湖南省寧鄉(xiāng)一中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0 B．C．2 D．2．在中，已知三個內(nèi)角為，，滿足，則（）．A． B．C． D．3．函數(shù)()的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A．1 B． C． D．4．如圖，在平行六面體中，M，N分別是所在棱的中點，則MN與平面的位置關(guān)系是（）A．MN平面B．MN與平面相交C．MN平面D．無法確定MN與平面的位置關(guān)系5．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A．8歲 B．11歲 C．20歲 D．35歲6．己知向量，.若，則m的值為()A． B．4 C．- D．-47．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．若直線與圓交于兩點，關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的值域為，且圖像在同一周期內(nèi)過兩點，則的值分別為（）A． B．C． D．10．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列的公比為，它的前項積為，且滿足，，，給出以下四個命題：①；②；③為的最大值；④使成立的最大的正整數(shù)為4031；則其中正確命題的序號為________12．已知等比數(shù)列的公比為2,前n項和為,則=______.13．若三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.14．若關(guān)于的方程（）在區(qū)間有實根，則最小值是____．15．已有無窮等比數(shù)列的各項的和為1，則的取值范圍為__________．16．函數(shù)的定義域________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)向量、滿足，，.（1）求的值；（2）若，求實數(shù)的值.18．已知，.（1）求；（2）求.19．某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2018年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中一項是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪收入在人民幣1.65萬元到2.35萬元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率分布直方圖：（1）為感謝同學(xué)們對這項調(diào)查工作的支持，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人，各贈送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，各贈送某款智能手機(jī)1部，求獲贈智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬元的概率；（2）同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表.（i）求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（ii）該校在某地區(qū)就業(yè)的本科畢業(yè)生共50人，決定于2019國慶長假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會，并收取一定的活動費用，有兩種收費方案：方案一：設(shè)Ω=[x-s-0.018,x+s+0.018)，月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間方案二：按每人一個月薪水的3%收??；用該校就業(yè)部統(tǒng)計的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費方案能收到更多的費用？參考數(shù)據(jù)：174≈13.220．在△ABC中，D為BC邊上一點，，設(shè)，.（1）試、用表示；（2）若，，且與的夾角為60°，求及的值.21．已知向量，且（1）當(dāng)時，求及的值；（2）若函數(shù)的最小值是，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由題得z=x2+4y2-3xy≥4xy-3xy=xy(x,y,z>0),即z≥xy,≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時等號成立,則x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.當(dāng)y=1時,x+2y-z有最大值2.故選C.2、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【詳解】由正弦定理，以及，得，不妨取，則，又，.故選：C.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

由三角函數(shù)的圖象求得，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圖象可知，，即，所以，即，又因為，則，解得，又由，所以，所以，又因為，所以圖中的最高點坐標(biāo)為.結(jié)合圖象和已知條件可知，所以，故選D.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

取的中點，連結(jié)，可證明平面平面，由于平面，可知平面.【詳解】取的中點，連結(jié)，顯然，因為平面，平面，所以平面，平面，又，故平面平面，又因為平面，所以平面.故選C.【點睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了線面平行、面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

九個兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．【詳解】由題意九個兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．記最小的兒子年齡為a1，則S9=9故選B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵正確理解題意，能用數(shù)列表示題意并求解．6、B【解析】

根據(jù)兩個向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，由于，所以，解得.故選B.【點睛】本小題主要考查兩個向量垂直的坐標(biāo)表示，考查向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到，計算得到答案.【詳解】，則，即.故或，即.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.8、A【解析】

由題意，得直線是線段的中垂線，則其必過圓的圓心，將圓心代入直線，即可得本題答案．【詳解】解：由題意，得直線是線段的中垂線，所以直線過圓的圓心，圓的圓心為，，解得.故選：A.【點睛】本題給出直線與圓相交，且兩個交點關(guān)于已知直線對稱，求參數(shù)的值．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

先利用可求出的值，再利用、兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值為周期的一半，計算出周期，再由可計算出的值，從而可得出答案．【詳解】由題意可知，，、兩點橫坐標(biāo)之差的絕對值為周期的一半，則，，因此，，，故選C．【點睛】本題考查三角函數(shù)的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據(jù)題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對稱中心點和最高、最低點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，若選擇對稱中心點，還要注意函數(shù)在該點附近的單調(diào)性．10、C【解析】

首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因為為正方體，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構(gòu)造三角形或平行四邊形是關(guān)鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②③【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，得出，進(jìn)而判斷②③④，即可得到答案.【詳解】①中，由等比數(shù)列的公比為，且滿足，，，可得，所以，且所以是錯誤的；②中，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以是正確的；③中，由，且，，所以前項之積的最大值為，所以是正確的；④中，，所以正確.綜上可得，正確命題的序號為②③.故答案為：②③.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.12、【解析】由等比數(shù)列的定義，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，得＋1＋q＋q2=.13、【解析】

由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【詳解】解：由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】

將看作是關(guān)于的直線方程，則表示點到點的距離的平方，根據(jù)距離公式可求出點到直線的距離最小，再結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，可求出最小值。【詳解】將看作是關(guān)于的直線方程，表示點與點之間距離的平方，點到直線的距離為，又因為，令，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為．【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式以及對勾函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的的應(yīng)用。15、【解析】

根據(jù)無窮等比數(shù)列的各項和表達(dá)式，將用公比表示，根據(jù)的范圍求解的范圍.【詳解】因為且，又，且，則.【點睛】本題考查無窮等比數(shù)列各項和的應(yīng)用，難度一般.關(guān)鍵是將待求量與公比之間的關(guān)系找到，然后根據(jù)的取值范圍解決問題.16、.【解析】

根據(jù)反正弦函數(shù)的定義得出，解出可得出所求函數(shù)的定義域.【詳解】由反正弦的定義可得，解得，因此，函數(shù)的定義域為，故答案為：.【點睛】本題考查反正弦函數(shù)的定義域，解題的關(guān)鍵就是正弦值域的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可計算出的值；（2）由轉(zhuǎn)化為，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求出實數(shù)的值.【詳解】（1）在等式兩邊平方得，即，即，解得；（2），，即，解得.【點睛】本題考查利用平面向量的模求數(shù)量積，同時也考查了利用平面向量數(shù)量積來處理平面向量垂直的問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），（2）【解析】

（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得和的值，可得的值（2）由題意利用二倍角公式，求得原式子的值．【詳解】（1）∵已知，，，∴則（2）【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式、二倍角公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）23；（2）（i）2，0.0174【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出前2組中的人數(shù)，由分層抽樣得抽取的人數(shù)，然后把6人編號，可寫出任取2人的所有組合，也可得出獲贈智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬元的所有組合，從而可計算出概率．（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算出均值和方差，然后求出區(qū)間Ω，結(jié)合頻率分布直方圖可計算出兩方案收取的費用．【詳解】（1）第一組有0.2×0.1×100=2人，第二組有1.0×0.1×100=10人.按照分層抽樣抽6人時，第一組抽1人，記為A，第二組抽5人，記為B，C，D，E，F(xiàn).從這6人中抽2人共有15種：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F).獲贈智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬元的10種：(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F).于是獲贈智能手機(jī)的2人月薪都超過1.75萬元的概率P=10（2）（i）這100人月薪收入的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別是s2（ii）方案一：s=月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)收活動費用約為(0.02+0.10)×400×50÷10000=0.24（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω收活動費用約為(0.24+0.31+0.20)×600×50÷10000=2.25（萬元）；月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)收活動費用約為(0.09+0.04)×800×50÷10000=0.52（萬元）；、因此方案一，這50人共收活動費用約為3.01（萬元）.方案二：這50人共收活動費用約為50×0.03?x故方案一能收到更多的費用.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查分層抽樣，考查古典概型．屬于基礎(chǔ)題．這類問題在計算均值、方差時可用各組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點處的值作為這組數(shù)據(jù)的估計值參與計算．20、（1）（2），【解析】

（1）用表示，再用，表示即可；（2）由向量數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：（1）因為，所以，又，，所以；（2），，且與的夾角為60°，所以，則，，故.【點睛】本題考查了向量的減法運(yùn)算，重點考查了向量數(shù)量積運(yùn)算及模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.21、（1），（2）.【解析】

（1）