第5講橢圓

［考綱解讀］1.掌握兩種求橢圓方程的方法：定義法、待定系數(shù)法，并能根據(jù)其標(biāo)

準(zhǔn)方程及幾何圖形研究橢圓的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）.（重點(diǎn)）

2.掌握直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，并能求解直線與橢圓相關(guān)的綜合問(wèn)題.（難點(diǎn)）

［考向預(yù)測(cè)］從近三年高考情況來(lái)看，本講為高考的必考內(nèi)容.預(yù)測(cè)2021年將會(huì)

考查：①橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解；②直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用；③求解與橢圓性

質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題.試題以解答題的形式呈現(xiàn)，靈活多變、技巧性強(qiáng)，具有一定的區(qū)

分度，試題中等偏難.

基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

1.橢圓的定義

（1）定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)E,F2的距離的3和等于02常數(shù)（大于1人B1）的點(diǎn)

的軌跡（或集合）叫橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做03焦距.

（2）集合語(yǔ)言：P={M\\MFi|+\MF2\=02a,且2a心>因乃|},\FIF2\=2C,其中

a>c>0,且a,c為常數(shù).

注：當(dāng)2a>|尸i尸2|時(shí),軌跡為橢圓;當(dāng)2a=|尸1尸2|時(shí)，軌跡為線段環(huán)段當(dāng)2a<\FiF2\

時(shí)，軌跡不存在.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方|+^=1(?>&>0)%+提=1(。泌>0)

程

市

.…一.....

圖形

oC叨2fill。bl'B2x

范

—ciWxWa,—bWyWb—bWxWb,—aWyWa

圍

性

對(duì)

質(zhì)

稱對(duì)稱軸：X軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)

性

隹八'、

Fi(-c,0),尸2(c,0)Fi(0,—c),F2(0,C)

點(diǎn)

頂Ai(—6/,0),A2(a,0)；Ai(0,—a),A2(0,a)；

點(diǎn)5i(0,-b),史(0,b)Bi(—b,0),B2(b,0)

軸線段A1A2,分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸;長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2〃，短軸長(zhǎng)為2b

隹八、、

\FIF2\=2C

距

離

心e=.且e?(0,l)

率

a,

b,c

的c2=a1—b2

關(guān)

系

3.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷

直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉》得到4爐+3%+。=0的形式(這里的系

數(shù)A一定不為0),設(shè)其判別式為/：

(1)/>0臺(tái)直線與橢圓01相交；

(2)/=0臺(tái)直線與橢圓02相切；

(3M<0臺(tái)直線與橢圓03相離.

4.弦長(zhǎng)公式

(1)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A(xi,yi),3(x2,yi),

則|A3|=Q]A/I+^IXI—X2|=O2AJl+p|yi-y2|.

(2)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)03當(dāng)，最長(zhǎng)為嗎%.

5.必記結(jié)論

?2

⑴設(shè)橢圓$+5=1(。>0>0)上任意一點(diǎn)P(x,y),則當(dāng)x=0時(shí)，|。尸|有最小值

b,P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x=±a時(shí)，|OP|有最大值a,尸點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處.

（2）已知過(guò)焦點(diǎn)Fi的弦AB,則AABF2的周長(zhǎng)為4a.

固*診斷自測(cè)

1.概念辨析

（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)為，放的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（）

（2）方程如？+“,2=]_（m＞o,〃＞0且加W”）表示的曲線是橢圓.（）

（3）橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)Fi,仍構(gòu)成△PAR2的周長(zhǎng)為2a+2c（其中a為橢圓

的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距）.（）

?丫2-y-2

（4）”+中=1（。＞。＞0）與，+京=1（。＞。＞0）的焦距相同.（）

答案（1）X（2）V（3）V（4）V

2.小題熱身

72

⑴橢圓方+彳=1的離心率是（）

A呼B坐

C.|D.|

答案B

解析由已知得a=3,b=2,所以°=,2_/=弋32—2?=小,離心率e=^=

在

3'

（2）已知橢圓C：5+奈=1（外力＞0）,若長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為6,且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三

等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

B-9+i=1

D-^+il=1

答案B

解析由題意，得1^=/2a=6,解得a=3,c=l,則1＞=732—12=乖,所

?2

以橢圓C的方程為卷十卷=1.故選B.

yo

?2

(3)若方程一一十二一=1表示橢圓，則m的取值范圍是_______.

m一2o-m

答案2<相<6且加W4

Cm—2>0,

解析方程三+4=1表示橢圓臺(tái)16一機(jī)>0,

m~2b-m

Im—2T^6—m,

解得2<m<6且mW4.

(4)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足Nx2+(>+7)2+Nx2+(y—7>=i6,則動(dòng)點(diǎn)尸的

軌跡方程為.

解析由已知得點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,—7)和3(0,7)的距離之和為16,且16>|A3|,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以A(0,-7),3(0,7)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16的橢圓.顯然。=8,

22

c=7,故。2=/—02=15,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為器十言=1.

-----------經(jīng)典題型沖關(guān)------------

題型一橢圓的定義及應(yīng)用

【舉例說(shuō)明】

1.過(guò)橢圓曰+產(chǎn)=1的左焦點(diǎn)為作直線/交橢圓于A,3兩點(diǎn)，仍是橢圓右焦

點(diǎn)，則△ABR2的周長(zhǎng)為()

A.8B.472

C.4D.2y[2

答案A

解析因?yàn)闄E圓為。+產(chǎn)=1,所以橢圓的半長(zhǎng)軸。=2,由橢圓的定義可得AB

+AF2=2tz=4,且3八+3場(chǎng)=2。=4,所以△ABB的周長(zhǎng)為A3+AR2+3R2=(ARI

+AF2)+(BFi+BF2)=4a=8.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓]+曰=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(l,l),

3(0,-1),則|必|十|尸3|的最大值為()

A.5B.4

C.3D.2

答案A

解析如圖，:?橢圓］十a(chǎn)=1,.?.焦點(diǎn)坐標(biāo)為3(0,-1)和3'(0,1),連接PS',

AB1,根據(jù)橢圓的定義，得IPBI+IPB'|=2。=4,可得|PB|=4一|依'因此理|

+\PB\=\R\\+(4~\PB'|)=4+(|B4|-|PB/|).

'：\PA\~\PB'|^|A5ZI，

/.|fi4|+|PB|<4+|A5/|=4+1=5.

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AV的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，可得|必|十『3|的最大值為5.

?2

3.(2019?九江模擬)仍是橢圓5+^=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，

且NARLF2=45。，則△ABB的面積為()

7

A.7B，

C.|D.平

答案C

解析由題意，得。=3,b=巾,c=^2,\AFi|+|AF2|=6./.IAF2I=6-\AFi\.

2222

在△ABF2中，|AF2|=\AF\|+|FIF2|-2\AF\\?|FIF2|?cos45°=\AF\|-4|AFi|+8,/.

(6-|AFI|)2=|AFI|2-4|AFI|+8,解得四11=半：.AAFiFz的面積S=；X,X26X坐

_7

=2'

【據(jù)例說(shuō)法】

利用定義解焦點(diǎn)三角形問(wèn)題及求最值的方法

解焦點(diǎn)利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓

三角形的定義、正弦定理或余弦定理.其中|PE|+|PE|=2a兩邊平方是常用

問(wèn)題技巧.見(jiàn)舉例說(shuō)明3

抓住IPBI與歸網(wǎng)之和為定值，可聯(lián)系到基本不等式求IPKHPR2I的最值；

求最值利用定義|PA|十|PR2|=2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值.見(jiàn)舉

例說(shuō)明2

【鞏固遷移】

1.如圖所示，一圓形紙片的圓心為。，R是圓內(nèi)一定點(diǎn)，般是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，

把紙片折疊使〃與R重合，然后抹平紙片，折痕為8,設(shè)8與0M交于點(diǎn)P,

則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.圓

答案A

解析由題意得|PF|=|MP|,所以|尸。|+|「網(wǎng)=|。。|+|〃尸|=阿。|〉|。川，即點(diǎn)尸

到兩定點(diǎn)。，R的距離之和為常數(shù)（圓的半徑），且此常數(shù)大于兩定點(diǎn)的距離，所以

點(diǎn)P的軌跡是橢圓.

2.（2019?安徽皖江模擬）已知Fi,g是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C：?1（。＞。＞0）

的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則△PRLF2面積的最大值為.

答案2

解析解法一：:△PBR2的面積為,PB||PR2|-sinNRiPR2司

.又2。=4,，a2=4,.?.△PBR2面積的最大值為2.

解法二：由題意可知2a=4,解得。=2.當(dāng)P點(diǎn)到人八距離最大時(shí)，S△尸R1R2

最大，此時(shí)P為短軸端點(diǎn)，

SAPFlF2=^-2c-b=bc.

又222

a=b-\-c=4,bcW—2o=2

.?.當(dāng)b=c=/時(shí)，△PRLF2面積最大，為2.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程多角探究

【舉例說(shuō)明】

角度1定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知A（一0）,3是圓卜一m2+12=4（R為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段A3的垂

直平分線交BF于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

目

答案+-X1

X2-3

4

解析如圖，由題意知陷=|尸3|,|尸網(wǎng)+出產(chǎn)|=2.所以陷+|尸川=2且陷+

1c3

\PF\>\AF\,即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A,R為焦點(diǎn)的橢圓，<7=1,c=2，.所以動(dòng)

X

3

點(diǎn)P的軌跡萬(wàn)程為-

4

9角度2待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)卜|,|）,（小,

小），則橢圓方■程為.

答案W+f=1

解析設(shè)橢圓方程為mx2+72y2=l（m>0,n>0且m^ri）.由已知得

9,251

揖+W"=1,解得

6-“=告，所以橢圓方程為言十\=L

3八+5〃=1,

【據(jù)例說(shuō)法】

1.定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義確定反的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程.見(jiàn)舉例

說(shuō)明I.其中常用的關(guān)系有:

(1)Z?2=(22—c2；

(2)橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2〃；

(3)橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)

2,待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的四步驟

降而QJ”—家?guī)炷隙欢恢笪膊缵A工丁云冥?

［作；斷.在y軸上，還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能：

昌力根季上述判斷設(shè)方程:「+>|(">6冽,$|

------：+'=l(a>/?0)或血42+22=1(欣>0,〃>0,且771中正

［找1系)~~f——「還三莢:箴箱向：

:7:..............................................

［得方程H蔣標(biāo)荏又而喪》雇，而得原泵1

提醒：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為mx2+ny2=l(m>0,n>Q,m乎n)

可簡(jiǎn)記為“先定型，再定量”.見(jiàn)舉例說(shuō)明2.

【鞏固遷移】

1.與圓Ci：(x+3)2+y2=1外切，且與圓02：(》-3)2+,2=81內(nèi)切的動(dòng)圓圓

心P的軌跡方程為.

答案1+《口

解析設(shè)動(dòng)圓的半徑為廣，圓心為P(x,y),則有|PCi|=r+l,|PC2|=9—兀

所以|PCi|+|PQ|=10>|CiQ|,

所以點(diǎn)P的軌跡是以Ci(—3,0),。2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，點(diǎn)P的

22

軌跡方程為氣=1.

ZJ1O

2.(2019?武漢調(diào)研)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)仍在x軸上，PQ,小)

是橢圓上一點(diǎn)，且|PRi|,\F2F2\,『外|成等差數(shù)列，則橢圓方程為.

答案(+6=1

解析：橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)歹2在X軸上，

22

???可設(shè)橢圓方程為3十%=1(。>。>0)，:尸(2,小)是橢圓上一點(diǎn)，且IPEI,尸典,

|PB|成等差數(shù)列,

4

1,

CT又/=。2+°2,...。=2理，匕=加，。=也，.?.橢圓方程為?

2〃=4c,

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

【舉例說(shuō)明】

x2

1.已知橢圓U+.1=l(a>0>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓谷十丁―6%+8=0的圓心，且

短軸長(zhǎng)為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為()

A.(-3,0)B.(-4,0)

C.(-10,0)D.(—5,0)

答案D

解析由已知得，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),故c=3,又因?yàn)?0=8,6=4,

所以次=/+°2=16+9=25.故。=5.所以橢圓的左頂點(diǎn)為(-5,0).

22

2.已知R1,尸2分別是橢圓，+$=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)人且垂直于x

軸的直線與橢圓交于A,3上下兩點(diǎn)，若△ABB是銳角三角形，則該橢圓的離心

率e的取值范圍是()

A.(0,72-1)B.(72-1,1)

C.(0,73-1)D.(73-1,1)

答案B

72

解析Fi,凡分別是橢圓定+%=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)人且垂直于x

軸的直線與橢圓交于A,3上下兩點(diǎn)，，Ri(—c,0),R2(c,0),A(—c,—M,

/

一

2色<

"?AABF2是銳角三角形，/.NAR2A<45。，/.tanZAF2FI<1,整理，得

b2<2ac,.,.a2—c2<2ac,兩邊同時(shí)除以/,并整理，得e2+2e—l>0,解得e>啦一

1或e<—6一1(舍去)，...0<e<l,...橢圓的離心率e的取值范圍是(啦一1,1).

RJ1

3.(2019?合肥質(zhì)檢)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓疝+次=1的離心率e=1,F,

A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則而?戌的最大值為

答案4

c1

解析由題意知。=2,因?yàn)閑=z=],所以c=l,/=。2一°2=3.故橢圓方程

92

為了十全=1.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo).所以一2WxoW2,一小WyoW小.因?yàn)镕(—1,0),

A(2,0),PF=(—1—xo,—yo),PA=(2—xo,—yo),所以而?。了="一乂)-2+>8=：

xo+l=；(xo—2)2.則當(dāng)xo=-2時(shí)，而?戌取得最大值4.

【據(jù)例說(shuō)法】

1.利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧

(1)注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系

在求與橢圓有關(guān)的一些范圍問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到X,y的范圍，離心率的范圍等

不等關(guān)系.見(jiàn)舉例說(shuō)明3.

(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧

求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，理清頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等基本量

的內(nèi)在聯(lián)系.見(jiàn)舉例說(shuō)明1.

2.求橢圓離心率的方法

(1)直接求出a,c,利用離心率公式e=：求解.

(2)由a,b,c之間的關(guān)系求離心率，可以利用變形公式e=1—?求解.也

可以利用戶=次一°2消去乩得到關(guān)于a,c的方程或不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e

的不等式再求解.如舉例說(shuō)明2.

(3)由橢圓的定義求離心率.e=》=1^,而2a是橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距

離之和，2c是焦距，從而與焦點(diǎn)三角形聯(lián)系起來(lái).

【鞏固遷移】

1.橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰

為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A-f+^=1B-f+^2=1

C.f+f=lD.^+f=l

答案C

72

解析易知b=c=?故/=/+°2=4,從而橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為了+5=

1.

2.（2020.衡水模擬）已知橢圓C：，捻=1（。>0>°）和直線&4+3=b若過(guò)。

的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與/平行，則橢圓C的離心率為（）

A.1B.|

c3D1

答案A

h

解析直線/的斜率為一3本過(guò)C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與/平行，所以

又~2+02=〃20弓,2+02=〃2今||02=〃2,所以e=

?2

3.若點(diǎn)。和點(diǎn)R分別為橢圓于+5=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任

意一點(diǎn)，則舁?存的最大值為()

A.2B.3

C.6D.8

答案C

72

解析由橢圓.+司=1,得尸(-1,0),點(diǎn)0(0,0),設(shè)P(x,y)(—24W2),則OPFP

=x2+x+y2=x2+x+3^1—^=^X2+X+3=^(X+2)2+2,—2<X<2,當(dāng)且僅當(dāng)x

=2時(shí)，舁.所取得最大值6.

題型四直線與橢圓的綜合問(wèn)題多角探究

【舉例說(shuō)明】

角度1直線與橢圓的位置關(guān)系

1.已知直線/：y=2x+m,橢圓C：1?試問(wèn)當(dāng)機(jī)取何值時(shí)，直線/與

橢圓C：

(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)沒(méi)有公共點(diǎn).

解將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組

y=2x~\-m,①

'”=1，②

將①代入②，

整理，得gf+grax+Zn?—4=0.③

方程③根的判別式/=(8機(jī)4X9XQ那-4)=—8序+144.

⑴當(dāng)/>0,即—35<m<3色時(shí),方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組

有兩組不同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線/與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn).

(2)當(dāng)/=0,即機(jī)=±3限時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩

組相同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線/與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線/與橢圓

C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

(3)當(dāng)/<0,即m<—3小或m>3小時(shí),方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有

實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線/與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn).

角度2點(diǎn)差法解中點(diǎn)弦問(wèn)題

2.焦點(diǎn)是"0,56)，并截直線y=2x—l所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是/的橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程為..

答案1+合1

解析設(shè)所求的橢圓方程為?+:=1(。>。>0),直線被橢圓所截弦的端點(diǎn)為

A(xi,yi),3(X2,券).由題意，可得弦A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為JF，豆要)，且皂產(chǎn)

2"+”3年h，

=7——號(hào).將A,3兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得〈2，兩式相減并

727DU

6

化簡(jiǎn)，得'=—里二**里抖=—2*一=3,所以/=3/，又°2=/—/=50,

。XI—X2X1-TX24

7

2?

所以/=75,〃=25,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+*=1.

。角度3弦長(zhǎng)問(wèn)題

3.已知橢圓4x2+y2=l及直線y=x+/n.

(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程.

_f4x2+y2=l,

解(1)由J得5f+2wu+m2—1=0,

y=x+m,

因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，

所以J=4/n2—20(m2—1)>0,解得一號(hào)WmW專.

(2)設(shè)直線與橢圓交于A(xi,yi),3(x2,丁2)兩點(diǎn)，

由(1)知，5jr+2/m;+m2—1=0,

所以Xl+x2=一半，XlX2=^(m2—l),

所以\AB\=7(XI—X2)2+(y1—>2)2=.2(xi一九2)2

=.2](xi+x2)2—4X1X2]='^^一,(加2—1)

2________

=5yjlO—Si-n2.

所以當(dāng)機(jī)=0時(shí)，|A3|最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為丁=龍.

角度4綜合計(jì)算問(wèn)題

?2

4.(2019?天津高考)設(shè)橢圓，+，=1。。>0)的左焦點(diǎn)為R上頂點(diǎn)為R已知橢

圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為竽.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線與x軸的交

點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，若|。川=|。川(。為原點(diǎn))，且0P1MN,求直線PB

的斜率.

解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意，2。=4,＞興,

又〃2=b2+c2,可得〃=小，b=2,C=l.

?2

所以橢圓的方程為會(huì)十1=1.

(2)由題意，設(shè)P(xp,")(XPWO),M(XM,O).設(shè)直線尸3的斜率為k(k乎0),

y=kx~\~2,

又3(0,2),則直線尸3的方程為丁=丘+2,與橢圓方程聯(lián)立＜芷+q_]整

理得（4+5左2）x2+20fcc=0,

20k

可得XP

4+5右'

8-lQlc

代入y=kx-\-2得yp=

4+5產(chǎn)'

4—5p

進(jìn)而直線。尸的斜率為『泰.

2

在y=kx~\~2中，令y=0,得XM——工.

由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為一爭(zhēng)

,?4—5斤(女)

由。尸，MN,得一行?一5=—1，

—10K\2)

化簡(jiǎn)得產(chǎn)=,，從而左=±2^.

所以直線PB的斜率為六一或一二^.

【據(jù)例說(shuō)法】

1.直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法

(1)代數(shù)法

聯(lián)立直線與橢圓方程可得到一個(gè)關(guān)于X,y的方程組，消去y(或X)得一元方程,

此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo).見(jiàn)舉例說(shuō)明1.

(2)幾何法

畫出直線與橢圓的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.“點(diǎn)差法”的四步驟

處理有關(guān)中點(diǎn)弦及對(duì)應(yīng)直線斜率關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”，步驟如下:

|設(shè)點(diǎn)|一液言藍(lán)而的端看至標(biāo)

|代入|一玳入面礁正■方程

韭圉一清關(guān)相瀛，百兩不為至公決加工裝原布

U也一譙柘務(wù)蔚承號(hào)標(biāo)西笑紊三賽后錄解

3.中點(diǎn)弦的重要結(jié)論

22

A3為橢圓]x+Rv=l(a>Z?>0)的弦，A(xi,yi),3(x2,竺)，弦中點(diǎn)M(xo,yo).

(1)斜率：左=—篝.見(jiàn)舉例說(shuō)明2.

廿

(2)弦A3的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心0的連線的斜率之積為定值一”.

4.直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式

(1)若直線y=日+機(jī)與橢圓相交于兩點(diǎn)A(xi,yi),3(x2,yz),則一(=71+/|%1

一%2|=\^1+彌1—〉2].見(jiàn)舉例說(shuō)明3.

、、2b2

(2)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)一丁，最長(zhǎng)為2a.

【鞏固遷移】

22

1.若直線廠質(zhì)+1與橢圓會(huì)+5=1總有公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是()

A.m>lB.m>0

C.0〈根<5且用D.加21且用W5

答案D

22

解析直線y=fcv+l恒過(guò)定點(diǎn)(0,1),若直線y=kx+l與橢圓,+]=1總有公

元2y21丫2

共點(diǎn)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓為+5=1內(nèi)部或在橢圓上，所以zWl,由方程令+±=1表

示橢圓，則機(jī)>0且mW5,綜上知機(jī)的取值范圍是機(jī)且機(jī)W5.

2.直線尸x+m被橢圓2f+V=2截得的線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為右則中點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為

答案—g

yv—I—^2

22

解析解法一：由彳??消去y并整理得3x+2mx+m—2=0,設(shè)

22

[2x+y=29

線段的兩端點(diǎn)分別為A(xi,yi),3(x2,yi),則xi+%2=—3，二一？=1,解得加

=一；.由截得的線段的中點(diǎn)在直線y=x—；上，得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)j=7—1=-I.

解法二：設(shè)線段的兩端點(diǎn)分別為A(xi,yi),3(x2,>2),則2宕+資=2,2京十強(qiáng)=

_,,,yi—丫21

2.兩式相減得2(%L%2)(%l+x2)+(yi—丁2)(丁1+丁2)=0.把~二一—1,%1+%2=彳代入上

XI12。

式，得豆/=—/則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一;.

3.(2019?武威六中模擬)已知直線/：、=履+2與橢圓C：5+]=1交于A,B

兩點(diǎn)，直線/1與直線b：x+2y—4=0交于點(diǎn)M.

(1)證明：直線/2與橢圓C相切；

(2)設(shè)線段A3的中點(diǎn)為N,且|AB|=|MN|,求直線/i的方程.

JJ

解⑴證明：由82'

x+2y—4=0,

消去工整理得y2~2y+1=0,

?.?/=4—4=0,???/2與C相切.

y=Ax+2,

⑵由Ji/八得〃的坐標(biāo)為(0,2).

、1十2y—4=0,

y=kx~\~2,

消去y整理得（l+^^^+lG丘+8=0,

因?yàn)橹本€/i與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，

所以/=（16左產(chǎn)一32（1+4s）=128S—32>0,

解得產(chǎn)斗

設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),N(xo,yo),

一16k_8

則X1+X2——1+4FX1X2—1+4],

X14-X28k

所以

xo21+4N

'：\AB\=\MN\,

即、1+左2|X1—X2\=K1+的X0-0|,

4（X1+X2）2—4X1X2=|X0|,

即&二吟簿三，解得產(chǎn)=3,滿足

.,.左=土乎，，直線/i的方程為y=土坐x+2.

課時(shí)作業(yè)

乳組基礎(chǔ)關(guān)

1.已知橢圓+—6m=0的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,則機(jī)的值為（）

A.1B.3

C.5D.8

答案C

?2

解析由/nF+Sy—6m=0,得放+方=1.因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,

所以2機(jī)=6+4,解得機(jī)=5.

2.（2019?邯鄲模擬）如圖，某瓷器菜盤的外輪廓線是橢圓，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知

該橢圓的離心率為（）

Bl

5D*

答案B

b4

解析由題26=16.4,2Q=20.5,則￡=子則離心率

22

3?如果方程^+^=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

)

A.(—6,—2)

B.(3,+8)

C.(-6,—2)U(3,+8)

D.(-6,-3)U(2,+8)

答案c

a2＞a+6,]〃＜一2或。＞3,

解析由題意，得彳解得彳所以一6＜Q＜—2或。＞3.

、〃十6＞。，[〃＞一6,

?2

4.過(guò)橢圓會(huì)+號(hào)=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,3兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△。43的面積為()

45

A-3B3

Ju-3

答案B

解析由題意知橢圓的右焦點(diǎn)R的坐標(biāo)為(1,0),則直線A3的方程為y=2x—

2.聯(lián)立,54，解得交點(diǎn)(0,-2),[|,D，：.S^0AB=\-m-\yA-yB\=\

y=2x-2,

45

XIX—2—=§,故選B.

5.如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)。，網(wǎng)一2小，0）為C的左焦點(diǎn)，P為C

上一點(diǎn)，滿足|。尸|=|。川且|尸川=4,則橢圓C的方程為（）

答案C

解析設(shè)尸為橢圓的右焦點(diǎn)，連接「尸，在△POR中，由余弦定理，得cos

,|OP|2+|OF|2-|PF|23f,

，P°F=2\OP\\OF\=5'大"。歹l=

A/|OP|2+|OF/\2-2\OP\\OF'|cos（7r-ZPOF）=8,由橢圓定義，知2a=4+8

72

=12,所以a=6,又c=2小，所以。2=16.故橢圓C的方程為和+猿=1.

92

6.已知橢圓，+，=13＞。＞0）的一條弦所在的直線方程是x—y+5=o,弦的

中點(diǎn)坐標(biāo)是〃（一4,1）,則橢圓的離心率是（）

A.|B.坐

C坐D害

答案C

22

解析設(shè)直線無(wú)一丁+5=0與橢圓今+，=1相交于A（xi,yi）,B（X2,"）兩點(diǎn)，

因?yàn)锳3的中點(diǎn)M（—4,1）,所以xi+x2=—8,刀+券=2.易知直線A3的斜率左=會(huì)抵

兩式相減得,

21

（X1+X2）（X1—X2）丁2）>1—>2bX1+X2b1

u+B=°，所以一洛許，所以U=I，

于是橢圓的離心率e=?='八二號(hào)=好.故選C.

Ct\/Ct乙

7.（2020.成都一診）已知點(diǎn)M（—1,0）和N（1,O）,若某直線上存在點(diǎn)P,使得

十|PN|=4,則稱該直線為“橢型直線”，現(xiàn)有下列直線：

①x—2y+6=0；②x—y=0；③2x—y+1=0；④x+y—3=0.

其中是“橢型直線”的是（）

A.①③B.①②

C.②③D.③④

答案C

解析由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為]+

左=1.對(duì)于①，把x—2y+6=0代入彳+餐=1,整理得2y2—9>+12=0,由/=（一

9）2—4X2X12=—15<0,知x—2y+6=0不是“橢型直線”；對(duì)于②，把y=x代

X2v21?

入"+==1，整理得好二與，所以x—y=°是“橢型直線”；對(duì)于③，把2「y+

72

1=0代入，+]=1,整理得19f+16x—8=0,由4=162—4X19X（—8）>0,知2x

72

-^+1=0是“橢型直線”；對(duì)于④，把x+y—3=0代入，+5=1,整理得7/

-24x+24=0,由/=（—24>一4X7X24<0,知工十,一3=0不是“橢型直線”.故

②③是“橢型直線”.

8.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為手，且過(guò)點(diǎn)P（—5,4）,

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案1+親1

解析由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a十%=1（。>。>0）.由離心率6=竽可得/

22

=5c2,所以廿=4°2,故橢圓的方程為寺+*=1,將口―5,4）代入可得°2=9,

22

故橢圓的方程為永+女=1.

丫2jr

9.已知橢圓,+：=l的右焦點(diǎn)為R若過(guò)點(diǎn)口且傾斜角為1的直線/與橢圓

相交于A,3兩點(diǎn)，則履3|的值為.

答案喈

7T

解析由題意知，/1,0).：直線/的傾斜角為不...斜率左=1.，直線/的方

程為y=x—1.代入橢圓方程，得9%2—10x—15=0.設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),則xi+

X2=￥，X1X2=—|AB|=^2--\/(XI+X2)2—4xiX2=V2Xy居｝+4*,=]6心.

22

10.已知橢圓a+方=1(。>。>0)的左、右焦點(diǎn)分別為為，色，點(diǎn)P在橢圓上，

且P尸2垂直于無(wú)軸，若直線PQ的斜率為竽，則該橢圓的離心率為.

答案當(dāng)

解析因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，且尸入垂直于X軸，所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(C,；).

又因?yàn)橹本€P為的斜率為為所以在RtZXP尸聲2中，

b2

器T，即齊坐所以小廬=2ac.

3(〃一C2)=2QC,小(l—/)=2e,

整理得，§/+2e—，§=0,

又0<e<l,解得￡=拳.

紇組能力關(guān)

22

1.過(guò)橢圓券+a=1的中心任意作一條直線交橢圓于尸，Q兩點(diǎn)，R是橢圓

的一個(gè)焦點(diǎn)，則△PQR周長(zhǎng)的最小值是()

A.14B.16

C.18D.20

答案C

解析如圖，設(shè)后為橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為仍，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知下1。|

=\PF2\,\OP\=\OQ\,所以△PQR1的周長(zhǎng)為|PB|+EQ+|PQ|=|PB|+|PR2|+2|PO|

=2a+21Poi=10+2|PO|,易知210Pl的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng),即點(diǎn)尸,Q為橢圓

的上、下頂點(diǎn)時(shí)，APQB（或△PQR）的周長(zhǎng)即△PQR周長(zhǎng)的最小值，為10+2X4

=18.

2.已知離心率為坐的橢圓C：?+胃=1（。＞。＞0）的下、上焦點(diǎn)分別為F2,

直線/：丁=履+1過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)放,與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，若點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距

離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的2倍，則..

2

答案=j

解析直線/過(guò)定點(diǎn)（0,1）,即為為（0,1）,由于：=乎，a2=b2+c2,故。=也,

b=l,則橢圓C的方程為事+f=i,

得出2+2)—+2日一1=0,

y=kx+l,

-2k1

設(shè)A(xi,yi),3(x2,yi),則無(wú)1+%2=X1X2由點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距

爐+2'e+r

—2k2k

離是點(diǎn)5到y(tǒng)軸距離的2倍，得xi=-2x2,代入XI+X2=^+2,解得了2=百豆,

4k1?

XI代入X\X2=一＜+2,解得爛=7-

爐+2'

3.（2019?全國(guó)卷III）設(shè)放為橢圓C：?+■=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一

點(diǎn)且在第一象限.若△又為仍為等腰三角形，則”的坐標(biāo)為

答案（3,V15）

解析設(shè)為為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn)M在以為為圓心，焦距為半徑的

72

圓上，即在圓（%+4）2+戶64上.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓后+太=1上，所以聯(lián)立方程

\x+4）2+y2=64,r

可去+[，解得x=3

又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,V15）.

4.（2020?廈門摸底）已知橢圓C：5+胃=1（。泌＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（小，0）,A

為橢圓C的右頂點(diǎn)，以A為圓心的圓與直線y二，相交于P,Q兩點(diǎn)，且A產(chǎn)工0

=0,O~P=3OQ,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為

答案f+/=l（x-2）2+/=|

解析如圖，設(shè)T為線段PQ的中點(diǎn)，

連接AT,則A7UPQ.

'：AP~AQ=0,即APLAQ,

：.\A7]=^\PQ\.

又。產(chǎn)=3。0，：.\OT]=\PQ\.

.\A7]1mb_l

由已知得焦半距。=小，，/=4,b2=l,

故橢圓C的方程為弓+產(chǎn)=1.

又依7]2+|012=4,.\|A712+4|A712=4,

?小刀=唔fP尸乎.

Q

???圓A的方程為（X—2）2+尸帶

5.已知橢圓C：5+]=1(。>。>。)，e=T，其中R是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2,

直線/與橢圓C交于點(diǎn)A,B,線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為/且叁=7訪(其中7>1).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求實(shí)數(shù)7的值.

解(1)由橢圓的焦距為2,知c=l,

又e=g,:?a=2,故從=/一/=3,

72

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為叁+5=1.

(2)由第=7而，可知A,B,R三點(diǎn)共線，

設(shè)點(diǎn)A(xi,yi),點(diǎn)3(x2,yi).

若直線AB_Lx軸，則xi=X2=l,不符合題意；

當(dāng)AB所在直線I的斜率k存在時(shí)，

設(shè)I的方程為y=k(x~\}.

y=k(x—1),

由年+q―1消去y得(3+4R)%2—8后x+4產(chǎn)-12=0.①

①的判別式/=