年武漢市洪山中學(xué)高三數(shù)學(xué)5月二?？荚嚲?024.05.16一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知為虛數(shù)單位，且與互為共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．直線，直線，給出下列命題：①，使得；

②，使得；③，與都相交；

④，使得原點(diǎn)到的距離為.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④3．函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．4．同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記“甲骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件，“乙骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為事件，“甲、乙兩骰子至少出現(xiàn)一個(gè)正面向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”為事件，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．互為獨(dú)立事件 B．為互斥事件C． D．5．空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（

）A． B． C． D．6．如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的最大值為A． B．C．2 D．7．設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)A，直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若F恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分.共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．水車是我國(guó)勞動(dòng)人民創(chuàng)造發(fā)明的一種灌溉工具，作為中國(guó)農(nóng)耕文化的組成部分，充分體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，見證了中國(guó)農(nóng)業(yè)文明．水車的外形酷似車輪，在輪的邊緣裝有若干個(gè)水斗，借助水勢(shì)的運(yùn)動(dòng)慣性沖動(dòng)水車緩緩旋轉(zhuǎn)，將水斗內(nèi)的水逐級(jí)提升．如圖，某水車輪的半徑為米，圓心距水面的高度為米，水車按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)圈，當(dāng)其中的一個(gè)水斗到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，設(shè)水車轉(zhuǎn)動(dòng)（分鐘）時(shí)水斗距離水面的高度（水面以上為正，水面以下為負(fù)）為（米），下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．若水車的轉(zhuǎn)速減半，則其周期變?yōu)樵瓉?lái)的 D．在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，水斗距離水面高度不低于米的時(shí)間為秒10．斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大利數(shù)學(xué)家列昂納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引人,故又稱為“兔子數(shù)列”,在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列滿足:,.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇數(shù)C． D．被4除的余數(shù)為011．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．存在點(diǎn)Q，使B，N，P，Q四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)Q，使平面MBNC．過(guò)Q，M，N三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的取值范圍為D．經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分.共15分.12．已知從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若這組數(shù)據(jù)的極差是其第30百分位數(shù)的7倍，則a的值為.13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為.14．如圖，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，.過(guò)橢圓上一點(diǎn)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn).由球和圓的幾何性質(zhì)可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，已知.(1)求證：；(2)若D為AB的中點(diǎn)，且，，求的面積.16．在正四棱柱中，為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)．(1)證明：為的中點(diǎn)；(2)若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．17．已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說(shuō)明理由.18．已知函數(shù).(1)求證:當(dāng)時(shí)，;(2)已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（i）求證:;（ii）求證:是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).19．在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過(guò)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為．(1)試求，，，的值；(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)．試求，與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p，q；②計(jì)算，歐拉函數(shù)；③求正整數(shù)k，使得kq除以的余數(shù)是1；④其中稱為公鑰，稱為私鑰．已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．1．D【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，與互為共軛復(fù)數(shù)，，所以.故選：D.2．C【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，解之可判斷①；利用兩直線垂直可求得實(shí)數(shù)的值，可判斷②；取可判斷③；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷④.【詳解】對(duì)于①，若，則，該方程組無(wú)解，①錯(cuò)；對(duì)于②，若，則，解得，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，此時(shí)，、重合，③錯(cuò)；對(duì)于④，直線的方程為，若，使得原點(diǎn)到的距離為，則，整理可得，，方程有解，④對(duì).故選：C.3．B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷的奇偶性，從而得解.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，從而ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.4．B【分析】計(jì)算，看，是否相等，即可判定A選項(xiàng)：觀察事件A，B是否可以同時(shí)發(fā)生，可判定B選項(xiàng)；用條件概率的公式可計(jì)算其概率，即可判定C選項(xiàng)；用對(duì)立事件可算出事件C的概率，則D選項(xiàng)可判定.【詳解】，，，從而互為獨(dú)立事件，A正確；可以同時(shí)發(fā)生，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確.故選:B.5．D【分析】求出，利用空間向量夾角余弦公式求出，進(jìn)而求出，再利用距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，所以，所以點(diǎn)A到直線BC的距離.故選：D.6．B【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由意可知：，據(jù)此可得：，則：，目標(biāo)函數(shù)：，其中為直線系的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題同時(shí)考查平面向量基本定理和線性規(guī)劃中的最值問題.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，值最小；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．7．B【分析】構(gòu)造函數(shù)、和，其中，利用導(dǎo)數(shù)得到它們的單調(diào)性即可比較出三者大小關(guān)系.【詳解】由已知可得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先對(duì)進(jìn)行合理變形得，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、和，利用它們的單調(diào)性即可比較三者大小關(guān)系.8．A【分析】首先設(shè)的中點(diǎn)，由點(diǎn)差法得，再根據(jù)重心的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立求得橢圓的離心率，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為點(diǎn)，，兩式相減得，化解得，即，得，所以，，，由F恰好為的重心，則，即，得，，即，，所以，則，平方后得，，即，解得：或，由條件，得，即，得，所以.

故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了求離心率的方法，①可以直接求出求出離心率，②由條件構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，即可求解離心率.9．AD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由題意得，如圖，軸，，點(diǎn)經(jīng)過(guò)分鐘后到達(dá)點(diǎn)，則為點(diǎn)到水面的距離，且，因?yàn)槊糠昼娹D(zhuǎn)2圈，所以，得角速度，故，又，所以，所以，即.故A正確，B錯(cuò)誤；若水車的轉(zhuǎn)速減半，則每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)圈，所以周期變?yōu)樵瓉?lái)的倍，因此C錯(cuò)誤；令，得，解得或，Z，當(dāng)時(shí)，或，即旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中(30s)，有s，水斗A距離水面高度低于7米，所以有s的時(shí)間不低于7米，故D正確.故選：AD.10．BCD【分析】A:直接法寫出第8項(xiàng)即可;B:數(shù)列有3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)的規(guī)律,用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;C:只需證明即可,用數(shù)學(xué)歸納法證明;D:用數(shù)學(xué)歸納法證明6的倍數(shù)項(xiàng)為4的倍數(shù)即可.【詳解】解:由題知,關(guān)于選項(xiàng)A,,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)B,3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí)滿足為偶數(shù),為奇數(shù),③當(dāng)時(shí),,為奇數(shù),為偶數(shù),,為奇數(shù),為偶數(shù),為奇數(shù),,為奇數(shù),為偶數(shù),為奇數(shù),故3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)得證,2023項(xiàng)是非3的倍數(shù)項(xiàng),故選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C,有成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí)滿足成立,③當(dāng)時(shí),成立,滿足規(guī)律,故,令,則有成立,故選項(xiàng)C正確;關(guān)于選項(xiàng)D,有能被4整除成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí),滿足③當(dāng)時(shí),能被4整除得證,,能被4整除得證,故選項(xiàng)D正確.故選:BCD11．ABD【分析】作出過(guò)的截面判斷選項(xiàng)A；取中點(diǎn)為，證明其滿足選項(xiàng)B；當(dāng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定截面的形狀，引入?yún)?shù)(如)計(jì)算出面積后可得取值范圍，判斷選項(xiàng)C，過(guò)與底面平行的平面截正方體得出的下半部分為長(zhǎng)方體，其外接球也是過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球，由此求得球半徑，得表面積，判斷選項(xiàng)D．【詳解】選項(xiàng)A，連接，正方體中易知，分別是中點(diǎn)，則，所以，即四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時(shí)滿足B，N，P，Q四點(diǎn)共面，A正確；

選項(xiàng)B，如圖，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，則與平行且相等，是平行四邊形，所以，又是中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正確；

選項(xiàng)C，正方體中，分別是中點(diǎn)，則，在上，如圖，作交于，連接，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為所過(guò)三點(diǎn)的截面，由正方體的對(duì)稱性可知梯形與梯形全等，由面面平行的性質(zhì)定理，，從而有，由正方體性質(zhì)，設(shè)，，則，，是中點(diǎn)，，則，所以，同理，，，，梯形是等腰梯形，高為，截面面積，設(shè)，，，在上遞增，，，所以，C錯(cuò)；

選項(xiàng)D，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則是正四棱柱（也是長(zhǎng)方體），它的外接球就是過(guò)四點(diǎn)的球，所以球直徑為，半徑為，表面積為，D正確．

故選：ABD．12．6【分析】確定極差，求出第30百分位數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合題意列式求解，即得答案.【詳解】由題意知這組數(shù)據(jù)的極差是，由于，故第30百分位數(shù)為，故，故答案為：613．【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)探討單調(diào)性，求解不等式作答.【詳解】令函數(shù)，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：14．【分析】設(shè)兩球的球心距離為，通過(guò)圓錐的軸截面進(jìn)行分析，根據(jù)兩球半徑可求得；利用三角形相似可求得，進(jìn)而得到；利用橢圓離心率可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點(diǎn)，則，，過(guò)作，垂足為，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以圓錐為載體，考查了橢圓的定義和幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)作出圓錐的軸截面，利用軸截面中的線段垂直關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系，根據(jù)橢圓離心率構(gòu)造出關(guān)于球心距離的方程.15．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由，利用兩角和與差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解；（2）由D為AB的中點(diǎn)，得到，再兩邊平方得到CA，CB的一個(gè)關(guān)系式，由，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB的一個(gè)關(guān)系式，然后利用（1）的結(jié)論求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?；?）因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，且，，所以，兩邊平方得，，即，又，即，由（1）知，解得，又，且，所以，則.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角確定點(diǎn)位置，再由空間向量法求二面角．【詳解】（1）如圖，連接，，在正四棱柱中，由與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，是中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)（），則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，得，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，平面的一個(gè)法向量是，平面即為平面，則，二面角為銳角，因此其余弦值為．17．(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進(jìn)而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷作答.【詳解】（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.（2）為定值，且，因?yàn)?，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡(jiǎn)得：，且又因?yàn)樵跈E圓上，即，即，，從而，，又因?yàn)椴辉谥本€上，則有，即，所以為定值，且.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．18．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】(1)在條件下利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，在時(shí)利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，由此完成證明；(2)（i）利用證明極值點(diǎn)偏移的方法證明，再結(jié)合基本不等式證明；（ii）根據(jù)(1)證明，結(jié)合切線方程證明.【詳解】（1）①當(dāng)，即證，令，令，則當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，則有當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所