湖南省株洲市茶陵縣茶陵三中2024屆高一下數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量滿足.為坐標(biāo)原點(diǎn)，.曲線，區(qū)域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．2．設(shè)，則比多了（）項(xiàng)A． B． C． D．3．已知三角形為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)滿足，若，則（）A． B． C． D．4．三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=23，VC=1，則二面角V-AB-CA．30° B．45° C．60° D．90°5．在三棱錐中，平面，，，點(diǎn)M為內(nèi)切圓的圓心，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．某防疫站對學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學(xué)共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人7．如圖，為了測量山坡上燈塔的高度，某人從高為的樓的底部處和樓頂處分別測得仰角為，，若山坡高為，則燈塔高度是（）A． B． C． D．8．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上是單調(diào)遞減的是（）A．y=-cosx B．y=lgx9．若變量滿足約束條件則的最大值為()A．4 B．3 C．2 D．110．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知無窮等比數(shù)列滿足：對任意的，，則數(shù)列公比的取值集合為__________．12．把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，則所得的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為________13．若是三角形的內(nèi)角，且，則等于_____________．14．?dāng)?shù)列中，，以后各項(xiàng)由公式給出，則等于_____.15．如圖，在圓心角為，半徑為2的扇形AOB中任取一點(diǎn)P，則的概率為________.16．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知三角形的三個頂點(diǎn)，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.18．如圖，求陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．19．已知向量滿足，且向量與的夾角為.（1）求的值；（2）求.20．已知在三棱錐S-ABC中，∠ACB=，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥平面SBC.21．已知角、的頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，且角的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）的交點(diǎn)位于第二象限，角的終邊和單位圓的交點(diǎn)位于第三象限，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.（1）求、的值；（2）若，求的值.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

不妨設(shè)，由得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)，再由是兩段分離的曲線，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出的取值.【詳解】不妨設(shè)則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因?yàn)閰^(qū)域，所以區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點(diǎn)所以，即故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的應(yīng)用以及由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題.2、C【解析】

可知中共有項(xiàng)，然后將中的項(xiàng)數(shù)減去中的項(xiàng)數(shù)即可得出答案.【詳解】，則中共有項(xiàng)，所以，比多了的項(xiàng)數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出等式中的項(xiàng)數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3、D【解析】

用三角形的三邊表示出，再根據(jù)已知的邊的關(guān)系可得到關(guān)于的方程，解方程即得?！驹斀狻坑深}得，，，整理得，化簡得，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，是常考題型。4、C【解析】

取AB中點(diǎn)O,連結(jié)VO,CO,由等腰三角形的性質(zhì)可得，VO⊥AB,CO⊥AB,∠VOC是二面角V-AB-C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角的平面角V-AB-C的度數(shù).【詳解】取AB中點(diǎn)O,連結(jié)VO,CO,∴三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2,AB=23所以VO⊥AB,CO⊥AB∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角，VO=VCO=B∴cos∴∠VOC=60∴二面角V-AB-C的平面角的度數(shù)為60°【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的性質(zhì)、二面角的求法，屬于中檔題.求二面角的大小既能考查線線垂直關(guān)系，又能考查線面垂直關(guān)系，同時可以考查學(xué)生的計(jì)算能力，是高考命題的熱點(diǎn)，求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標(biāo)系，這種方法優(yōu)點(diǎn)是思路清晰、方法明確，但是計(jì)算量較大；二是傳統(tǒng)方法，求出二面角平面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面角.5、C【解析】

求三棱錐的外接球的表面積即求球的半徑，則球心到底面的距離為，根據(jù)正切和MA的長求PA，再和MA的長即可通過勾股定理求出球半徑R，則表面積.【詳解】取BC的中點(diǎn)E，連接AE（圖略）.因?yàn)椋渣c(diǎn)M在AE上，因?yàn)?，，所以，則的面積為，解得，所以.因?yàn)椋?設(shè)的外接圓的半徑為r，則，解得.因?yàn)槠矫鍭BC，所以三棱錐的外接球的半徑為，故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵點(diǎn)通過題干信息畫出圖像，平面ABC和底面的內(nèi)切圓圓心確定球心的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求解即可，屬于三棱錐求外接球半徑基礎(chǔ)題目．6、D【解析】由分層抽樣的辦法可知在名學(xué)生中抽取的男生有，故女生人數(shù)為，應(yīng)選答案D．7、B【解析】

過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中由正弦定理求得，在中求得，從而求得燈塔的高度．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高為，則燈塔的高度是．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的應(yīng)用和正弦定理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．8、C【解析】

先判斷各函數(shù)奇偶性，再找單調(diào)性符合題意的即可?！驹斀狻渴紫瓤梢耘袛噙x項(xiàng)D，y=e然后，由圖像可知，y=-cosx在(0,+∞)上不單調(diào)，y=lg只有選項(xiàng)C：y=1-x【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性和單調(diào)性。9、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】作出約束條件，所對應(yīng)的可行域（如圖陰影部分）變形目標(biāo)函數(shù)可得，平移直線可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線的截距最小，代值計(jì)算可得取最大值故選B.【點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.10、C【解析】

直接利用余弦定理的應(yīng)用求出A的值，進(jìn)一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判斷出三角形的形狀．【詳解】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．則：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC為等邊三角形．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)條件先得到：的表示，然后再根據(jù)是等比數(shù)列討論公比的情況.【詳解】因?yàn)?，所以，即；取連續(xù)的有限項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，不妨令，則，且，則此時必為整數(shù)；當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，符合，此時公比；當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，不符合；故：公比.【點(diǎn)睛】本題考查無窮等比數(shù)列的公比，難度較難,分析這種抽象類型的數(shù)列問題時，經(jīng)常需要進(jìn)行分類，可先通過列舉的方式找到思路，然后再準(zhǔn)確分析.12、，【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的對稱中心，得到答案.【詳解】由題意，把函數(shù)的圖像上各點(diǎn)向右平移個單位，可得，再把圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，可得，把函?shù)縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，可得，令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對稱中心的求解，其中解答中熟練三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】∵是三角形的內(nèi)角，且，∴故答案為點(diǎn)睛：本題是一道易錯題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.14、【解析】

可以利用前項(xiàng)的積與前項(xiàng)的積的關(guān)系，分別求得第三項(xiàng)和第五項(xiàng)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，數(shù)列中，，且，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，其中解答中熟練的應(yīng)用遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，求出圓心角扇形區(qū)域的面積，進(jìn)而設(shè)，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得滿足的區(qū)域，求出其面積，代入幾何概率的計(jì)算公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則則扇形的面積為設(shè)若，則有，即；則滿足的區(qū)域?yàn)槿鐖D的陰影區(qū)域，直線與弧的交點(diǎn)為，易得的坐標(biāo)為，則陰影區(qū)域的面積為故的概率故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，涉及數(shù)量積的計(jì)算，屬于綜合題．16、【解析】

對去絕對值，得，再求得的前項(xiàng)和，代入=20即可求解【詳解】由題的前n項(xiàng)和為的前20項(xiàng)和，代入可得.故答案為：260【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，去絕對值是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】

（1）先求出BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【詳解】（1）由題得BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、，【解析】

由圖形知旋轉(zhuǎn)后的幾何體是一個圓臺,從上面挖去一個半球后剩余部分,根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)可求出其表面積和體積.【詳解】由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺下底面、側(cè)面和一個半球面，而半球面的表面積，圓臺的底面積，圓臺的側(cè)面積，所以所求幾何體的表面積；圓臺的體積，半球的體積，所以,旋轉(zhuǎn)體的體積為，故得解.【點(diǎn)睛】本題考查組合體的表面積、體積,還考查了空間想象能力,能想象出旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)體的構(gòu)成是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)，得到，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及（1）的結(jié)果，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，且向量與的夾角為，所以，即.（2）由（1）可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記模的計(jì)算公式，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.20、證明見解析【解析】

先由SA⊥面ABC，得BC⊥SA，又BC⊥AC，得BC⊥面SAC，故BC⊥AD，又SC⊥AD，所以AD⊥面SBC.【詳解】證明：因?yàn)镾A⊥面ABC，BC面ABC