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6.1微分方程的基本概念第六章

微分方程—積分問題—微分方程問題推廣引例1.一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.引例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解:設(shè)列車在制動后t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為說明:利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.即求s

=s(t).稱為常微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(n階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n階常微分方程的形式是的階.含有一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方差或引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.例3.驗證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:這說明是方程的解.是兩個獨立的任意常數(shù),利用

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