四川省三臺中學(xué)2023-2024學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/C0=ln尤+公+人的圖象在點（La+?處的切線方程是y=3x-2,貝！匕=（）

A.2B.3C.-2D.-3

2.在關(guān)于％的不等式依2+2x+l>0中，“a>l”是“℃2+2%+1>0恒成立，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.等腰直角三角形與等邊三角形ABO中，ZC=90°,BD=6,現(xiàn)將△ABD沿3。折起，則當(dāng)直線40與平

面所成角為45。時，直線AC與平面48。所成角的正弦值為（）

V2

Vz?----

.V.2

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

5.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

A.1C.3D.4

f（2）<12

6.已知函數(shù)一?其中OOK4?<c<，記函數(shù)j7滿足條件：為事件A,則事件A

/（一2）S4

發(fā)生的概率為

15

A.-B.-

48

C.-D.-

82

7.等差數(shù)列｛?“｝中，已知3a5=76°,且q<0,則數(shù)列｛4｝的前“項和S,（〃eN*）中最小的是（）

A.$7或$8B.幾C.幾D.S14

8.已知正方體ABCD-ABCiR的體積為丫，點M,N分別在棱8月，CQ上，滿足AM+MN+A@最小，則四

面體AMNR的體積為（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

9.設(shè)函數(shù)/（勸=個:，則y=/（x）,句的大致圖象大致是的（）

10.如圖，正三棱柱ABC-4與￡各條棱的長度均相等，。為441的中點，M,N分別是線段8片和線段CG的動點

（含端點），且滿足BM=GN,當(dāng)M,N運動時，下列結(jié)論中不氐確的是

Ci

D

（

0

A.在ADACV內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面Z）AWJ_平面5CC4

C.三棱錐A-DMN的體積為定值

D.ADACV可能為直角三角形

11.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，

設(shè)計兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為Pl,P2,則（）

115

A.P1?P2=—B.P1=P2=_C.Pl+P2=—D.Pi<P2

436

\5

12.+mx2的展開式中X5的系數(shù)是-10,則實數(shù)m=（

7

A.2B.1C.-1D.-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校初三年級共有500名女生，為了了解初三女生1分鐘“仰臥起坐”項目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計了所有女生1分鐘“仰臥

起坐，，測試數(shù)據(jù)（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，貝也分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生有

_____________個.

14.在平面直角坐標系中，雙曲線土-y2=i的一條準線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為

4-

15.運行下面的算法偽代碼，輸出的結(jié)果為S=.

S—0

FortFrom1To10Step1

&+D

EniFbr

PrintS

16.已知實數(shù)x,y滿足y"W一廠’則％+y的取值范圍是____.

[y>o,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在及AABC中，ABC=90.tanNACB=L.已知E,F分別是BC,AC的中點.將AC￡F沿所折

2

起，使C到C的位置且二面角C'—跖―3的大小是60。，連接C'8CA,如圖：

(1)證明：平面AEC'，平面ABC'

(2)求平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

18.(12分)語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的“小愛同學(xué)，，智能音箱和阿里巴巴的，，天貓精靈，，智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了

了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精

靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：

“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計

男4560105

女554095

合計100100200

(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性

比購買“天貓精靈”的女性多多少人？

(2)根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？

附：y=_______"(ad-bcf_____

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P（K>k）0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

x=3+2cosOL

19.(12分)已知曲線C的參數(shù)方程為，..(二為參數(shù))，以直角坐標系原點為極點，以x軸正半軸為極軸并

y=l+2sinaf

取相同的單位長度建立極坐標系.

(1)求曲線C的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；

(2)若直線I的極坐標方程為sin，-2cos，=工，求曲線C上的點到直線I的最大距離.

P

20.(12分)已知函數(shù)/'(x)=lnx-/nx-療eR).

(1)討論函數(shù)/(%)的極值；

⑵記關(guān)于x的方程+=0的兩根分別為p,q(p<q),求證：ln〃+lnq>2.

21.(12分)在AABC中，角AB,C所對的邊分別為a,b,C,若,"=(a,6-c),?=(sinA-sinB,sinB+sinC),

p=(1,2),且加J_〃.

(1)求角C的值；

(2)求a一p的最大值.

〃.「

22.(10分)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且asin(A+3)=csin-------.

2

(1)求A；

(2)若AABC的面積為若，b+c=5,求AABC的周長.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)/'⑴=3求出a=2,再根據(jù)(l,a+圻也在直線y=3x-2上，求出b的值，即得解.

【詳解】

因為/(x)=L+a,所以尸(1)=3

x

所以l+a=3,a=2,

又(1,。+力也在直線y=3x-2上，

所以a+b=l,

解得a=23=-1,

所以a-Z>=3.

故選：B

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

2、C

【解析】

討論當(dāng)。>1時，依2+2%+1>。是否恒成立；討論當(dāng)加+2%+1>0恒成立時，。>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)。>1時，A=4—4a<0,由y=aX2+2x+l開口向上，則必?+2%+1>()恒成立；

當(dāng)依2+2%+1>0恒成立時，若。=0,則2x+l>0不恒成立，不符合題意，

a>0

若a/0時，要使得ar?+2x+l>0恒成立，貝！)/八，即。>1.

AA=4-4?<0

所以“a>1”是“就2+2%+1>0恒成立”的充要條件.

故選:C.

【點睛】

本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時，一般分成兩步，若。=4,則推出。

是q的充分條件；若qnp,則推出。是q的必要條件.

3、A

【解析】

設(shè)E為50中點，連接AE、CE,過A作AOLCE于點0,連接。0,得到NADO即為直線AO與平面所成角

的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到NCLE即為直線AC與平面45。所成角，進而求得其正弦值，得

到結(jié)果.

【詳解】

設(shè)E為3。中點，連接AE、CE,

由題可知CELBD,所以瓦），平面AEC,

過A作AOLCE于點0,連接。0,則40,平面BDC,

所以ZADO即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，

所以sin/ADO=^=也，可得40=3后，

2AD

在/\AOE中可得0E—3,

又0C,BD=3,即點。與點C重合，此時有AC,平面3C。,

2

過C作與點八

又平面AEC,所以8DLCF,所以。尸，平面

從而角ZCAE即為直線AC與平面ABD所成角，sinZCAE=式=\=擔(dān),

AE3^33

故選：A.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平

面角的定義，屬于中檔題目.

4、A

【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積.

【詳解】

幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，

I2

則該幾何體的體積為：—><1x1x2=—.

33

故選：A.

【點睛】

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

5,A

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐

如圖

該幾何體為三棱錐A-6CD,長度如上圖

所以SAMBO=5由=；*1><2=1,5刖=3x1x1=；

3

所以SMCO=2x2—一^ADEC-S^fiCN一萬

所以^A-BCD=J,S岫CD,=1

故選：A

【點睛】

本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長

方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.

6、D

【解析】

/(2)<124+2b+c<12由圖可知，P（A）=1.

由｛得《,分別以dc為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,

/(-2)<44—2b+cK4

7、C

【解析】

設(shè)公差為d,則由題意可得3(G+4d)=7(4+9d),解得d=-萼，可得an=(55；：〃)%.令言占<0,可得當(dāng)

“之14時，4〉0,當(dāng)〃W13時，4<0,由此可得數(shù)列｛4｝前〃項和S"(“eN*)中最小的.

【詳解】

解：等差數(shù)列｛4｝中，已知3%=7%,,且％<0,設(shè)公差為d,

則3(4+44)=7(4+94),解得d=—粵，

,…(55-4n)a

/.a=a,+(n-l)a=--------L.

51

55—4〃55

令之——<0,可得〃>三，故當(dāng)“之14時，an>0,當(dāng)〃W13時，4<0,

514

故數(shù)列｛4｝前〃項和Sn(“eN*)中最小的是無.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

8、D

【解析】

由題意畫出圖形,將MN,ND,所在的面延它們的交線展開到與AM所在的面共面,可得當(dāng)BBi,C】N=；QC時

aV

AM+MN+NR最小，設(shè)正方體AG的棱長為3a,得/=一,進一步求出四面體AMNR的體積即可.

【詳解】

解:如圖,

?:息M,N分別在棱831,CG上，要AM+MN+AQ最小，將MN,NR所在的面延它們的交線展開到與所在的面

共面，AM,ACV,A?1三線共線時，AM+MN+ND^/^,

設(shè)正方體AG的棱長為九,則27a3=V，

取BG=；BC,連接NG,則AGNR共面,

在AANR中，設(shè)N到ADJ的距離為4,

AD]=J(3Q)2+(3Q)2=3y/2a,

D[N=J(3Q)2+a2=y/10a,

AN=J(3"Z)2+(2J)2=痙

10/+22/—18/7

cos/D[NA-

2-y[\^a-

.-.sinZDlW=^^,

2>/55

ii3、府c

2

/.SADNA=-DNANsinZDNA=-AD△—a

2]ii]2i]i2

設(shè)M到平面AGND］的距離為h.,

^M-AGN=

匕-MGN

76a

HQ=~?—

V19

?v13曬。2X6a_3“3」

,,vAMND]—X----------------

32M9

故選D.

【點睛】

本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問題，考查計算能力，是中檔題.

9、B

【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點/|,/(萬)的函數(shù)值符號排除選項D和選項C

即可求解.

【詳解】

對于選項A:由題意知，函數(shù)/(力的定義域為R,其關(guān)于原點對稱,

因為-曾一⑴，

(-X)+1X+1

所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故選A排除；

萬2

對于選項D:因為了門〉。,故選項D排除;

對于選項C：因為〃丁)=%一s,(％)二0,故選項二排除;

故選:B

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點

并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

10>D

【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項利用線面垂直的判定定理；

C項三棱錐A的體積與三棱錐N-4。/體積相等，三棱錐N-ADM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;

B項，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面DMN±平面BCC[B],故正確;

C項，當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運動時,△AiDM的面積不變,N到平面AjDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐Ai-DMN的體積為定值，故正確；

D項，若△DMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BCi,而此時DM,DN的長大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯誤.

故選D

【點睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

11、C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，Pi=-；

6

所以Pl+P2=—

6

故選C.

【點睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

利用通項公式找到V的系數(shù)，令其等于一10即可.

【詳解】

__!5_555

二項式展開式的通項為&]=G（X2）5-（如2丫="。5%2’2,令萬一5=5,得r=3,

則看=加。05=一10%5,所以用叱=_10,解得m=一J.

故選：C

【點睛】

本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù)，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、325

【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出X=0.02,再求出1分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.

【詳解】

解：(0.015+x+0.035+x+0.01)-10=1,

x=0.02.

則1分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為[1-(0.015+0.02)-10]-500=325.

故答案為：325.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

24

14、一

13

【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準線方程，求出三角形的頂點的坐標，然后求解面積.

【詳解】

22

解：雙曲線C：雙曲線土—匕=1中a=2,b=3,c=岳,

49

r2v24

則雙曲線L-匕=1的一條準線方程為》=—=.,

49cV13

雙曲線的漸近線方程為：＞=±|》，

可得準線方程與雙曲線。的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點的坐標(京，壺)，(卡，一卡),

14c624

則二角形的面積為5XX2X=可.

24

故答案為：—

13

【點睛】

本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

10

15、——

11

【解析】

模擬程序的運行過程知該程序運行后計算并輸出S的值，用裂項相消法求和即可.

【詳解】

模擬程序的運行過程知,該程序運行后執(zhí)行：

1111

s二-----+------+------+???+

1x22x33x410x11

111111

++???+

23341011

=1--

11

10

11

故答案為:F

【點睛】

本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

16、

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，即可由直線的平移方法求得x+y的取值范圍.

【詳解】

由題意，畫出約束條件表示的平面區(qū)域如下圖所示,

令2=光+九貝［］y=_x+z

如圖所示，圖中直線所示的兩個位置為y=-x+z的臨界位置，

根據(jù)幾何關(guān)系可得y=-X+Z與y軸的兩個交點分別為(0,-1),(0,72),

所以尤+V的取值范圍為［-1,72］.

故答案為：［-1,夜］

【點睛】

本題考查了非線性約束條件下線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，由數(shù)形結(jié)合法求線性目標函數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)45。

【解析】

(1)設(shè)AC'的中點為G,連接尸G,設(shè)6C的中點為H,連接GH,EH,從而N5EC'即為二面角C'—EE—5的

平面角，ZBEC=60，推導(dǎo)出即，BC',從而EEL平面BEC',則ABLEH,即EH_LAB,進而石平

面ABC',推導(dǎo)四邊形EHG歹為平行四邊形，從而FG〃￡H,尸G,平面A5C',由此即可得證.

(2)以3為原點，在平面跖?！羞^3作8E的垂線為x軸，5E為y軸，R4為z軸建立空間直角坐標系，利用向量

法求出平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

【詳解】

(1)???b是AC的中點，二AE=C'E.

設(shè)AC'的中點為G,連接尸G.

設(shè)的中點為“，連接GH,EH.

易證：CE±EF,BEYEF,

N5EC即為二面角C-EF-B的平面角.

/.ZBEC=60，而E為的中點.

易知BE=EC,：.ABEC'為等邊三角形，：.EH工BC.①

'：EF±CE,EF上BE,C'E\BE=E,：.EF上平面BEC.

而所〃AB,，平面BEC',，EH,即EHLAB.②

由①②，BC'AB=3,平面ABC'.

?:G,H分別為AC',5C'的中點.

二四邊形EHG歹為平行四邊形.

J.FG//EH,產(chǎn)G,平面ABC',又FGu平面AFC'.

平面AFC±平面ABC.

(2)如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2.

則A(0,0,2),6(0,0,0),E(2,0,l),E(2,0,0),C(l,6o)

顯然平面BEC的法向量m=(0,0,1),

設(shè)平面AFC'的法向量為五=（%，y，z）,AC=—2）,AF=（2,0,-1）,

2x-z=0

x+s/3y-2z=0

m-nA/2

cosm,n=—―j—=——,

2

由圖形觀察可知，平面AFC與平面BEC'所成的二面角的平面角為銳角.

...平面AFC與平面BEC所成的二面角大小為45。.

【點睛】

本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通常可采用幾何方法和向量方法兩種進行

求解.

18、（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購買“小

愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；

（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出R2,與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人,

由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，

估計購買“小愛同學(xué)”的女性有空22x55=7150人.

100

估計購買“天貓精靈”的女性有超四x40=4800人.

100

則7150-4800=2350,

...估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.

2

⑵由題可知，^=200X(45X40-60X55)=45II>384I>

105x95x100x100

...有95%的把握認為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【點睛】

本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應(yīng)用，考查計算能力.

19、(1)22-62cos8-2夕sin9+4=0,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓；(2)+2

【解析】

(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標系方程(尤-3)2+(y-1)2=4,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程得到答案.

(2)直線方程為y-2x=l,計算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.

【詳解】

x=3+2cosa,、2,、2

(1)\，即(x—3)一+(,—1一=4,化簡得至！J：x2+y2-6x-2y+4=0.

y=l+zsino'''''

即0?-6夕cos9-2夕sin9+4=0,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓.

[66/s

(2)sin，—2cos，=一,即v—2x=l,圓心到直線的距離為1=_三=

PV55

故曲線C上的點到直線/的最大距離為4+「=述+2.

5

【點睛】

本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，直線和圓的距離的最值，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

20、(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)機討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；

(2)，4是方程/(可+加2/=。的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

(1)依題意，八功」-吁2,島」一—一27島:(1+的"2如)；

XXX

若加=0,則/'(x)=L>0,則函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

X

此時函數(shù)/(X)既無極大值，也無極小值；

若根>0,則l+mx>0,令/'(%)=。，解得%=^—,

2m

故當(dāng)犬￡(0,，_)時，f(x)>09/(x)單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)光￡(，—,+8)時，r(X)<0,/(X)單調(diào)遞減，

2m

此時函數(shù)/(九)有極大值/(，一)=In，一-7〃?，一-療(，一)2=In，一-g,無極小值;

2m2m2m2m2m4

若加<0,貝!]1—2mx>0,令/'(x)=0,解得x=—工，

m

故當(dāng)xe(0,—工)時，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

m

當(dāng)xe(—工,+8)時，/V)<0,/(尤)單調(diào)遞減，

m

此時函數(shù)/(九)有極大值/無極小值;

m

(2)依題意，lnx—mx=0,貝！)lnp=M7p,lnq=mq,

故Inq-lnp=m(q_p),Inp+lnq=m{p+q)；

要證：lnp+Inq>2,即證7〃(p+q)>2,

In47-In/?、-,q2(q-p)

即證：———~(zp+q)>2,即證InZ〉i',

q—pPP+Q

設(shè)旦只需證：Inf>共二DQ>1),

Pt+1

設(shè)g?)=lnt—則g'Q)=^^>0，

t+it(t+iy

故g(f)在(i,+⑹上單調(diào)遞增，故g(7)>g(l)=0,

即In」〉20°,故In夕+Inq>2.

/+1

【點睛】

本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.

證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式/(X)>g(x)的基本

方法：

⑴若與g(尤)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)