11.2擬合

測量數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量較大或者測量值與真實(shí)值有誤差，這時(shí)一般用曲線擬合的方法來解決問題.

已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集

，即已知在點(diǎn)集

上的函數(shù)值

，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)f(x)（其圖形為一曲線），使f(x)在原離散點(diǎn)xi上的值盡可能接近給定的yi值，這一構(gòu)造函數(shù)f(x)的過程稱為曲線擬合.最常用的曲線擬合方法是最小二乘法，該方法是尋找函數(shù)f(x)使得

最小.

在MATLAB中，利用polyfit和lsqcurvefit函數(shù)進(jìn)行擬合.11.2.1多項(xiàng)式擬合polyfit函數(shù)調(diào)用格式如下：p=polyfit(x,y,n)其中x和y是節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)向量，n是多項(xiàng)式的次數(shù)；p是返回的多項(xiàng)式p(x)=p1xn+p2xn?1+...+pnx+pn+1系數(shù)向量，系數(shù)按降冪排列，p的長度為n+1.例11.8求如下給定數(shù)據(jù)的擬合曲線：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60].解MATLAB命令如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)%選取次數(shù)的時(shí)候，次數(shù)長度不得超過length(x)-1x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);%求以p為系數(shù)的多項(xiàng)式的值plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')計(jì)算結(jié)果為p=0.56140.82871.1560此結(jié)果表示擬合函數(shù)為：用此函數(shù)擬合數(shù)據(jù)的效果如圖11-7所示.圖11-7多項(xiàng)式擬合例11.9某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)2015-2021年的生產(chǎn)利潤如表11-3.

試預(yù)測2022年的利潤.

解作已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，>>x0=[2014201520162017201820192020];>>y0=[70122144152174196202];>>plot(x0,y0,'*')發(fā)現(xiàn)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的年生產(chǎn)利潤幾乎直線上升（見圖11-8）.因此，我們可以y=a1x+a0用作為擬合函數(shù)來預(yù)測該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)未來的利潤.年份2015201620172018201920202021利潤（萬元）70122144152174196202表11-3生產(chǎn)利潤

圖11-8數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖11.2.2非線性擬合

lsqcurvefit函數(shù)是MATLAB提供的用于求解非線性最小二乘擬合問題的專用函數(shù)，用作各種類型曲線的擬合，調(diào)用格式如下：

x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)

其中，fun是非線性函數(shù)模型；x0是求解初始值；xdata和ydata是原始輸入和輸出數(shù)據(jù)向量；返回值x為擬合輸出的未知參數(shù).例11.10用最小二乘法求形如

的函數(shù)擬合下列數(shù)據(jù).x0.10.20.150-0.20.3y0.950.840.861.061.500.72表11-4擬合數(shù)據(jù)解先將參數(shù)，合寫為，編寫如下程序：fun=@(c,x)c(1)*exp(c(2)*x)x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];c=lsqcurvefit(fun,[0,0],x,y)norm(feval(fun,c,x)-y)^2其中，[0,0]是初始值，最后一句是計(jì)算殘差的平方和，也就是擬合函數(shù)在給定點(diǎn)的值和原始數(shù)據(jù)的差的平方和，運(yùn)行結(jié)果為：Optimizationterminated:relativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFun.c=1.0997-1.4923ans=0.0031可得a=1.0997，b=-1.4923，擬合函數(shù)為

.ans=0.0031說明殘差很小.例11.11我國從1954年到2005年全國總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)如表11-5，請(qǐng)預(yù)測2019年和2030年的全國人口數(shù).表11-5各年份全國總?cè)藬?shù)（單位：千萬）解因?yàn)長ogistic人口模型的基本形式為其中t0=1954，N0=60.2.當(dāng)t→+∞時(shí)，人口數(shù)量達(dá)到最大值Nm.首先定義函數(shù)文件：functionf=flsqcurvefit(x,t)f=x(1)./(1+(x(1)/60.2-1).*exp(-x(2).*(t-1954)));MATLAB程序如下：cleart0=1954:2005;y0=[60.261.562.864.666.067.266.265.967.369.170.472.5...74.576.3 78.580.783.0 85.287.1 89.2 90.992.4 93.7 95.0...96.259 97.598.705100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5...109.3 111.026 112.704114.333 115.823 117.171 118.517 119.850...121.121122.389123.626124.761125.786 126.743 127.627...128.453129.277129.988130.756];x=[0.03,250];a=lsqcurvefit('flsqcurvefit',x,t0,y0)plot(t0,y0,'o')holdonlt=1954:0.1:2040;ly=flsqcurvefit(a,lt);plot(lt,ly)t1=[2019,2030];y1=flsqcurvefit(a,t1)holdoff運(yùn)行后可得：Localminimumpossible.lsqcurvefitstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthevalueofthefunctiontolerance.<stoppingcriteriadetails>a=0.0336181.0280y1=147.6920156.6069得到圖形如圖11-9所示.

從圖11-9可以看出，擬合效果較好，2019年全國總?cè)藬?shù)為147.6920千萬人，接近實(shí)際人口數(shù)140.005千萬人，并預(yù)計(jì)2030年全國總?cè)藬?shù)為156.6069千萬人.圖11-9人口增長預(yù)測圖Matlab工具箱提供了命令cftool，該命令給出了一維數(shù)據(jù)擬合的交互式環(huán)境.具體執(zhí)行