遼寧省阜新市新邱區(qū)阜新二中2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和，則不等式的的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．102．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．3．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為()A． B． C．1 D．54．德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1.對(duì)于科拉茨猜想，目前誰(shuí)也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)(首項(xiàng))按照上述規(guī)則施行變換后的第6項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn))，則的所有不同值的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．325．在一個(gè)平面上，機(jī)器人到與點(diǎn)的距離為8的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，它在行進(jìn)過(guò)程中到經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的直線的最近距離為（）A． B． C． D．6．已知球面上有三點(diǎn)，如果，且球心到平面的距離為，則該球的體積為（）A． B． C． D．7．如圖是函數(shù)一個(gè)周期的圖象，則的值等于A． B． C． D．8．函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）A． B． C． D．9．已知平面向量，，若與同向，則實(shí)數(shù)的值是()A． B． C． D．10．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)A．0 B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是.12．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．13．已知等比數(shù)列的公比為，關(guān)于的不等式有下列說(shuō)法：①當(dāng)吋，不等式的解集②當(dāng)吋，不等式的解集為③當(dāng)>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說(shuō)法正確的序號(hào)是_______.14．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)表面積為的球，若，則的最大值是_______.15．等差數(shù)列滿足，則其公差為_(kāi)_________．16．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，三條直線型公路，，在點(diǎn)處交匯，其中與、與的夾角都為，在公路上取一點(diǎn)，且km，過(guò)鋪設(shè)一直線型的管道，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)在上（，足夠長(zhǎng)），設(shè)km，km．（1）求出，的關(guān)系式；（2）試確定，的位置，使得公路段與段的長(zhǎng)度之和最?。?8．設(shè)平面向量，，函數(shù)．（Ⅰ）求時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若銳角滿足，求的值．19．已知兩個(gè)不共線的向量a，b滿足，，．（1）若，求角θ的值；（2）若與垂直，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的θ使得成立，求正數(shù)m的取值范圍.20．已知關(guān)于，的方程：表示圓.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若，過(guò)點(diǎn)作的切線，求切線方程.21．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由題意，整理得出是一個(gè)首項(xiàng)為12，公比為的等比數(shù)列，從而求出，再求出其前項(xiàng)和，然后再求出的表達(dá)式，再代入數(shù)驗(yàn)證出的最大值即可．【詳解】由可得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，所以，故，解得，（），所以的最大值為8.選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式以及數(shù)列求和的方法分組求和，屬于數(shù)列中的綜合題，考查了轉(zhuǎn)化的思想，構(gòu)造的意識(shí)，本題難度較大，思維能力要求高．2、A【解析】

先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，排除得到答案.【詳解】，偶函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，，排除故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，通過(guò)函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點(diǎn)可以排除選項(xiàng)快速得到答案.3、A【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，再觀察圖像即可得解.【詳解】解：先作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由圖可知目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線過(guò)點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最小值，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由題意：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項(xiàng)為1出發(fā)，逐項(xiàng)求出各項(xiàng)的取值，可得的所有不同值的個(gè)數(shù).【詳解】解：由題意：如果對(duì)正整數(shù)(首項(xiàng))按照上述規(guī)則施行變換后的第6項(xiàng)為1，則變換中的第5項(xiàng)一定是2，變換中的第4項(xiàng)一定是4，變換中的第3項(xiàng)可能是1，也可能是8，變換中的第2項(xiàng)可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用及簡(jiǎn)單的邏輯推理，屬于中檔題.5、A【解析】

由題意知機(jī)器人的運(yùn)行軌跡為圓，利用圓心到直線的距離求出最近距離．【詳解】解：機(jī)器人到與點(diǎn)距離為8的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過(guò)程中保持與點(diǎn)的距離不變，機(jī)器人的運(yùn)行軌跡方程為，如圖所示；與，直線的方程為，即為，則圓心到直線的距離為，最近距離為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

的外接圓半徑為球半徑球的體積為，故選B.7、A【解析】

利用圖象得到振幅，周期，所以，再由圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，把原式等價(jià)于求的值.【詳解】由圖象得：振幅，周期，所以，所以，因?yàn)閳D象關(guān)于成中心對(duì)稱，所以，，所以原式，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)，如果算出每個(gè)值再相加，會(huì)浪費(fèi)較多時(shí)間，且容易出錯(cuò)，采用對(duì)稱性求解，能使問(wèn)題的求解過(guò)程變得更簡(jiǎn)潔.8、C【解析】

由題意，可知，即為奇函數(shù)，排除，，又時(shí)，，可排除D，即可選出正確答案.【詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，且，即為奇函?shù)，排除，，當(dāng)時(shí)，，，即時(shí)，，可排除D，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，屬于中檔題.9、D【解析】

通過(guò)同向向量的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】與同向，，解得或(舍去)，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，但注意同向，難度較小.10、B【解析】

根據(jù)兩直線的平行關(guān)系，列出方程，即可求解實(shí)數(shù)的值，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，顯然兩條直線不平行，所以；由兩條直線平行可得：，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程分別為：，，顯然平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程分別為，，很顯然兩條直線重合，不合題意，舍去，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線平行的條件，準(zhǔn)去計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式．12、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13、③【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式后可得結(jié)論．【詳解】由題意，不等式變?yōu)?，即，若，則，當(dāng)或時(shí)解為，當(dāng)或時(shí)，解為，時(shí)，解為；若，則，當(dāng)或時(shí)解為，當(dāng)或時(shí)，解為，時(shí)，不等式無(wú)解．對(duì)照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查解一元二次不等式，難點(diǎn)是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分正負(fù)，然后以要對(duì)兩根分大小，另外還有一個(gè)是相應(yīng)的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個(gè)分類）．14、【解析】

根據(jù)已知可得直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所?可得的內(nèi)切圓的半徑為，又由，故直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，所以此時(shí)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直三棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及組合體的性質(zhì)和球的表面積的計(jì)算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.15、【解析】

首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再根據(jù)即可得到公差的值.【詳解】，解得.，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

直接應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算，求出與的夾角．【詳解】設(shè)向量、的夾角為；∵，∴，∵，∴.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，公路段與段的總長(zhǎng)度最小【解析】

（1）（法一）觀察圖形可得，由此根據(jù)三角形的面積公式，建立方程，化簡(jiǎn)即可得到的關(guān)系式；（法二）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，找到各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，即可得到結(jié)論；（2）運(yùn)用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．【詳解】（1）（法一）由圖形可知．，，所以，即．（法二）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，由，，三點(diǎn)共線得．（2）由（1）可知，則（），當(dāng)且僅當(dāng)（km）時(shí)取等號(hào)．答：當(dāng)時(shí)，公路段與段的總長(zhǎng)度最小為8．.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值，著重考查了推理運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求得時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若銳角α滿足，可得cos的值，然后求的值．【詳解】解：（Ⅰ）．由得，其中單調(diào)遞增區(qū)間為，可得，∴時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ），∵α為銳角，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）（2）（3）【解析】

（1）由題得，再寫出方程的解即得解；（2）先求出，再利用向量的模的公式求出；（3）等價(jià)于在有兩解，結(jié)合三角函數(shù)分析得解.【詳解】（1）由題得所以角的集合為.（2）由條件知，，又與垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有兩解，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得，，即，又因?yàn)?，所?即m的范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標(biāo)表示，考查向量的模的計(jì)算，考查三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件,可得關(guān)于的不等式,即可求得的取值范圍.（Ⅱ）將代入,可得圓的方程,化為標(biāo)準(zhǔn)方程.討論斜率是否存在兩種情況.當(dāng)斜率不存在時(shí),可直接求得直線方程;當(dāng)斜率存在時(shí),由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離即可求得斜率,即可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）若方程表示圓則解得故實(shí)數(shù)的取值范圍為（Ⅱ）若,圓：①當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí),直線方程為圓心到直線的距離等于半徑,此時(shí)直線與相切②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí),不妨設(shè)斜率為則切線方程為,即由圓心到直線的距離等于半徑可知,解得,即切線方程為綜上所述,切線方程為或【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系和轉(zhuǎn)化,屬