、P、。三點(diǎn)的平面交。。于則因?yàn)槠矫?/p>

A4Q。〃平面BBCC，故PQ〃AM,且相，尸。，此時(shí)截面為矩形，當(dāng)點(diǎn)2與點(diǎn)G重合

時(shí)面積最大，此時(shí)截面積S=lxa=&,B正確；

對C,截面只能為四邊形、五邊形，故C錯(cuò)；

對D,當(dāng)x=g，）'=:時(shí)，延長旦8交QP延長線于N,畫出截面APQM如圖所示.此時(shí)因

為BP=CP,BN//CQ,故RNBPN三RNCPQ,則8N=CQ=；.由面面平行的截面性質(zhì)可

21

得VAZW:NPCQ,AD=2PC,故MO=2QC=§,此時(shí)用R=§,故MR=BN且MDJ/BN,

故平行四邊形MR8N,故〃。內(nèi)，根據(jù)線面平行的判定可知8R與截面平行，故力正

故選：BD

18.AD

【分析】由線面平行判定定理判斷A,建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法研究垂直的判斷

B,判斷以AC為直徑的球與GB的交點(diǎn)情況，從而判斷C,將面CBG，翻折至與43a共

面，此時(shí)點(diǎn)C與百重合，在平面內(nèi)求兩點(diǎn)間的距離得結(jié)論判斷D.

【詳解】依題作圖，如圖1,并將其補(bǔ)成正方體，如圖2

A：因?yàn)锳C//A?,46<=平面480，4Cg平面A/。，所以AC//平面故A正確.

B：如圖1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA為z軸，

4(0,0,0),C(0,l,0),6(1,0,0),A(0,0』)，c,(0,1,1),5,(1,0,1)

設(shè)BD=/BG，Ae(0,l),則,

CD=(l-A,/l-l,/lMC,=(0,1,1),8-AC,=2/1-1

i1utlll

當(dāng)a二Q時(shí)、CD±AQ,當(dāng)且%￡(0,l)時(shí)co與AC[不垂直，故B錯(cuò)誤.

C：判斷以AC為直徑的球與C乃的交點(diǎn)情況，

如圖3,取AC中點(diǎn)F,則FG=F8=*，F(xiàn)D=QFB。-彌防=AC,

所以以AC為直徑的球與GB沒有交點(diǎn).所以ZAOC<],故C錯(cuò)誤.

D：將面C8C，翻折至與共面，此時(shí)點(diǎn)C與片重合，所以的最小值為4月，

且Ag=G，故D正確.

故選：AD

圖1圖2圖3

19.ACD

【分析】對于A,利用已知條件和圓錐的性質(zhì)判斷即可，對于B,由三角形的面積公式結(jié)合

正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于C,當(dāng)△以B面積最大值時(shí)，AB=2及，從而可求出點(diǎn)C到A8

的距離的最大值，進(jìn)而可求出三棱錐C-B4B的體積最大值，對于D,由題意可得AB4c和

△PBC全等，在△以。中求出sinNAPC,從而可求出PC邊上的高，則可求出MA+MB

的最小值

【詳解】對于A,記圓錐底面圓心