一?題型突破<-->?專題精練一

題型一一元一次方程的定義

1.下列方程中，是一元一次方程的是

A.x2-4x=3B.x=0

C.x+2y=1D.x—1=一

x

【答案】B

【解析】對于A,X2-4X=3的未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，不是一元一次方程，故A錯誤;

對于B,x=0符合一'兀一*次方程的定義，故B正確；

對于C,x+2y=l是二元一次方程，故C錯誤；

對于D,X-1=1，分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故D錯誤.

x

故選B.

【點睛】本題考查了一元一次方程，解答此題明確一元一次方程的定義是關(guān)鍵.一元一次方

程是指只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方

程就叫做一元一次方程.據(jù)此逐項分析再選擇即可.

2.（2019?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）關(guān)于x的方程加/a+（掰_］）x-2=0如果是一元

一次方程，則其解為

【答案】x=2或x=—2或戶-3.

【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可.

【解析】解：：關(guān)于X的方程掰/啟+（加Tx-2=0如果是一元一次方程，

/.2/77-1=1,即加=1或加=0,方程為x-2=0或一x-2=0,

解得：x=2或x=-2,當(dāng)2勿-1=0,即s=L時，方程為‘一!工一2=0解得：戶-3,

222

故答案為戶2或產(chǎn)-2或產(chǎn)-3.

【點睛】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.（2019?四川南充?中考真題）關(guān)于x的一元一次方程2x"-2+掰=4的解為x=l,則。+加

的值為（）

資料整理

A.9B.8C.5D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可.

【解析】解：因為關(guān)于x的一元一次方程2產(chǎn)+片4的解為戶1,

可得：a-2=l,2+s=4,解得：a=3,m=2,所以a+m=3+2=5,故選C.

【點睛】此題考查一元一次方程的定義,關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答.

41

4.(2021?安徽)設(shè)a,b,c為互不相等的實數(shù)，且6=《a+《c,則下列結(jié)論正確的是

()

A.a>b>cB.c>b>aC.a—b=4(b-c)D.a-c=5(a-b)

【答案】D

【分析】

舉反例可判斷A和B,將式子整理可判斷C和D.

【詳解】

41

解：A.當(dāng)a=5,c=10,b=1a+,c=6時，c>b>a,故A錯誤；

41

B.當(dāng)a=10,c=5,b=]a+gc=9時，a>b>c,故B錯誤；

14

C.a-6=4(6-c)整理可得6wc,故C錯誤；

41

D.a-c=5(a-6)整理可得6=1°+鏟，故D正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二解一元一次方程

類型一解方程

V—29x—1

5.(2020?四川涼山?中考真題)解方程：x---------=1------------

23

2

【答案】x”

資料整理

【分析】去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,依此即可求解.

［解析］解：X-?=16x-3（x-2）=6-2（2x-l）

2

6x-3x+6=6-4x+26x-3x+4x=6-6+2lx=2x=-

【點睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、

合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，

各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

6.（2020?涼山州）解方程：尸與^=1+當(dāng)口.

【分析】根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可.

【解析】去分母，得：6x-3（x-2）=6+2（2x-l）,

去括號，得：6x-3x+6=6+4x-2,

移項,得：6x-3x-4x=6-6-2,

合并同類項，得：-x=-2,

系數(shù)化為1,得:x=2.

類型二含參問題

7.（2020*貴州畢節(jié)）如果3ab2m一與9abm+1是同類項，那么）等于（）

A.2B,1C.-1D.0

【答案】A

【解析】根據(jù)同類項的定義得出m的方程解答即可.

根據(jù)題意可得：2m-1=m+1,

解得：m=2

8.（2019?成都）若m+1與-2互為相反數(shù)，則m的值為.

【答案】1

【解析】根據(jù)題意得：m+1-2=0,解得：m=1,故答案為：1.

【點睛】本題考查了解一元一次方程和相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義和一元一次方程的解

法是解題的關(guān)鍵.

41

9.（2021?安徽）設(shè)a,b,c為互不相等的實數(shù)，S.b=-a+-c,則下列結(jié)論正確的是

（）

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A.a>b>cB.c>b>aC.a-b=4(/)-c)D,a—c=5(a—b)

【答案】D

【分析】

舉反例可判斷A和B,將式子整理可判斷C和D.

【詳解】

41

解：A.當(dāng)a=5,c=10,6=1Q+1C=6時，c>b>a,故A錯誤；

41

B.當(dāng)Q=10,c=5,Z?=wa+,c=9時，a>b>c,故B錯誤；

I4

C.Q-6=40-c)整理可得6=(-/故C錯誤；

41

D.Q—C=5(Q—b)整理可得6=14+10,故D正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

x=1

10.(2021?四川涼山彝族自治州?中考真題)已知｛。是方程方+丁=2的解，則a的值

5=3

為.

【答案】-1

【分析】

根據(jù)方程解的定義，將x=1,y=3代入方程ax+y=2,即可求得a的值.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將x=1,y=3代入方程辦+了=2,

得：a+3=2,

解得：a=-1,

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并會把x,y的值代入

原方程驗證二元一次方程的解.

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x=2

11.(2021?浙江金華市?中考真題)已知是方程3x+2〉=10的一個解，則m的值

y=m

是.

【答案】2

【分析】

把解代人方程彳導(dǎo)6+2m=10,轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次方程，求解即可.

【詳解】

x=2

是方程3x+2〉=10的一個解，

y=m

.?.6+2m=10,

解得m=2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運用方程的解的定義，轉(zhuǎn)化為一

元一次方程求解是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?四川廣安市?中考真題)若X、J滿足"一'一:，則代數(shù)式爐―4/的值為

x+2y=3

【答案】-6

【分析】

根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計算即可.

【詳解】

解：：x-2y=-2,x+2y=3,

.-.x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6,

故答案為：-6.

【點睛】

本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點與方程組中兩方程的聯(lián)系

是解題關(guān)鍵.

13.(2021?重慶中考真題)若關(guān)于x的方程4一—^x+。=4的解是x=2,則a的值為

2

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【分析】

將x=2代入已知方程列出關(guān)于a的方程，通過解該方程來求a的值即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，知

解得a=3.

故答案是：3.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的解的定義:使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元

一次方程的解.

題型三閱讀理解、定義、規(guī)律問題

14.(2020?湖北中考真題)對于實數(shù)機，〃，定義運算掰*〃=(加+2)2-2〃.若

2*。=4*(-3),貝i]a=.

【答案】-13

【解析】

【分析】

根據(jù)給出的新定義分別求出2*。與4*(-3)的值，根據(jù)2*a=4*(-3)得出關(guān)于。的一元

一次方程，求解即可.

【詳解】

解：-：m*n=(m+2)2-2n,

二.2*a=(2+2『—2a=16-2a,4*(—3)=(4+2]-2x(—3)=42,

.二2*a=4*(-3),

16—2a=42,解得a=-13,

故答案為：-13.

【點睛】

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本題考查解一元一次方程、新定義下實數(shù)的運算等內(nèi)容，理解題干中給出的新定義是解題的

關(guān)鍵.

15.（2020?湖北恩施？中考真題）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“1,例如：

2^r3=2+3—1=4.如果2"^x=l,則x的值是（）.

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題目中給出的新定義運算規(guī)則進行運算即可求解.

【詳解】

解：由題意知：2'jirx=2+X—1-1+x,

又=1,

1+x=1,

■.x=0.

故選：C.

【點睛】

本題考查了實數(shù)的計算，一元一次方程的解法，本題的關(guān)鍵是能看明白題目意思，根據(jù)新定

義的運算規(guī)則求解即可.

16.（2020?廣西玉林？中考真題）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個數(shù)：2,4,6,8,10,12,...；

若最后三個數(shù)之和是3000,則n等于（）

A.499B.500C.501D.1002

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意列出方程求出最后一個數(shù)，除去一半即為n的值.

【詳解】

設(shè)最后三位數(shù)為x-4,x-2,x.

由題意得:x-4+x-2+x=3000,

解得尸1002.

"=1002+2=501.

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故選c.

【點睛】

本題考查找規(guī)律的題型，關(guān)鍵在于列出方程簡化步驟.

17.（2020,西藏中考真題）觀察下列兩行數(shù)：

I,3,5,7,9,II,13,15,17,…

1,4,7,10,13,16,19,22,25,…

探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1,第2個相同的數(shù)是7,…，若第n個相同的數(shù)是103,貝Un

等于（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1,第2個相同的數(shù)是7,…，第〃個相同的數(shù)是

6（?-1）+1=6?-5,進而可得”的值.

【詳解】

解第1個相同的數(shù)是l=0x6+l,

第2個相同的數(shù)是7=lx6+l,

第3個相同的數(shù)是13=2x6+1,

第4個相同的數(shù)是19=3x6+1,

第〃個相同的數(shù)是6（"-1）+1=6"-5,

所以6〃-5=103,

解得n=18.

答：第〃個相同的數(shù)是103,貝IJ”等于18.

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律,確定出相同數(shù)的差值,從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵.

18.（2020?湖北孝感？中考真題）有一列數(shù)，按一定的規(guī)律排列成;，-1,3,-9,27,

-81,....若其中某三個相鄰數(shù)的和是-567,則這三個數(shù)中第一個數(shù)是.

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【答案】-81

【解析】

【分析】

題中數(shù)列的絕對值的比是-3,由三個相鄰數(shù)的和是-567,可設(shè)三個數(shù)為n,-3n,9n,據(jù)題

意列式即可求解.

【詳解】

題中數(shù)列的絕對值的比是-3,由三個相鄰數(shù)的和是-567,可設(shè)第一個數(shù)是n,則三個數(shù)為n,

-3n,9n

由題意：n+(-3n)+9n=-567,

解得n=-81,

故答案為：-81.

【點睛】

此題主要考查數(shù)列的規(guī)律探索與運用，一元一次方程與數(shù)字的應(yīng)用，熟悉并會用代數(shù)式表示

常見的數(shù)列，列出方程是解題的關(guān)鍵.

19.(2020?揚州)閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題,欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值,

如以下問題：

已知實數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答

案，常規(guī)思路運算量比較大.其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可

以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值,如由①-②可得x-4y=-2,由①+②x2可得7x+5y

=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

解決問題：

2x+\>=7,

(1)已知二元一次方程組｛則x-y=—,x+y=—；

x+2?=8,

(2)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39

支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多

少元？

(3)對于實數(shù)x、y,定義新運算：xy=ax+by+c,其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常

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的加法和乘法運算.已矢口3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

【分析】（1）利用①-②可得出x-y的值，利用:（①+②）可得出x+y的值；

（2）設(shè)鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為。元，日記本的單價為p元，根據(jù)“買20支鉛

筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元”，

即可得出關(guān)于m,n,p的三元一次方程組，由2x①-②可得除m+n+p的值，再乘5即

可求出結(jié)論；

（3）根據(jù)新運算的定義可得出關(guān)于a,b,c的三元一次方程組，由3x①-2x②可得出

a+b+c的值，即1*1的值.

2x+y=7①

【解析】（1）{

x+2y=8(2)

由①-②可得：x-y=-1,

由（（①+②）可得：x+y=5.

故答案為：-1；5.

（2）設(shè)鉛筆的單價為m元，橡皮的單價為n元，日記本的單價為p元,

從際注/日,20m+3n+2p=32①

依題意，得：｛1,

39m+5n+3p-58(2)

由2x①-②可得m+n+p=6,

5m+5n+5p=5x6=30.

答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元.

（3）依題意，得：{,

4a+7b+c=28（2）

由3x①-2x②可得：a+b+c=-11,

即1*1=-11.

故答案為：-11.

20.（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地

磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

［觀察思考］

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時,

等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

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Hl圖2圖3

網(wǎng)律總結(jié)］

(D若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；

(2)若一條這樣的人行道一共有。(。為正整數(shù))塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚

的塊數(shù)為一(用含"的代數(shù)式表示).

［問題解決］

(3)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角

形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

【答案】⑴2；(2)2/7+4；(3)1008塊

【分析】

(1)由圖觀察即可；

(2)由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題干中的條件正

方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；

(3)利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正

方形地磚的數(shù)量.

【詳解】

解：(1)由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

故答案為：2；

(2)由(1)可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當(dāng)正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；

所以當(dāng)?shù)卮u有“塊時，等腰直角三角形地磚有(2〃+4)塊；

故答案為：2〃+4；

(3)令2〃+4=2021貝ij〃=1008.5

當(dāng)〃=1008時，2〃+4=2020

此時，剩下一塊等腰直角三角形地磚

需要正方形地磚1008塊.

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【點睛】

本題為圖形規(guī)律題，涉及到了一元一次方程、列代數(shù)式以及代數(shù)式的應(yīng)用等，考查了學(xué)生的

觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納以及應(yīng)用的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律

等.

題型三一元一次方程的應(yīng)用

類型一等積變形

21.（2020?青海中考真題）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（）

B.x(x-5)

C.TTX82X=TTX62X(X+5)D.7rx82x=TTX62x5

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積”，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.

【詳解】

解：大量筒中的水的體積為：x,

小量筒中的水的體積為：x（x+5）,

則可列方程為："X》=喔卜（x+5）.

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故選A.

【點睛】

本題主要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到題中相等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積

公式列出方程即可.

22.有一個盛水的圓柱體玻璃容器，它的底面直徑為12cm(容器厚度忽略不計)，容器內(nèi)水

的高度為10cm.

(1)如圖1,容器內(nèi)水的體積為cm3(結(jié)果保留工).

(2)如圖2,把一根底面直徑為6cm,高為12cm的實心玻璃棒插入水中(玻璃棒完全淹

沒于水中)，求水面上升的高度是多少？

(3)如圖3,若把一根底面直徑為6cm,足夠長的實心玻璃棒插入水中，求水面上升的高

度是多少？

【答案】⑴360"；⑵3cm；⑶gem

【分析】

(1)結(jié)合題意，根據(jù)圓柱體體積公式計算，即可得到答案；

(2)根據(jù)題意，玻璃棒完全淹沒于水中，即水面上升部分的體積就等于玻璃棒的體積；設(shè)

水面上升的高度為xcm,通過列方程并求解，即可得到答案；

(3)根據(jù)題意，水面上升部分的體積等于玻璃棒淹沒部分的體積，設(shè)水面上升高度為xcm,

通過列方程并求解，即可得到答案.

【詳解】

(1)容器內(nèi)水的體積為汗xl0=360/zcm3

故答案為：360/z-；

(2)設(shè)水面上升的高度為xcm

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根據(jù)題意得："'(葭)xx="x(g)xl2

解得：x=3

二水面上升高度為3cm；

(3)設(shè)水面上升高度為xcm,

水面上升部分的體積為"(5)XX,

玻璃棒淹沒部分的體積為ZTx(g)

x(10+x),

得:

解得：X=—

3

，水面上升高度為5cm.

【點睛】

本題考查了有理數(shù)運算、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含乘方的有理數(shù)混合

運算、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解.

23.兩個圓柱體容器如圖所示，它們的直徑分別為4c加和8c加，高分別為39c加和10c機把容

器一倒?jié)M水,然后將容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面離容器口有多少厘米.

>---------~

容器二

【答案】0.25

【分析】

利用圓柱體積計算公式表示水的體積，根據(jù)水的體積不變即可得到一元一次方程.

【詳解】

設(shè)倒完以后，第二個容器中的水面離容器口有xcm,

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解得x=0.25

答：第二個容器中的水面離容器口有0.25cm.

【點睛】

本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出

之間的相等關(guān)系列方程.

類型二銷售問題

24.（2020?黑龍江牡丹江？中考真題）某種商品每件的進價為120元，標(biāo)價為180元.為了

拓展銷路，商店準(zhǔn)備打折銷售.若使利潤率為20%,則商店應(yīng)打折.

【答案】八

【解析】

【分析】

打折銷售后要保證打折后利率為20%,因而可以得到不等關(guān)系為：利潤率=20%,設(shè)可以打

x折，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式求解即可.

【詳解】

解：設(shè)應(yīng)打x折，

則根據(jù)題意得：（180xxxi0%-120）+120=20%,

解得：x=8.

故商店應(yīng)打八折.

故答案為：

【點睛】

本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系式，同

時要注意掌握利潤率的計算方法.

25.（2020?黑龍江牡丹江?中考真題）某種商品每件的進價為120元，標(biāo)價為180元.為了

拓展銷路，商店準(zhǔn)備打折銷售.若使利潤率為20%,則商店應(yīng)打折.

【答案】八

【分析】打折銷售后要保證打折后利率為20%,因而可以得到不等關(guān)系為：利潤率=20%,

資料整理

設(shè)可以打X折，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式求解即可.

【解析】解：設(shè)應(yīng)打x折，則根據(jù)題意得：（180xxx10%-120）+120=20%,

解得：x=8.故商店應(yīng)打八折.故答案為：A.

【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)

系式，同時要注意掌握利潤率的計算方法.

26.（2020?貴州畢節(jié)？中考真題）某商店換季準(zhǔn)備打折出售某商品，如果按原售價的七五折

出售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈利20元，則該商品的成本為

A.230元B.250元

C.270元D.300元

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)該商品的售價為x元，根據(jù)按原售價的七五折出售，將虧損25元，而按原售價的九折出

售，將盈利20元，列方程求出售價，繼而可求出成本.

【詳解】

設(shè)該商品的售價為x元，

由題意得，0.75x+25=0.9x-20,

解得：x=300,

則成本價為：300x0.75+25=250（元）.

故選B.

【點睛】

考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列

方程求解.

27.（2020?安徽中考真題）某超市有線上和線下兩種銷售方式.與2019年4月份相比.該

超市2020年4月份銷售總額增長10%,其中線上銷售額增長43%.線下銷售額增長4%,

（1）設(shè)2019年4月份的銷售總額為。元.線上銷售額為X元，請用含的代數(shù)式表示2020

年4月份的線下銷售額（直接在表格中填寫結(jié)果）；

資料整理

時間銷售總額（元）線上銷售額（元）線下銷售額（元）

2019年4月份aXa-x

2020年4月份1.1a1.43x

（2）求2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值.

【答案】⑴L04（a-x）；（2）1,

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)增長率的含義可得答案；

（2）由題意列方程1.43x+1.04（a—x）=1.la,求解x即可得到比值.

【詳解】

解：⑴2020年線下銷售額為L04（a-x）元，

故答案為：1.04（tz-x）.

（2）由題意得:1.43x+1.04（tz-x）=l.la,

0.39x=0.06a,

2

x=——a,

13

.-?2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為:

答：2020年4月份線上銷售額與當(dāng)月銷售總額的比值為：

【點睛】

本題考查的列代數(shù)式及一元一次方程的應(yīng)用，掌握列一元一次方程解決應(yīng)用題是解題的關(guān)鍵.

28.（2021?陜西中考真題）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價相同）時，按這種服裝

每件標(biāo)價的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價降低30元銷售11件的銷售

額相等.求這種服裝每件的標(biāo)價.

【答案】這種服裝每件的標(biāo)價是110元

【分析】

設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價是x元，根據(jù)題意列出方程進行求解即可.

資料整理

【詳解】

解：設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價是X元，根據(jù)題意，得

10x0.8x=ll(x-30),

解得x=110；

答：這種服裝每件的標(biāo)價是110元.

【點睛】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

29.(2021?重慶中考真題)某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B

產(chǎn)品，去年兩個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出.已知>4產(chǎn)品的銷售單價比B產(chǎn)品的

銷售單價高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價和為500元.

(1)鼠B兩種產(chǎn)品的銷售單價分別是多少元？

(2)隨著5G時代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進入了快速發(fā)展時期.今年，該工廠計劃依托工業(yè)

互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間.預(yù)計A產(chǎn)品在售價不變的情況下

產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%,但B產(chǎn)品的銷售

單價將提高3a%.則今年A、8兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加

29

一a%.求a的值.

25

【答案】(1)A產(chǎn)品的銷售單價為300元，B產(chǎn)品的銷售單價為200元；(2)20

【分析】

(1)設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價為(x+100)元，根據(jù)題意列出方

程解出即可；

(2)設(shè)去年每個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意根據(jù)題意列出方程

300(1+a%>t+200(1+3a%)?*1—a%)=500/11+解出即可；

【詳解】

解：(1)設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價為(x+100)元.

根據(jù)題意，得

x+(x+100)=500.

解這個方程，得x=200.

則x+100=300.

資料整理

答：A產(chǎn)品的銷售單價為300元，B產(chǎn)品的銷售單價為200元.

（2）設(shè)去年每個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意，得

300（l+a%）1+200（l+3a%）.*l-a%）=500/（l+||a%）

設(shè)a%=m,則原方程可化簡為5加之-m=0.

解這個方程，得叫■，加2=0（舍去）.

:.a=20.

答：a的值是20.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元二次方程.

30.（2020?山西中考真題）2020年5月份，省城太原開展了“活力太原?樂購晉陽”消費

暖心活動，本次活動中的家電消費券單筆交易滿600元立減128元（每次只能使用一張）某

品牌電飯煲按進價提高50%后標(biāo)價，若按標(biāo)價的八折銷售，某顧客購買該電飯煲時，使用

一張家電消費券后，又付現(xiàn)金568元.求該電飯煲的進價.

【答案】該電飯煲的進價為580元

【解析】

【分析】

根據(jù)滿600元立減128元可知,打八折后的總價減去128元是實際付款數(shù)額，即可列出等式.

【詳解】

解：設(shè)該電飯煲的進價為x元

根據(jù)題意，得（l+50%）x-80%—128=568

解，得x=580.

答；該電飯煲的進價為580元

【點睛】

資料整理

本題主要考察了打折銷售知識點，準(zhǔn)確找出它們之間的關(guān)系列出等式方程是解題關(guān)鍵.

31.(2020?福建中考真題)某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元,

銷售價為10.5萬元；乙特產(chǎn)每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元.由于受有關(guān)條件限制,

該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售量之和都是100噸，且甲特產(chǎn)的銷售量都不超過20噸.

(1)若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、

乙兩種特產(chǎn)各多少噸？

(2)求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤.

【答案】(1)甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；(2)26萬元.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)這個月該公司銷售甲特產(chǎn)x噸，則銷售乙特產(chǎn)(100-x)噸，根據(jù)題意列方程解答；

(2)設(shè)一個月銷售甲特產(chǎn)加噸，則銷售乙特產(chǎn)(100-加)噸，且05加三20,根據(jù)題意列

函數(shù)關(guān)系式w=(10.5-10)m+(1.2-1)(100-m)=0.3加+20,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.

【詳解】

解：(1)設(shè)這個月該公司銷售甲特產(chǎn)x噸，則銷售乙特產(chǎn)(100-x)噸，

依題意，得10x+(100—x)=235,

解得x=15,貝IJIOO—x=85,

經(jīng)檢驗x=15符合題意，

所以，這個月該公司銷售甲特產(chǎn)15噸，乙特產(chǎn)85噸；

(2)設(shè)一個月銷售甲特產(chǎn)加噸，則銷售乙特產(chǎn)(100-加)噸，Ji0<m<20.

公司獲得的總利潤w=(10.5-10>z+(1.2-1)(100-m)=0.3m+20,

因為0.3>0,所以w隨著加的增大而增大，

又因為0vm<2Q,

所以當(dāng)加=20時，公司獲得的總利潤的最大值為26萬元，

故該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)能獲得的最大總利潤為26萬元.

【點睛】

此題考查一元一次方程的實際應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、應(yīng)用意識,

資料整理

考查函數(shù)與方程思想，正確理解題意，根據(jù)問題列方程或是函數(shù)關(guān)系式解答問題.

類型三行程問題

32.（2023?廣西?模擬預(yù)測）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著

作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十

二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12

天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240x+150x=150x12B.240x-150x=240x12

C.240x+150x=240x12D.240x-150x=150x12

【答案】D

（分析］設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)路程=速度x時間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，

此題得解.

【詳解】解：設(shè)快馬X天可以追上慢馬，

依題意，得：240x-15Qx=l50x12.

故選：D.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方

程是解題的關(guān)鍵.

33.（2022?湖南常德）小強的爸爸平常開車從家中到小強奶奶家，勻速行駛需要4小時，

某天，他們以平常的速度行駛了十的路程時遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米/小時，

到達奶奶家時共用了5小時，問小強家到他奶奶家的距離是多少千米？

【答案】240千米

【分析】平常速度行駛了g的路程用時為2小時，后續(xù)減速后用了3小時，用遇到暴雨前

行駛路程加上遇到暴雨后行駛路程等于總路程這個等量關(guān)系列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小強家到他奶奶家的距離是x千米，則平時每小時行駛:千米，減速后每小

時行駛千米，由題可知：遇到暴雨前用時2小時，遇到暴雨后用時5-2=3小時，

則可得：2X：+3（＞20）=X,解得:x=240,

答：小強家到他奶奶家的距離是240千米.

【點睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用中的行程問題，直接設(shè)未知數(shù)法，找到準(zhǔn)確的等量關(guān)

系，列出方程正確求解是解題的關(guān)鍵.

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34.(2020?寧夏中考真題)“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗

從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距

離y(m)與步行時間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段4S—BC—所示.

(1)小麗與小明出發(fā)min相遇；

(2)在步行過程中，若小明先到達甲地.

①求小麗和小明步行的速度各是多少？

②計算出點C的坐標(biāo)，并解釋點C的實際意義.

【答案】⑴30；(2)①小麗步行的速度為80m/min,小明步行的速度為100m/min；②

點0(54,4320),點c表示：兩人出發(fā)54min時，小明到達甲地，此時兩人相距4320m.

【解析】

【分析】

(1)直接從圖像獲取信息即可；

(2)①設(shè)小麗步行的速度為匕m/min,小明步行的速度為匕m/min,且匕＞匕，根據(jù)

圖像和題意列出方程組，求解即可；

②設(shè)點C的坐標(biāo)為(X"),根據(jù)題意列出方程解出x,再根據(jù)圖像求出y即可，再結(jié)合兩人

的運動過程解釋點C的意義即可.

【詳解】

(1)由圖像可得小麗與小明出發(fā)30min相遇，

故答案為：30；

(2)①設(shè)小麗步行的速度為匕m/min,小明步行的速度為％m/min,且匕〉匕，

[30匕+30匕=5400

則[(67.5—30)匕=30匕’

資料整理

匕=80

解得：

匕=100'

答：小麗步行的速度為80m/min,小明步行的速度為100m/min；

②設(shè)點。的坐標(biāo)為（xj）,

則可得方程(100+80)(x—30)+80(67.5-%)=5400,

解得x=54,

>=(100+80)(54-30)=4320m,

二點0(54,4320),

點C表示：兩人出發(fā)54min時，小明到達甲地，此時兩人相距4320m.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次方程的實際應(yīng)用，從圖像獲取信息是解題

關(guān)鍵.

35.（2020?吉林長春？中考真題）已知8兩地之間有一條長240千米的公路.甲車從/

地出發(fā)勻速開往B地，甲車出發(fā)兩小時后，乙車從B地出發(fā)勻速開往/地，兩車同時到達

各自的目的地.兩車行駛的路程之和歹（千米）與甲車行駛的時間X（時）之間的函數(shù)關(guān)系

如圖所示.

⑴甲車的速度為千米/時，。的值為

⑵求乙車出發(fā)后，》與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

⑶當(dāng)甲、乙兩車相距100千米時，求甲車行駛的時間.

1323

【答案】(1)40,480；(2)y=lOOx-120；(3)二小時或不小時

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圖象可知甲車行駛2行駛所走路程為80千米，據(jù)此即可求出甲車的速度；進而求

資料整理

出甲車行駛6小時所走的路程為240千米，根據(jù)兩車同時到達各自的目的地可得

a=240x2=480；

（2）根據(jù)題意直接運用待定系數(shù)法進行分析解得即可；

（3）由題意分兩車相遇前與相遇后兩種情況分別列方程解答即可.

【詳解】

解：（1）由題意可知，甲車的速度為：80+2=40（千米/時）；

a=40x6x2=480,

故答案為：40；480；

（2）設(shè)J與X之間的函數(shù)關(guān)系式為了=履+6,

由圖可知，函數(shù)圖象過點（2,80）,（6,480）,

'2k+b=80左=100

所以＜解得＜

64+6=4806=-120

所以歹與x之間的函數(shù)關(guān)系式為j=100x-120；

（3）兩車相遇前：80+100（x-2）=240-100

13

解得：X=y

兩車相遇后：80+100（x-2）=240+100

23

解得：x=y

答：當(dāng)甲、乙兩車相距100千米時，甲車行駛的時間是1小時或1小時.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

類型四希望工程

36.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十

書》之一.書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩

量之，不足一尺.木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將

繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設(shè)木長x尺，則可列方程為（）

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A.~(x+4.5)=x-1B.~(x+4.5)=x+1

C.~(x+1)=x-4.5D.~(x-1)=x+4.5

【答案】A

【分析】設(shè)木長x尺，根據(jù)題意“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折

再量長木，長木還剩余1尺”，列出一元一次方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)木長x尺，根據(jù)題意得，

~(x+4.5)—x-1,

故選：A.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

37.(2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題)《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長短.引繩度之，

余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？"(尺、寸是長度單位，1尺=10寸).意

思是，現(xiàn)有一根長木，不知道其長短.用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子

對折再度量長木，長木還剩余1尺.問長木長多少？設(shè)長木長為x尺，則可列方程為()

A..](x+4.5)=x-1B.](x+4.5)=x+l

C.-4.5)=x+lD.-4.5)=x-1

【答案】A

【分析】設(shè)長木長為x尺，則繩子長為(尤+4.5)尺，根據(jù)“將繩子對折再度量長木，長木還

剩余1尺”，可列出方程.

【詳解】設(shè)長木長為x尺，則繩子長為(x+4.5)尺，根據(jù)題意，得

；(x+4.5)=x-l

故選：A.

【點睛】本題考查一元一次方程解決實際問題，理解題意，找出等量關(guān)系列出方程是解題的

關(guān)鍵.

38.(2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題)“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞

兔各幾何”是《孫子算經(jīng)》卷中著名數(shù)學(xué)問題.意思是：雞兔同籠，從上面數(shù)，有35個頭；

從下面數(shù)，有94條腿.問雞兔各有多少只？若設(shè)雞有x只，兔有了只，則所列方程組正確

的是()

資料整理

\x+y=35\x+y=35\x+y=94卜+>=94

A，14x+2y=94B，12x+4y=94。14x+2y=35[2x+4j=35

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由設(shè)雞有x只，兔有了只，則由等量關(guān)系有35個頭和有94條腿列出方

程組即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)雞有x只，兔有V只，則由題意可得

\x+y=35

[2x+4j=94'

故選：B.

【點睛】本題考查列二元一次方程組解決古代數(shù)學(xué)問題，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程組

是解決問題的關(guān)鍵.

39.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一

道題：良馬日行二百四十里，雞馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何日追及

之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，弩馬先行12天，快馬幾天可追上慢

馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）

xx+12_xx

A.-----=--------B.-----=--------12

240150240150

c.240（x-12）=150xD.240x=150（x+12）

【答案】D

【分析】設(shè)快馬尤天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得240x=150（x+12）

故選：D.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

40.（2020?內(nèi)江）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子

一條索，索比竿子長一托.折回索子卻量竿，卻比竿子短一托其大意為：現(xiàn)有一根竿和

一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5

尺.設(shè)繩索長x尺.則符合題意的方程是（）

A.g=（x-5）-5B.牙=（x+5）+5

C.2x=（x-5）-5D.2x=（x+5）+5

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［分析】設(shè)繩索長X尺，則竿長（x-5）尺，根據(jù)“將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5

尺”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解.

【解析】設(shè)繩索長X尺，則竿長（x-5）尺，

依題意，得：?=（x-5）-5.

故選：A.

41.（2019?甘肅）中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，其中《孫

子算經(jīng)》中有個問題，原文：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？

譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終

剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？

【答案】共有39人，15輛車.

【解析】設(shè)共有x人，

根據(jù)題意得：土+2=土上，

32

去分母得：2x+12=3x-27,

解得：x=39,

則共有39人，15輛車.

【名師點睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

類型五其他問題

42.（2022?四川自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20。，則這個底角的度

數(shù)為（）

A.30°B,40°C,50°D,60°