2024屆江西省宜春市靖安中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，為正三角形，，，則多面體的正視圖(也稱主視圖)是A． B． C． D．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，，且，則（）A． B． C． D．3．半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動點(diǎn)，則的最小值是（）A．2 B．0 C．-2 D．44．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是（）A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前六項(xiàng)和為（）A．63 B．－63 C．－31 D．316．邊長為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．7．在中，，，其面積為，則等于()A． B． C． D．8．已知兩個(gè)正數(shù)a，b滿足，則的最小值是(

)A．2 B．3 C．4 D．59．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．10．已知，則()A．-3 B． C． D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角的對邊分別為，若，則_______.（僅用邊表示）12．已知{}是等差數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，且，則____.13．若不等式對于任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．14．已知數(shù)列滿足：（），設(shè)的前項(xiàng)和為，則______；15．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等比數(shù)列，則___________.16．無限循環(huán)小數(shù)化成最簡分?jǐn)?shù)為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某學(xué)校高一、高二、高三的三個(gè)年級學(xué)生人數(shù)如下表

高三

高二

高一

女生

133

153

z

男生

333

453

633

按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學(xué)生53人，其中高三有13人．（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取2人,經(jīng)檢測她們的得分如下：1．4，2．6，1．2，1．6，2．7，1．3，1．3，2．2，把這2人的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過3．5的概率．18．某校全體教師年齡的頻率分布表如表1所示，其中男教師年齡的頻率分布直方圖如圖2所示.已知該校年齡在歲以下的教師中，男女教師的人數(shù)相等.表1：(1)求圖2中的值；(2)若按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取16人參加技能比賽活動，求男女教師抽取的人數(shù)；(3)若從年齡在的教師中隨機(jī)抽取2人，參加重陽節(jié)活動，求至少有1名女教師的概率.19．如圖1，已知菱形的對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．20．如圖，在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的大??；（2）若，為外一點(diǎn)，，，求四邊形面積的最大值.21．已知余切函數(shù).（1）請寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

為三角形,,平面,

且,則多面體的正視圖中,

必為虛線,排除B,C,

說明右側(cè)高于左側(cè),排除A.,故選D.2、C【解析】，，，，，，故選C.3、C【解析】

將轉(zhuǎn)化為，利用向量數(shù)量積運(yùn)算化簡，然后利用基本不等式求得表達(dá)式的最小值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，,等號在，即為的中點(diǎn)時(shí)成立.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法運(yùn)算，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.4、B【解析】

求出直線的方程，計(jì)算出圓心到直線的距離，可知的最大高度為，并計(jì)算出，最后利用三角形的面積公式可得出結(jié)果.【詳解】直線的方程，且，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，因此，面積的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的最值問題，考查圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，若圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為，距離的最小值為，要熟悉相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用.5、B【解析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公式，由此能求出數(shù)列的前六項(xiàng)和.【詳解】在等比數(shù)列中，，，解得數(shù)列的前六項(xiàng)和為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

在正方形中連接，交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，在折疊圖中平面，得到，從而平面，面平面，則是在平面上的射影，找到直線與平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【詳解】如圖所示：在正方形中連接，交于點(diǎn)，在折疊圖，連接，因?yàn)?，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，則是在平面上的射影，所以即為所求.因?yàn)楣蔬x：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊圖問題，還考查了推理論證和空間想象的能力，屬于中檔題.7、A【解析】

先由三角形面積公式求出，再由余弦定理得到，再由正弦定理，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥校?，，其面積為，所以，因此，所以，所以，由正弦定理可得：，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理和余弦定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、D【解析】

根據(jù)題意，分析可得，對其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，正數(shù)，滿足，則；即的最小值是；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握基本不等式應(yīng)用的條件．9、A【解析】

根據(jù)圖象求出即可得到函數(shù)解析式.【詳解】顯然，因?yàn)椋?，所以，由得，所以，即，，因?yàn)?，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圖象求函數(shù)解析式，利用周期求，代入最高點(diǎn)的坐標(biāo)求是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結(jié)果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由正弦定理，結(jié)合可得，即，即，從而.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．12、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此得解.【詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用換元法令（），將不等式左邊構(gòu)造成一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】令，，則．由已知得，不等式對于任意都成立．又令，則，即，解得．所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式恒成立問題的求解策略，考查三角函數(shù)的取值范圍，考查一次函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、130【解析】

先利用遞推公式計(jì)算出的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法可求得的表達(dá)式，即可完成的求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋环蠒r(shí)的通項(xiàng)公式，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法的使用，難度一般.利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，若出現(xiàn)了的形式，一定要注意標(biāo)注，同時(shí)要驗(yàn)證是否滿足的情況，這決定了通項(xiàng)公式是否需要分段去寫.15、或【解析】

由等比數(shù)列的定義得出，可得出，利用兩角和與差的余弦公式化簡可求得的值.【詳解】由于數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，則，即，即，即，整理得，即，可得，，因此，或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義求參數(shù)，同時(shí)也涉及了兩角和與差的余弦公式的化簡計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解析】

利用無窮等比數(shù)列求和的方法即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）433（2）（3）【解析】

（1）設(shè)該?？?cè)藬?shù)為n人,由題意得,，所以n=2333．z=2333-133-333-153-453-633=433；（2）設(shè)所抽樣本中有m個(gè)女生,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诟咭慌谐槿∫粋€(gè)容量為5的樣本，所以，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分別記作S1，S2；B1，B2，B3，則從中任取2人的所有基本事件為（S1,B1），（S1,B2），（S1,B3），（S2,B1），（S2,B2）,（S2,B3），（S1,S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共13個(gè)，其中至少有1名女生的基本事件有7個(gè)：（S1,B1），（S1,B2），（S1,B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1,S2），所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為．（3）樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過3．5的數(shù)為1．4,2．6,1．2,2．7,1．3,1．3這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為2,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過3．5的概率為．18、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

由男教師年齡的頻率分布直方圖總面積為1求得答案；由男教師年齡在的頻率可計(jì)算出男教師人數(shù)，從而女教師人數(shù)也可求得，于是通過分層抽樣的比例關(guān)系即可得到答案;年齡在的教師中，男教師為(人)，則女教師為1人,從而可計(jì)算出基本事件的概率.【詳解】(1)由男教師年齡的頻率分布直方圖得解得(2)該校年齡在歲以下的男女教師人數(shù)相等，且共14人，年齡在歲以下的男教師共7人由(1)知，男教師年齡在的頻率為男教師共有(人)，女教師共有(人)按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取16人參加技能比賽活動，則男教師抽取的人數(shù)為(人)，女教師抽取的人數(shù)為人(3)年齡在的教師中，男教師為(人)，則女教師為1人從年齡在的教師中隨機(jī)抽取2人，共有10種可能情形其中至少有1名女教師的有4種情形故所求概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，分層抽樣，古典概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析能力，難度不大.19、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意根據(jù)勾股定理運(yùn)算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到，可得平面，再利用等體積轉(zhuǎn)化有，計(jì)算結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）折疊前，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?；所以折疊后，，,又，平面，所以平面因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以．又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查了三棱錐體積的求法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）由余弦定理和誘導(dǎo)公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判斷是等腰直角三角形，再利用三角形面積公式表示出，再利用輔助角公式化簡，求出四邊形面積的最大值.【詳解】（1）在中，由，所以∵，∴，∴，又∵，∴.又∵，∴，即為.（2）在中，，，由余弦定理可得，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值，最