《L1集合的概念》教學(xué)設(shè)計

一教材分析

本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版(2019)第一章《集合與常用邏輯用語》的第

一節(jié)《集合的概念》。以下是集合單元的課時安排：

第A/r-一節(jié)-++■第一下第三節(jié)

課時內(nèi)容集合的概念集合間的基本關(guān)系集合的基本運算

所在位置教材第2頁教材第7頁教材第10頁

教材選取了豐富的實例，既以實例為載體，對照實數(shù)之間從類比實數(shù)的運算入手，聯(lián)

涵蓋了實數(shù)、方程、不等式、的相等關(guān)系、大小關(guān)系，通過想集合的運算，確定研究方

新教材函數(shù)、簡單的幾何圖形等數(shù)類比，得到集合間的相等關(guān)系、法后，通過實例抽象概括出

內(nèi)容學(xué)領(lǐng)域，也包含了貼近學(xué)生包含關(guān)系.集合的并、交、補運算，并

分析生活的實際問題，以幫助學(xué)利用Venn圖的直觀性，幫助

生理解元素與集合的概念、

學(xué)生加以理解.

體會元素與集合之間的關(guān)

系，學(xué)習(xí)集合的表示法.

通過觀察實例，理解集合的通過概括共同特征，探究集合通過類比實數(shù)，理解集合的

核心素養(yǎng)含義、進行集合的表示，都間的基本關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽運算，強化了數(shù)學(xué)抽象的核

培養(yǎng)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素象的核心素養(yǎng)；利用韋恩圖表心素養(yǎng)；利用數(shù)軸或韋恩圖

養(yǎng).達集合間的基本關(guān)系，體現(xiàn)了表達集合的運算，體現(xiàn)了直

直觀想象的核心素養(yǎng).觀想象的核心素養(yǎng)；在進行

集合運算的過程中，提升了

數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

教學(xué)主線元素與集合的關(guān)系

二學(xué)情分析

本章內(nèi)容屬于“預(yù)備知識”。學(xué)生在小學(xué)和初中階段已經(jīng)接觸過一些集合，如數(shù)集，不等式的解

集，點集等，以此為基礎(chǔ)，高中階段系統(tǒng)安排了集合的初步知識，包括集合的含義、集合間的基本關(guān)系與

1

集合的運算，使學(xué)生能夠在現(xiàn)實情境或數(shù)學(xué)情境中，幫助學(xué)生運用集合的語言簡潔、準(zhǔn)確的表述數(shù)學(xué)的研

究對象，提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達的抽象層次，從而作好初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡。

三學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；

2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng);

3.會用列舉法、描述法表示集合，強化數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

四教學(xué)重難點

重點：元素與集合的“屬于”關(guān)系，用符號語言刻畫集合；

難點：用描述法表示集合一一難在對“共同特征”的描述、符號的表示

五教學(xué)過程

（一）新知導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題

一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義.于是，他就請教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請

您告訴我，集合是什么？”數(shù)學(xué)家只是笑了笑，沒有當(dāng)時就回答這位漁民.有一天，數(shù)學(xué)家來到這位漁民的

船上，看到他撒下漁網(wǎng)，一拉動，許多魚兒在網(wǎng)中跳動.數(shù)學(xué)家就激動的大喊：“找到了，找到了，這就是

一個集合”.

【想一想】數(shù)學(xué)家所說的集合指的是什么？

【提示】數(shù)學(xué)家所說的集合是指漁網(wǎng)中的魚組成了一個集合.

2.探索交流，解決問題

2

【問題1】考察下列問題，解決[思考1]:

(1)1?10之間的所有偶數(shù)；

(2)立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；

(3)所有的正方形；

(4)到直線1的距離等于定長d的所有點；

(5)方程%J3%+2=0的所有實數(shù)根；

(6)地球上的四大洋。

【思考1]

(1)實例中的每組對象的全體能組成集合嗎？

(2)把研究對象看作元素，每個集合的元素是什么？

(3)構(gòu)成集合元素的對象可以是什么？

【提示】

(1)實例中的每組對象能組成集合；

(2)六個問題中集合的元素分別是：偶數(shù)2,4,6,8；立德中學(xué)今年入學(xué)的高一學(xué)生；正方形；到

直線1的距離等于定長d的點；方程%之-3%+2=。的實數(shù)根1,2；地球上的四大洋：

太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋。

(3)構(gòu)成集合的元素可以是數(shù)、點、幾何圖形、物體等。

【設(shè)計意圖】

通過問題與思考題的探究，引導(dǎo)學(xué)生概括出元素與集合的含義.提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方

式思考并解決問題的能力。

(-)集合

集合的概念：

(1)一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素(element),把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡

稱為集).

(2)我們通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c,…表示集合中

的元素.

【思考2】

(1)所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？由此說明什么？

3

(2)由1,3,0,5,|-3|這些數(shù)組成的一個集合中有5個元素，這種說法正確嗎？由此說明什么？

(3)高一(5)班的全體同學(xué)組成一個集合，調(diào)整座位后這個集合有沒有變化？由此說明什么？

(4)如果兩個集合中，元素完全一樣，那么這兩集合相等，這種說法正確嗎？

(5)由以上思考題，可以得到集合有什么特性？

【提示】(1)不能.其中的元素不確定；說明集合中的元素是確定的。

(2)不正確.集合中只有4個不同元素1,3,0,5.說明集合中的元素是互異的。

(3)集合沒有變化；說明集合中的元素是沒有順序的。

(4)正確。

(5)集合的元素滿足三個特性：確定性、互異性、無序性。

【做一做】

下列對象能組成集合的是()

A.小的所有近似值

B.某個班級中學(xué)習(xí)好的所有同學(xué)

C.2021年全國高考數(shù)學(xué)試卷中所有難題

D.屠呦呦實驗室的全體工作人員

［解析］D中的對象都是確定的，而且是不同的.A中的“近似值”，B中的“學(xué)習(xí)好”，C中的

“難題”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足確定性，因此A、B、C都不能構(gòu)成集合.

［答案］D

【設(shè)計意圖】

通過問題探究，使學(xué)生深入理解集合的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

(三)元素與集合的關(guān)系

【思考3】已知下面的兩個實例：

(1)用A表示高一(3)班全體學(xué)生組成的集合.

(2)用a表示高一(3)班的一位同學(xué)，b表示高一(4)班的一位同學(xué).

思考:那么a,b與集合A分別有什么關(guān)系？

【提示】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.

元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A,記作aeA；如果a不是集合A

中的元素，就說a不屬于集合A,記作aeA.

4

1.對元素與集合關(guān)系的認(rèn)識:

唯一性aR4與#.4取決于a是不是集合,4中的元素，只有屬于和不屬于兩種關(guān)系

方向性符號“w”，飛，，具有方向性，左邊是元素，右邊是集合

2.常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集

數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

(自然數(shù)集)

符號NN*或NZQR

例1.【多選題】下列所給關(guān)系正確的是()

A.ne/?B./史QC.OGN*D.I-5|N*

【思維引導(dǎo)】判斷元素是否在集合中，利用正確的數(shù)學(xué)符號表示。

［解析］選項A,n是實數(shù)，所以ne/?正確；選項B,加是無理數(shù)，所以季史Q正確；選項C,0

不是正整數(shù)，所以O(shè)6N*錯誤；選項D,|-5|=5為正整數(shù)，所以|一5件N*錯誤.故選AB.

［答案］AB

【類題通法】

判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法

(1)使用前提：集合中的元素是直接給出的

直接法

(2)判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合

中是否出現(xiàn)即可

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(1)使用前提：對于某些不便直接表示的集合

推理法(2)判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿

足集合中元素所具有的特征即可

【鞏固練習(xí)1］

已知集合力中的元素X滿足則下列各式正確的是()

A.3e力且一3建1B.3e力且一3￡力

C.3住力且一3翅D.344且一3￡力

［解析］；3—1=2〉/，；.3至4又一3—1=-4</,...一3W4

［答案］D

【設(shè)計意圖】

通過例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解元素與集合的關(guān)系，強化數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

(四)集合的表示

【思考4］(1)地球上的四大洋組成的集合如何表示？

(2)方程(x+l)(x+2)=0的所有根組成的集合，又如何表示呢？

(3)通過思考以上問題大家能總結(jié)歸納出列舉法的特點嗎？

【提示】(1)可以這樣表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.

(2)該集合表示為{-1,-2}

(3)列舉法就是把集合中的元素一一列舉出來。

?把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

【注意】(1)大括號不能缺失，元素中間用逗號隔開；

(2)元素按一定的順序列舉，可以保證元素不重不漏，如：從小到大等。

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【探究1］集合A={1,2},B={(1,2)},C={(2,1)},D={2,1}是否是相等的集合？

【提示】根據(jù)集合元素的互異性，判斷集合A與D相等；

集合A,D是數(shù)集，集合B,C是點集，所以不會相等；

集合B,C中的點不一樣，所以不相等。

例2.用列舉法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合.

(2)方程x'x的所有實數(shù)根組成的集合.

【思維引導(dǎo)】將集合中的元素一一列舉，即可寫出列舉法。

［答案］(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

(2)設(shè)方程x'x的所有實數(shù)根組成的集合為B,那么B={l,0}.

【類題通法】列舉法表示集合的步驟及注意點

分清元素列舉法表示集合，要分清是數(shù)集還是點集

書寫集合列元素時要做到不重復(fù)、不遺漏

【鞏固練習(xí)2］

用列舉法表示下列集合:

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(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)大于3.1小于12.8的整數(shù)的全體；

(3)方程，口+|y+11=0的解集；

(4)正奇數(shù)組成的集合.

［解答］(DU月，3月，5月，7月，8月，10月，12月｝.

(2)｛4,5,6,7,8,9,10,11,12).

(3)由方程4X―2+)y+11=0可知，

――2=0,(x—2,

即

y+l=0,［y=—\,

從而方程的解集用列舉法表示為｛(2,-1)｝.

(4)正奇數(shù)組成的集合可用列舉法表示為｛1,3,5,7,…｝.

【思考5】

(1)能用自然語言描述集合｛0,3,6,述嗎?

(2)能否用列舉法表示不等式x—3〈7的解集？該集合中的元素有什么性質(zhì)？

(3)不能用列舉法表示的集合怎樣表示？

【提示】(1)用自然語言描述集合｛0,3,6,9｝是：比10小的能被3整除的自然數(shù)。

(2)不等式x—3<7的解集是x<10,有無數(shù)個元素，所以不能用列舉法表示，但是可以看出，這

個集合中的元素滿足性質(zhì)：集合中的元素都小于10;集合中的元素都是實數(shù).

(3)這樣的集合可以通過描述其元素性質(zhì)的方法來表示。

?一般地，設(shè)力是一個集合，我們把集合4中所有具有共同特征尸(x)的元素x所組成的集合表示為公

這種表示集合的方法稱為描述法.

描述法表示集合的寫法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍，

畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

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【探究2］集合A={x|y=x2},B={y|y=x2),C={(x,y)|y=□}是否是相等的集合?

【提示】

集合A表示函數(shù)y=x2的自變量x的取值集合，是實數(shù)集；

集合B表示函數(shù)y=x2的函數(shù)值y的取值集合，是非負(fù)實數(shù)集；

集合C是函數(shù)y=x2的圖象上的點組成的集合，所以這三個集合都不相等。

例3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合.

(1)方程X2-2=0的所有實數(shù)根組成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.

【思維引導(dǎo)】把集合中元素的特點表達出來，寫出描述法，再將其轉(zhuǎn)化為列舉法。

［解答］(1)設(shè)方程X2-2=0的實數(shù)根為x,并且滿足條件X2-2=0,因此，用描述法表示為A={XWR|X2-2=0}.

方程春2=0有兩個實數(shù)根為"-JL因此，用列舉法表示為人={也,-后}.

(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x,它滿足條件xCZ,且10〈x〈20,因此，用描述法表示為

B={xGZ|10<x<20}.

大于10小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列舉法表示為

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19).

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【類題通法】描述法表示集合的幾點注意

(1)用描述法表示集合，應(yīng)先弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.

一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示其元素.

(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，需對新字母說明其含義或取

值范圍.

(3)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).

【鞏固訓(xùn)練3】

用描述法表示下列集合：

(1)不等式2%-3<1的解組成的集合4

(2)被3除余2的正整數(shù)的集合B；

(3)C={2,4,6,8,10)；

(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點組成的集合D.

［解答］(1)不等式2x—3V1的解組成的集合為4則集合4中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x,則x滿

足2x—3<1,則［={x|2x—3<1},即4={*|*<2}.

(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3〃+2,但元素為正整數(shù)，故x=3〃+2,"GN.所以

被3除余2的正整數(shù)的集合占={*|x=3〃+2,〃GN}.

(3)設(shè)偶數(shù)為x,則x=2〃，〃GZ.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2c,nW5,nGN*.

所以C={x|x=2〃，

(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0,y>0,

故第二象限內(nèi)的點的集合為g{(x,y)|%<0,y>0}.

例4.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

①絕對值小于5的全體實數(shù)組成的集合；

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②所有正方形組成的集合；

③除以3余1的所有整數(shù)組成的集合；

④構(gòu)成英文單詞mathematics的全體字母.

【思維引導(dǎo)】根據(jù)集合中元素的特點選擇表示集合的方法。

［解答］①絕對值小于5的全體實數(shù)組成的集合可表示為｛x||削<5｝.

②所有正方形組成的集合可表示為｛正方形｝.

③除以3余1的所有整數(shù)組成的集合可表示為｛a|a=3x+l,x&Z).

④構(gòu)成英文單詞mathematics的全體字母可表示為｛m,a,t,h,e,i,c,s｝.

【類題通法】選用列舉法或描述法表示集合的原則

要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?列舉法的特點是能清楚地展現(xiàn)集合的元

素，通常用于表示元素個數(shù)較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時，就不宜采用列舉法；

描述法的特點是形式簡單、應(yīng)用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素

共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時，就不宜采用描述法.

'、

B=<XGN$N>

【鞏固訓(xùn)練4】設(shè)集合I2+x

(1)試判斷元素1和2與集合6的關(guān)系；

(2)用列舉法表示集合8

［解答］⑴當(dāng)X=1時，R=26N；當(dāng)x=2時，H=^N,:

乙I1乙I乙乙

⑵?"￡N,???x只能為0,1,4,故5=｛0,1,4｝.

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【設(shè)計意圖】通過學(xué)習(xí)列舉法、描述法，使學(xué)生能針對不同集合的元素的特點用最合適的方法表示出集合,

培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

（五）操作演練素養(yǎng)提升

1.（2021?浙江高三專題練習(xí)）下列各對象可以組成集合的是（）

A.與1