專題八：拋物線上的特殊平行四邊形存在性問題探究方法點睛方法點睛解答存在性問題的一般思路是先假設(shè)問題存在，然后推理得出結(jié)論，進而判斷結(jié)論是否成立．遇到有兩個定點確定特殊平行四邊形的問題時，常常要運用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，分別畫出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類時要注意不重不漏．注意結(jié)合矩形、菱形正方形的特殊性質(zhì)，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知識的運用.1.矩形存在性常用解題思路：構(gòu)造一線三直角（借助相似或三角函數(shù)求解）；利用矩形對角線相等（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）借助勾股定理求解等.2.菱形存在性常用解題思路：利用菱形四條邊相等，對角線互相垂直，借助勾股定理等求解.3.正方形存在性常用解題思路：兼具矩形和菱形二者.典例精講典例精講類型一：菱形的存在性問題例1：（2021鄂爾多斯中考改編）如圖，拋物線y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）點M在y軸上，點N在直線AC上，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點M，使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．專題過關(guān)1、（2021通遼中考改編）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2、（2021婁底中考改編）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點和點，與y軸交于點C．（1）求的值；（2）點為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線于點Q．是否存在m，使得以點為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．3、（2021湘潭中考）如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標軸交于點A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過A、B兩點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點C，點P是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．4、（2021恩施中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B，D（﹣4，5）兩點，且與直線DC交于另一點E．（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q，F(xiàn)，E，B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；5、（2020重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點，其中，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．類型二：矩形的存在性問題例2：（2021齊齊哈爾中考改編）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，，對稱軸為，點D為此拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．專題過關(guān)1、（2021定西中考改編）（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與坐標軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點，直線BC：y＝﹣2x+8交y軸于點C．點D為直線AB下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC，AB于點E，F(xiàn)．（1）求拋物線y＝x2+bx+c的表達式；（2）H是y軸上一點，當四邊形BEHF是矩形時，求點H的坐標；2、（2021達州中考改編）（11分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A和C（1，0），交y軸于點B（0，3），拋物線的對稱軸交x軸于點E，交拋物線于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請求出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由．3、（2021淄博中考改編）（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝（m＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．（1）若OC＝2OA，求拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）設(shè)直線y＝x+b與拋物線交于B，G兩點，問是否存在點E（在拋物線上），點F（在拋物線的對稱軸上），使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點E，F(xiàn)的坐標；若不存在，說明理由．（第24題圖）4、（2021菏澤中考）（10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，交y軸于點C．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接PB，過點C作CQ∥BP交x軸于點Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4向右平移經(jīng)過點（，0）時，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1，點E在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在一點F，使得以A、P、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．參考：若點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則線段P1P2的中點P0的坐標為（，）．5、（2020無錫中考）在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線交二次函數(shù)的圖像于點，，點在該二次函數(shù)的圖像上，設(shè)過點（其中）且平行于軸的直線交直線于點，交直線于點，以線段、為鄰邊作矩形．（1）若點的橫坐標為8．①用含的代數(shù)式表示的坐標；②點能否落在該二次函數(shù)的圖像上？若能，求出的值；若不能，請說明理由；（2）當時，若點恰好落在該二次函數(shù)的圖像上，請直接寫出此時滿足條件的所有直線的函數(shù)表達式．/6、（2020撫順中考改編）如圖，拋物線（）過點和，點是拋物線的頂點，點是軸下方拋物線上的一點，連接，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸交軸于點，交線段于點，點是線段上的動點（點不與點和點重合，連接，將沿折疊，點的對應點為點，與的重疊部分為，在坐標平面內(nèi)是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．類型三：正方形的存在性問題例3：（2021撫順中考）直線y＝﹣x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A，B，與x軸的另一個交點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點D作DE∥y軸交AB于點E，DF⊥AB于點F，F(xiàn)G⊥x軸于點G．當DE＝FG時，求點D的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，直線CD與AB相交于點M，點H在拋物線上，過H作HK∥y軸，交直線CD于點K．P是平面內(nèi)一點，當以點M，H，K，P為頂點的四邊形是正方形時，請直接寫出點P的坐標．專題過關(guān)1、（2021長春中考）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，4）在拋物線y＝ax2上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點．當四邊形CDFE為正方形時，線段CD的長為．2、（2020吉林中考）如圖，在平面直角坐標系中，