高考物理一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí)：7.2萬(wàn)有引力定律一、太陽(yáng)與行星間的引力1．猜想行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可能是太陽(yáng)的引力作用造成的，太陽(yáng)對(duì)行星的引力F應(yīng)該與行星到太陽(yáng)的距離r有關(guān)．2．模型簡(jiǎn)化行星以太陽(yáng)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供了行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．3．太陽(yáng)對(duì)行星的引力F＝eq\f(mv2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πr,T)))eq\s\up20(2)·eq\f(1,r)＝eq\f(4π2mr,T2).結(jié)合開(kāi)普勒第三定律得：F∝eq\f(m,r2).4．行星對(duì)太陽(yáng)的引力根據(jù)牛頓第三定律，行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′的大小也存在與上述關(guān)系類(lèi)似的結(jié)果，即F′∝eq\f(M,r2).5．太陽(yáng)與行星間的引力由于F∝eq\f(m,r2)、F′∝eq\f(M,r2)，且F＝F′，則有F∝eq\f(Mm,r2)，寫(xiě)成等式F＝Geq\f(Mm,r2)，式中G為比例系數(shù)．二、萬(wàn)有引力定律1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比．2．表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2).3．引力常量G：由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什測(cè)量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.1．思考判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)公式F＝Geq\f(Mm,r2)中G是比例系數(shù)，與太陽(yáng)、行星都沒(méi)關(guān)系．(√)(2)在推導(dǎo)太陽(yáng)與行星的引力公式時(shí)，用到了牛頓第二定律和牛頓第三定律． (√)(3)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是因?yàn)樵虑蚴芰ζ胶猓?(×)(4)月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由地球?qū)λ囊Ξa(chǎn)生的． (√)(5)由于太陽(yáng)質(zhì)量大于行星質(zhì)量，故太陽(yáng)對(duì)行星的引力大于行星對(duì)太陽(yáng)的引力． (×)2．行星之所以繞太陽(yáng)運(yùn)行，是因?yàn)?)A．行星運(yùn)動(dòng)時(shí)的慣性作用B．太陽(yáng)是宇宙的控制中心，所有星體都繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)C．太陽(yáng)對(duì)行星有約束運(yùn)動(dòng)的引力作用D．行星對(duì)太陽(yáng)有排斥力作用，所以不會(huì)落向太陽(yáng)C[行星之所以繞太陽(yáng)運(yùn)行，是因?yàn)槭艿教?yáng)的吸引力．]3．兩個(gè)質(zhì)量均勻的球體，相距r，它們之間的萬(wàn)有引力為1×10－8N，若它們的質(zhì)量、距離都增加為原來(lái)的兩倍，則它們之間的萬(wàn)有引力為()A．4×10－8N B．1×10－8NC．2×10－8N D．8×10－8NB[原來(lái)的萬(wàn)有引力為：F＝eq\f(GMm,r2)，后來(lái)變?yōu)椋篎′＝eq\f(G·2M·2m,2r2)＝eq\f(GMm,r2)，即：F′＝F＝1×10－8N．故選B.]太陽(yáng)與行星間引力的理解[觀察探究]如圖所示，太陽(yáng)系中的行星圍繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(1)為什么行星會(huì)圍繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)？(2)太陽(yáng)對(duì)不同行星的引力與行星的質(zhì)量是什么關(guān)系？(3)行星對(duì)太陽(yáng)的引力與太陽(yáng)的質(zhì)量是什么關(guān)系？提示：(1)因?yàn)樾行鞘芴?yáng)的引力，引力提供向心力．(2)與行星的質(zhì)量成正比．(3)與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比．[探究歸納]1．兩個(gè)理想化模型(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型：由于太陽(yáng)系中行星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)的軌跡的兩個(gè)焦點(diǎn)靠得很近，行星的運(yùn)動(dòng)軌跡非常接近圓，所以將行星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)．(2)質(zhì)點(diǎn)模型：由于天體間的距離很遠(yuǎn)，研究天體間的引力時(shí)將天體看成質(zhì)點(diǎn)，即天體的質(zhì)量集中在球心上．2．推導(dǎo)過(guò)程(1)太陽(yáng)對(duì)行星的引力(2)太陽(yáng)與行星間的引力3．太陽(yáng)與行星間的引力的特點(diǎn)：太陽(yáng)與行星間引力的大小，與太陽(yáng)的質(zhì)量、行星的質(zhì)量成正比，與兩者距離的二次方成反比．太陽(yáng)與行星間引力的方向沿著二者的連線方向．【例1】(多選)關(guān)于太陽(yáng)與行星間的引力，下列說(shuō)法中正確的是()A．由于地球比木星離太陽(yáng)近，所以太陽(yáng)對(duì)地球的引力一定比對(duì)木星的引力大B．行星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，在從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受引力變小C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知G＝eq\f(Fr2,Mm)，由此可見(jiàn)G與F和r2的乘積成正比，與M和m的乘積成反比D．行星繞太陽(yáng)的橢圓軌道可近似看成圓形軌道，其向心力來(lái)源于太陽(yáng)對(duì)行星的引力BD[由F＝eq\f(GMm,r2)，太陽(yáng)對(duì)行星的引力大小與m、r有關(guān)，對(duì)同一行星，r越大，F(xiàn)越小，選項(xiàng)B正確；對(duì)不同行星，r越小，F(xiàn)不一定越大，還要由行星的質(zhì)量決定，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；公式中G為比例系數(shù)，是一常量，與F、r、M、m均無(wú)關(guān)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；通常的研究中，行星繞太陽(yáng)的橢圓軌道可近似看成圓形軌道，向心力由太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供，選項(xiàng)D正確．]1．(多選)下列敘述正確的是()A．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，我們引用了公式F＝meq\f(v2,r)，這個(gè)關(guān)系式實(shí)際上是牛頓第二定律，是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到驗(yàn)證的B．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，我們引用了公式v＝eq\f(2πr,T)，這個(gè)關(guān)系式實(shí)際上是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)公式，它是由線速度的定義式得來(lái)的C．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，我們引用了公式eq\f(r3,T2)＝k，這個(gè)關(guān)系式是開(kāi)普勒第三定律，是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到驗(yàn)證的D．在探究太陽(yáng)對(duì)行星的引力規(guī)律時(shí)，使用以上三個(gè)公式，都是可以在實(shí)驗(yàn)室中得到驗(yàn)證的AB[公式F＝meq\f(v2,r)中，eq\f(v2,r)是行星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度，故這個(gè)關(guān)系式實(shí)際上是牛頓第二定律，也是向心力公式，所以能通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，故A正確；v＝eq\f(2πr,T)是在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，周長(zhǎng)、時(shí)間與線速度的關(guān)系式，故B正確；開(kāi)普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k是無(wú)法在實(shí)驗(yàn)室中得到驗(yàn)證的，是開(kāi)普勒在研究天文學(xué)家第谷的行星觀測(cè)記錄時(shí)發(fā)現(xiàn)的，故C、D錯(cuò)誤．]萬(wàn)有引力定律的理解[問(wèn)題探究]無(wú)論是太陽(yáng)與行星、地球與月球以及任何物體之間都存在萬(wàn)有引力．(1)公式F＝Geq\f(Mm,r2)中r的含義是什么？(2)任何兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力都能利用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計(jì)算出來(lái)嗎？提示：(1)r指的是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離．(2)不能．萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)只適用于質(zhì)點(diǎn)之間、質(zhì)量分布均勻的球體之間的計(jì)算，形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的物體間r不易確定．[探究歸納]1．F＝Geq\f(Mm,r2)的適用條件(1)萬(wàn)有引力定律的公式適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離比物體本身大得多時(shí)，可用此公式近似計(jì)算兩物體間的萬(wàn)有引力．(2)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，可用此公式計(jì)算，式中r是兩個(gè)球體球心間的距離．(3)一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力也可用此公式計(jì)算，式中的r是球體球心到質(zhì)點(diǎn)的距離．2．萬(wàn)有引力的四個(gè)特性特性內(nèi)容普遍性萬(wàn)有引力不僅存在于太陽(yáng)與行星、地球與月球之間，宇宙間任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力相互性兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力和反作用力，總是滿足大小相等，方向相反，作用在兩個(gè)物體上宏觀性地面上的一般物體之間的萬(wàn)有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬(wàn)有引力起著決定性作用特殊性兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力只與它們本身的質(zhì)量和它們間的距離有關(guān)，而與它們所在空間的性質(zhì)無(wú)關(guān)，也與周?chē)欠翊嬖谄渌矬w無(wú)關(guān)【例2】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布、半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力為F，如果在球體中央挖去半徑為r的球體，且r＝eq\f(R,2)，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力變?yōu)槎嗌?？思路點(diǎn)撥：①由于大球體被挖去一小球體后，不能看成質(zhì)點(diǎn)，不能直接應(yīng)用萬(wàn)有引力定律．②設(shè)想將挖出的小球體放回大球體中，使之成為完整的均勻球體，則可應(yīng)用萬(wàn)有引力定律算出完整球體與質(zhì)點(diǎn)P之間的萬(wàn)有引力．③再求出挖出的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力，將兩個(gè)引力求差即可．[解析]設(shè)原球體質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，球心與質(zhì)點(diǎn)P之間的距離為r0，則它們之間的萬(wàn)有引力F＝Geq\f(Mm,r\o\al(2,0))被挖去的球的質(zhì)量：m1＝eq\f(V小,V大)·M＝eq\f(\f(4π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(3),\f(4,3)πR3)·M＝eq\f(M,8)被挖去的球原來(lái)與質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力F1＝Geq\f(m1m,r\o\al(2,0))＝Geq\f(\f(M,8)m,r\o\al(2,0))＝eq\f(F,8)所以，原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力變?yōu)镕2＝F－F1＝eq\f(7,8)F.[答案]eq\f(7,8)F2．(多選)對(duì)于質(zhì)量為m1和質(zhì)量為m2的兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力的表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列說(shuō)法正確的是()A．公式中的G是引力常量，它是由實(shí)驗(yàn)得出的，而不是人為規(guī)定的B．當(dāng)兩個(gè)物體間的距離r趨于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨于無(wú)窮大C．m1和m2所受引力大小總是相等的D．兩個(gè)物體間的引力總是大小相等、方向相反的，是一對(duì)平衡力AC[引力常量G是由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什通過(guò)實(shí)驗(yàn)第一次測(cè)定出來(lái)的，所以選項(xiàng)A正確；兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力與反作用力，它們總是大小相等、方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩物體相距很近時(shí)，兩物體不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤．]萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系[觀察探究]假如某個(gè)人做環(huán)球旅行，可能到達(dá)地球的任何地點(diǎn)，如果地球看成標(biāo)準(zhǔn)的球體，那么該人分別位于赤道上某點(diǎn)、北半球的某點(diǎn)、南半球的某點(diǎn)、北極點(diǎn)、南極點(diǎn)等不同地點(diǎn)．(1)該人在各地點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力有什么關(guān)系？(2)該人在各地點(diǎn)所受的重力有什么關(guān)系？提示：(1)在各地點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力大小相等，方向沿對(duì)應(yīng)的地球半徑指向地心．(2)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，該人在各地點(diǎn)所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心．[探究歸納]1．萬(wàn)有引力是合力：如圖所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，則物體受到地球的吸引力為F，方向指向地心O，則由萬(wàn)有引力公式得F＝Geq\f(Mm,R2).2．萬(wàn)有引力有兩個(gè)分力：除南北兩極外，萬(wàn)有引力有兩個(gè)分力，一個(gè)分力F1提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力，方向垂直于地軸；另一個(gè)分力F2是重力，產(chǎn)生使物體壓地面的效果．3．重力與緯度的關(guān)系：地面上物體的重力隨緯度的升高而變大．(1)赤道上：重力和向心力在一條直線上F＝Fn＋mg，即Geq\f(Mm,R2)＝mrω2＋mg，所以mg＝Geq\f(Mm,R2)－mrω2.(2)地球兩極處：向心力為零，所以mg＝F＝Geq\f(Mm,R2).(3)其他位置：重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，重力的大小mg＜Geq\f(Mm,R2)，重力的方向偏離地心．4．重力、重力加速度與高度的關(guān)系(1)地球表面的重力約等于地球的萬(wàn)有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，所以地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2).(2)地球上空h高度，萬(wàn)有引力等于重力，即mg＝Geq\f(Mm,R＋h2)，所以h高度的重力加速度g＝eq\f(GM,R＋h2).【例3】設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，質(zhì)量為M，引力常量為G，假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R.同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為()A.eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3) B.eq\f(GMT2,GMT2＋4π2R3)C.eq\f(GMT2－4π2R3,GMT2) D.eq\f(GMT2＋4π2R3,GMT2)A[在赤道上：Geq\f(Mm,R2)－FN＝meq\f(4π2,T2)R，可得FN＝Geq\f(Mm,R2)－meq\f(4π2,T2)R；在南極：Geq\f(Mm,R2)＝F′N(xiāo)，聯(lián)立可得：eq\f(F′N(xiāo),FN)＝eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤．]處理萬(wàn)有引力與重力關(guān)系的思路(1)若題目中不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，不考慮重力隨緯度的變化，可認(rèn)為重力等于萬(wàn)有引力，mg＝Geq\f(Mm,R2).(2)若題目中需要考慮地球自轉(zhuǎn)，需要考慮重力隨緯度的變化，就要注意重力與萬(wàn)有引力的差別，兩極處：mg＝Geq\f(Mm,R2)；赤道處：mg＋F向＝Geq\f(Mm,R2).3．地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為eq\f(1,2)g，則該處距地球表面的高度為()A．(eq\r(2)－1)R B．RC.eq\r(2)R D．2RA[設(shè)地球質(zhì)量為M，則質(zhì)量為m的物體在地球表面上重力mg＝Geq\f(Mm,R2)，在高度為h處的重力eq\f(1,2)mg＝Geq\f(Mm,R＋h2)，解以上兩式得：h＝(eq\r(2)－1)R，A正確．]課堂小結(jié)知識(shí)脈絡(luò)1.牛頓認(rèn)為所有物體之間存在萬(wàn)有引力，太陽(yáng)與行星間的引力使得行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)．2．自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比，這就是萬(wàn)有引力定律，其表達(dá)式為F＝Geq\f(m1m2,r2).3．引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，是英國(guó)物理學(xué)家卡文迪什通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出的.【課堂同步練習(xí)】1．由萬(wàn)有引力定律可知，兩個(gè)物體的質(zhì)量分別為m1和m2，其間距為r時(shí)，它們之間萬(wàn)有引力的大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，式中G為引力常量．在國(guó)際單位制中，G的單位是()A．N·m2/kg2 B．kg2/(N·m2)C．N·m2/kg D．N·kg2/m2A[根據(jù)萬(wàn)有引力定律知F＝Geq\f(m1m2,r2)，則G＝eq\f(Fr2,m1m2)，可知G的單位為：N·m2/kg2＝N·m2·kg－2，故A正確．]2．(多選)要使兩物體間的萬(wàn)有引力減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，下列辦法可以采用的是()A．使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變B．使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，距離不變C．使兩物體間的距離增大為原來(lái)的2倍，質(zhì)量不變D．使兩物體間的距離和質(zhì)量都減小為原來(lái)的eq\f(1,4)ABC[由萬(wàn)有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，A、B、C選項(xiàng)中兩物體間的萬(wàn)有引力都將減少到原來(lái)的eq\f(1,4)，而D選項(xiàng)中兩物體間的萬(wàn)有引力保持不變，故應(yīng)選A、B、C.]3．(多選)根據(jù)開(kāi)普勒關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)知：太陽(yáng)對(duì)行星的引力F∝eq\f(m,r2)，行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′∝eq\f(M,r2)，其中M、m、r分別為太陽(yáng)、行星質(zhì)量和太陽(yáng)與行星間的距離．下列說(shuō)法正確的是()A．由F∝eq\f(m,r2)和F′∝eq\f(M,r2)，F(xiàn)∶F′＝m∶MB．F和F′大小相等，是作用力與反作用力C．F和F′大小相等，是同一個(gè)力D．太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力BD[F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太陽(yáng)對(duì)行星的引力是行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故正確答案為B、D.]4．關(guān)于萬(wàn)有引力F＝Geq\f(m1m2,r2)和重力，下列說(shuō)法正確的是()A．公式中的G是一個(gè)比例常數(shù)，沒(méi)有單位B．到地心距離等于地球半徑2倍處的重力加速度為地面重力加速度的eq\f(1,4)C．m1、m2受到的萬(wàn)有引力是一對(duì)平衡力D．若兩物體的質(zhì)量不變，它們間的距離減小到原來(lái)的一半，它們間的萬(wàn)有引力也變?yōu)樵瓉?lái)的一半B[G的單位是N·m2/kg2，A錯(cuò)誤；設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，則地球表面的重力加速度為eq\f(GM,R2)，到地心距離等于地球半徑2倍處的重力加速度為eq\f(GM,4R2)，所以B正確；m1、m2受到的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力與反作用力，C錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力公式，若兩物體的質(zhì)量不變，它們間的距離減小到原來(lái)的一半，它們間的萬(wàn)有引力應(yīng)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，D錯(cuò)誤．]《7.2萬(wàn)有引力定律》同步訓(xùn)練一、行星與太陽(yáng)間的引力r.天文觀測(cè)測(cè)得行星公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則向心力F＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r①根據(jù)開(kāi)普勒第三定律：eq\f(r3,T2)＝k②由①②得：F＝4π2keq\f(m,r2)③由③式可知太陽(yáng)對(duì)行星的引力F∝eq\f(m,r2)根據(jù)牛頓第三定律，行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′∝eq\f(m太,r2)則行星與太陽(yáng)間的引力F∝eq\f(m太m,r2)寫(xiě)成等式F＝Geq\f(m太m,r2).二、月—地檢驗(yàn)1.猜想：地球與月球之間的引力F＝Geq\f(m月m地,r2)，根據(jù)牛頓第二定律a月＝eq\f(F,m月)＝Geq\f(m地,r2).地面上蘋(píng)果自由下落的加速度a蘋(píng)＝eq\f(F′,m蘋(píng))＝Geq\f(m地,R2).由于r＝60R，所以eq\f(a月,a蘋(píng))＝eq\f(1,602).2.驗(yàn)證：(1)蘋(píng)果自由落體加速度a蘋(píng)＝g＝9.8m/s2.(2)月球中心距地球中心的距離r＝3.8×108m.月球公轉(zhuǎn)周期T＝27.3d≈2.36×106s則a月＝(eq\f(2π,T))2r＝2.7×10－3m/s2(保留兩位有效數(shù)字)eq\f(a月,a蘋(píng))＝2.8×10－4(數(shù)值)≈eq\f(1,602)(比例).3.結(jié)論：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽(yáng)、行星間的引力，遵從相同的規(guī)律.三、萬(wàn)有引力定律1.內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.2.表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量.四、引力常量牛頓得出了萬(wàn)有引力與物體質(zhì)量及它們之間距離的關(guān)系，但沒(méi)有測(cè)出引力常量G.1.判斷下列說(shuō)法的正誤.(1)萬(wàn)有引力不僅存在于天體之間，也存在于普通物體之間.(√)(2)牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，并測(cè)出了引力常量.(×)(3)質(zhì)量一定的兩個(gè)物體，若距離無(wú)限小，它們間的萬(wàn)有引力趨于無(wú)限大.(×)(4)把物體放在地球中心處，物體受到的引力無(wú)窮大.(×)(5)由于太陽(yáng)質(zhì)量大，太陽(yáng)對(duì)行星的引力大于行星對(duì)太陽(yáng)的引力.(×)2.兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體(可看成質(zhì)點(diǎn))，相距1m時(shí)，兩物體間的萬(wàn)有引力F＝________N，其中一個(gè)物體的重力F′＝________N，萬(wàn)有引力F與重力F′的比值為_(kāi)_______.(已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，取重力加速度g＝10m/s2)答案6.67×10－11106.67×10－12一、對(duì)太陽(yáng)與行星間引力的理解導(dǎo)學(xué)探究1.是什么原因使行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)？答案太陽(yáng)對(duì)行星的引力使行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng).2.在推導(dǎo)太陽(yáng)與行星間的引力時(shí)，我們對(duì)行星的運(yùn)動(dòng)怎么簡(jiǎn)化處理的？用了哪些知識(shí)？答案將行星繞太陽(yáng)的橢圓運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng).在推導(dǎo)過(guò)程中，用到了向心力公式、開(kāi)普勒第三定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律.知識(shí)深化萬(wàn)有引力定律的得出過(guò)程(多選)根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)知：太陽(yáng)對(duì)行星的引力F∝eq\f(m,r2)，行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′∝eq\f(M,r2)，其中M、m、r分別為太陽(yáng)質(zhì)量、行星質(zhì)量和太陽(yáng)與行星間的距離，下列說(shuō)法正確的是()A.由F′∝eq\f(M,r2)和F∝eq\f(m,r2)，得F∶F′＝m∶MB.F和F′大小相等，是作用力與反作用力C.F和F′大小相等，是同一個(gè)力D.太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力答案BD解析由于力的作用是相互的，則F′和F大小相等、方向相反，是作用力與反作用力，太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供行星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故正確答案為B、D.二、萬(wàn)有引力定律導(dǎo)學(xué)探究(1)通過(guò)月—地檢驗(yàn)結(jié)果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽(yáng)、行星間的引力遵從相同的規(guī)律.一切物體都存在這樣的引力，如圖1，那么，為什么通常兩個(gè)人(假設(shè)兩人可看成質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量均為100kg，相距1m)間的萬(wàn)有引力我們卻感受不到？圖1(2)地球?qū)θ说娜f(wàn)有引力與人對(duì)地球的萬(wàn)有引力大小相等嗎？N，因引力很小，所以通常感受不到.(2)相等.它們是一對(duì)相互作用力.知識(shí)深化1.萬(wàn)有引力定律表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.2.萬(wàn)有引力定律公式適用的條件(1)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用.(2)一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，r為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離.(3)兩個(gè)質(zhì)量均勻的球體間的相互作用，r為兩球心間的距離.關(guān)于萬(wàn)有引力和萬(wàn)有引力定律的理解正確的是()A.不能看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間不存在相互作用的引力B.只有能看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的引力才能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)計(jì)算C.由F＝eq\f(Gm1m2,r2)知，兩物體間距離r減小時(shí)(沒(méi)有無(wú)限靠近)，它們之間的引力增大D.引力常量的大小是牛頓首先測(cè)出來(lái)的，且約等于6.67×10－11N·m2/kg2答案C解析任何兩物體間都存在相互作用的引力，故稱(chēng)萬(wàn)有引力，A錯(cuò)；兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的萬(wàn)有引力也能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)來(lái)計(jì)算，B錯(cuò)；物體間的萬(wàn)有引力與它們之間距離r的二次方成反比，故r減小，它們之間的引力增大，C對(duì)；引力常量G是由卡文迪什首先精確測(cè)出的，D錯(cuò).如圖2所示，兩球間的距離為r0.兩球的質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，則兩球間的萬(wàn)有引力大小為()圖2A.Geq\f(m1m2,r\o\al(2,0)) B.eq\f(Gm1m2,r\o\al(2,1))C.eq\f(Gm1m2,r1＋r22) D.eq\f(Gm1m2,r1＋r2＋r02)答案D解析兩個(gè)勻質(zhì)球體間的萬(wàn)有引力F＝Geq\f(m1m2,r2)，r是兩球心間的距離，選D.一個(gè)質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內(nèi)部挖去一個(gè)半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖3所示.已知挖去小球的質(zhì)量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)，求：圖3(1)被挖去的小球挖去前對(duì)m2的萬(wàn)有引力為多大？(2)剩余部分對(duì)m2的萬(wàn)有引力為多大？答案(1)Geq\f(mm2,25r2)(2)Geq\f(41mm2,225r2)解析(1)被挖去的小球挖去前對(duì)m2的萬(wàn)有引力為F2＝Geq\f(mm2,d－r2)＝Geq\f(mm2,5r2)＝Geq\f(mm2,25r2)(2)將挖為F1＝Geq\f(8m·m2,6r2)＝Geq\f(2mm2,9r2)m2所受剩余部分的萬(wàn)有引力為F＝F1－F2＝Geq\f(41mm2,225r2).三、重力和萬(wàn)有引力的關(guān)系1.物體在地球表面上所受引力與重力的關(guān)系：除兩極以外，地面上其他點(diǎn)的物體，都圍繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要一個(gè)垂直于地軸的向心力.地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分力F′提供向心力，另一個(gè)分力為重力G，如圖4所示.圖4(1)當(dāng)物體在兩極時(shí)：G＝F引，重力達(dá)到最大值Gmax＝Geq\f(Mm,R2).(2)當(dāng)物體在赤道上時(shí)：F′＝mω2R最大，此時(shí)重力最小Gmin＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R(3)從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力F′＝mω2R′減小，F(xiàn)′與F引夾角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.因?yàn)镕′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬(wàn)有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f(Mm,R2).2.重力與高度的關(guān)系若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度).在同一緯度，距地面越高，重力加速度越小.3.特別說(shuō)明(1)重力是物體由于地球吸引產(chǎn)生的，但重力并不是地球?qū)ξ矬w的引力.(2)在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，認(rèn)為mg＝Geq\f(Mm,R2).(多選)萬(wàn)有引力定律能夠很好地將天體運(yùn)行規(guī)律與地球上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來(lái).用彈簧測(cè)力計(jì)稱(chēng)量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的質(zhì)量為m的小物體的重力，隨稱(chēng)量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果.已知地球質(zhì)量為M，引力常量為G.將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體.下列說(shuō)法正確的是()A.在北極地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B.在赤道地面稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C.在北極上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D.在赤道上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)答案AC解析物體在兩極時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，則有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱(chēng)量時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力加上小物體m隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B錯(cuò)誤；在北極上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，則有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱(chēng)量時(shí)，萬(wàn)有引力大于重力，則有F3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D錯(cuò)誤.火星半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星質(zhì)量大約是地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，那么地球表面上質(zhì)量為50kg的宇航員(地球表面的重力加速度g取10m/s2)(1)在火星表面上受到的重力是多少？(2)若宇航員在地球表面能跳1.5m高，那他在火星表面能跳多高？答案(1)222.2N(2)3.375m解析(1)在地球表面有mg＝Geq\f(Mm,R2)在火星表面上有mg′＝Geq\f(M′m,R′2)代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得g′＝eq\f(40,9)m/s2宇航員在火星表面上受到的重力G′＝mg′＝50×eq\f(40,9)N≈222.2N.(2)在地球表面宇航員跳起的高度H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)在火星表面宇航員能夠跳起的高度h＝eq\f(v\o\al(2,0),2g′)綜上可知，h＝eq\f(g,g′)H＝eq\f(10,\f(40,9))×1.5m＝3.375m.1.(對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解)對(duì)于萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列說(shuō)法正確的是()A.公式中G為引力常量，它是由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的，而不是人為規(guī)定的B.當(dāng)r趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨于無(wú)窮大C.對(duì)于m1與m2間的萬(wàn)有引力，質(zhì)量大的受到的引力大D.m1與m2受到的引力是一對(duì)平衡力答案A解析萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式F＝Geq\f(m1m2,r2)，公式中G為引力常量，它是由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的，而不是人為規(guī)定的，選項(xiàng)A正確；當(dāng)r趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力定律表達(dá)式不再適用，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；m1與m2間的萬(wàn)有引力是相互作用力，兩物體受到的萬(wàn)有引力是等大反向的，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；m1與m2受到的引力是一對(duì)相互作用力，因作用在兩個(gè)物體上，故不是平衡力，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.2.(月—地檢驗(yàn))若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力”與“使蘋(píng)果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗(yàn)證()A.地球吸引月球的力約為地球吸引蘋(píng)果的力的eq\f(1,602)B.月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋(píng)果落向地面加速度的eq\f(1,602)C.自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的eq\f(1,6)D.蘋(píng)果在月球表面受到的引力約為在地球表面的eq\f(1,60)答案B3.(萬(wàn)有引力定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用)兩個(gè)完全相同的實(shí)心均質(zhì)小鐵球緊靠在一起，它們之間的萬(wàn)有引力為F.若將兩個(gè)用同種材料制成的半徑是小鐵球2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起，則兩個(gè)大鐵球之間的萬(wàn)有引力為()A.2F B.4FC.8F D.16F答案D解析兩個(gè)小鐵球之間的萬(wàn)有引力為F＝Geq\f(mm,2r2)＝Geq\f(m2,4r2).實(shí)心小鐵球的質(zhì)量為m＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πr3，大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，則大鐵球的質(zhì)量為m′，則eq\f(m′,m)＝eq\f(r′3,r3)＝8，故兩個(gè)大鐵球間的萬(wàn)有引力為F′＝Geq\f(m′m′,2r′2)＝16F，故選D.4.(重力加速度的計(jì)算)據(jù)報(bào)道，在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，設(shè)其質(zhì)量為地球質(zhì)量的k倍，其半徑為地球半徑的p倍，由此可推知該行星表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為()A.eq\f(k,p)B.eq\f(k,p2)C.eq\f(k2,p)D.eq\f(k2,p2)答案B解析由mg＝Geq\f(Mm,R2)可知：g地＝Geq\f(M地,R\o\al(2,地))，g星＝Geq\f(M星,R\o\al(2,星))，eq\f(g星,g地)＝eq\f(M星,M地)·eq\f(R\o\al(2,地),R\o\al(2,星))＝eq\f(k,p2)，所以選項(xiàng)B正確.考點(diǎn)一萬(wàn)有引力定律的理解1.下列關(guān)于行星對(duì)太陽(yáng)的引力的說(shuō)法中正確的是()A.行星對(duì)太陽(yáng)的引力與太陽(yáng)對(duì)行星的引力是同一種性質(zhì)的力B.行星對(duì)太陽(yáng)的引力與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比，與行星的質(zhì)量無(wú)關(guān)C.太陽(yáng)對(duì)行星的引力大于行星對(duì)太陽(yáng)的引力D.行星對(duì)太陽(yáng)的引力與太陽(yáng)的質(zhì)量成正比，與行星距太陽(yáng)的距離成反比答案A2.(多選)關(guān)于引力常量G，下列說(shuō)法中正確的是()A.在國(guó)際單位制中，引力常量G的單位是N·m2/kg2B.引力常量G的大小與兩物體質(zhì)量的乘積成反比，與兩物體間距離的平方成正比C.引力常量G在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的物體相距1m時(shí)的相互吸引力D.引力常量G是不變的，其數(shù)值大小由卡文迪什測(cè)出，與單位制的選擇無(wú)關(guān)答案AC解析由F＝Geq\f(m1m2,r2)得G＝eq\f(F·r2,m1m2)，所以在國(guó)際單位制中，G的單位為N·m2/kg2，選項(xiàng)A正確；引力常量是一個(gè)常數(shù)，其大小與兩物體質(zhì)量以及兩物體間的距離無(wú)關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知，引力常量G在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的物體相距1m時(shí)的相互吸引力，選項(xiàng)C正確；引力常量是定值，其數(shù)值大小由卡文迪什測(cè)出，但其數(shù)值大小與單位制的選擇有關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.3.圖1(a)是用來(lái)“顯示桌(或支持)面的微小形變”的演示實(shí)驗(yàn)；圖(b)是用來(lái)“測(cè)量萬(wàn)有引力常量”的實(shí)驗(yàn).由圖可知，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)共同的物理思想方法是()圖1A.極限的思想方法 B.放大的思想方法C.控制變量的方法 D.猜想的思想方法答案B考點(diǎn)二萬(wàn)有引力定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用4.要使兩物體間的萬(wàn)有引力減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，下列辦法不正確的是()A.使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變B.使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，距離不變C.使兩物體間的距離增大到原來(lái)的2倍，質(zhì)量不變D.使兩物體的質(zhì)量和兩物體間的距離都減小到原來(lái)的eq\f(1,4)答案D解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知F＝Geq\f(Mm,r2).使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變，則萬(wàn)有引力變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,4)，A正確；使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，距離不變，則萬(wàn)有引力變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,4)，B正確；使兩物體間的距離增大到原來(lái)的2倍，質(zhì)量不變，則萬(wàn)有引力變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,4)，C正確；使兩物體的質(zhì)量和兩物體間的距離都減小到原來(lái)的eq\f(1,4)，則萬(wàn)有引力大小不變，D錯(cuò)誤.5.某物體在地面上受到地球?qū)λ娜f(wàn)有引力為F.若此物體受到的引力減小到eq\f(F,4)，則此物體距離地面的高度應(yīng)為(R為地球半徑)()A.2RB.4RC.RD.8R答案C解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律有F＝Geq\f(Mm,R2)，由題意可知eq\f(1,4)F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，解得h＝R，選項(xiàng)C正確.6.地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為eq\f(g,2)，則該處距地球表面的高度為()A.(eq\r(2)－1)RB.RC.eq\r(2)RD.2R答案A解析設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，物體距地面的高度為h，根據(jù)萬(wàn)有引力近似等于重力，則有eq\f(GMm,R2)＝mg，eq\f(GMm,R＋h2)＝meq\f(g,2)，聯(lián)立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(eq\r(2)－1)R，選項(xiàng)A正確.7.(多選)如圖2所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，下列說(shuō)法正確的是()圖2A.地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)B.一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C.兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)D.三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)答案BC解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律，地球與一顆衛(wèi)星間的引力大小為F＝eq\f(GMm,r2)，A錯(cuò)誤，B正確；三顆衛(wèi)星等間隔分布，由幾何關(guān)系可知任意兩衛(wèi)星之間的距離為eq\r(3)r，故兩衛(wèi)星之間的引力大小為F′＝eq\f(Gmm,\r(3)r2)＝eq\f(Gm2,3r2)，C正確；任意兩衛(wèi)星對(duì)地球引力的夾角為120°，故任意兩衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力與第三顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小相等、方向相反，三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為零，D錯(cuò)誤.8.地球質(zhì)量大約是月球質(zhì)量的81倍，一飛行器位于地球與月球之間，當(dāng)?shù)厍驅(qū)λ囊驮虑驅(qū)λ囊Υ笮∠嗟葧r(shí)，飛行器距月球球心的距離與月球球心距地球球心的距離之比為()A.1∶9B.9∶1C.1∶10D.10∶1答案C解析設(shè)月球質(zhì)量為m，則地球質(zhì)量為81m，月球球心距地球球心的距離為r，飛行器質(zhì)量為m0，當(dāng)飛行器距月球球心的距離為r′時(shí)，地球?qū)λ囊Φ扔谠虑驅(qū)λ囊?，則Geq\f(mm0,r′2)＝Geq\f(81mm0,r－r′2)，所以eq\f(r－r′,r′)＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故選項(xiàng)C正確.9.如圖3所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P(圖中未畫(huà)出)的萬(wàn)有引力為F.如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝eq\f(R,2)，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力變?yōu)?)圖3A.eq\f(F,2)B.eq\f(F,8)C.eq\f(7F,8)D.eq\f(F,4)答案C解析原來(lái)物體間的萬(wàn)有引力為F，挖去的半徑為eq\f(R,2)的球體的質(zhì)量為原來(lái)球體質(zhì)量的eq\f(1,8)，其他條件不變，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力為F－eq\f(F,8)＝eq\f(7,8)F.10.(多選)宇宙中存在著由四顆星組成的孤立星系.如圖4所示，一顆母星處在正三角形的中心，三角形的頂點(diǎn)各有一顆質(zhì)量相等的小星圍繞母星做圓周運(yùn)動(dòng).如果兩顆小星間的萬(wàn)有引力為F，母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力為9F.則()圖4A.每顆小星受到的萬(wàn)有引力為(eq\f(\r(3),2)＋9)FB.每顆小星受到的萬(wàn)有引力為(eq\r(3)＋9)FC.母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的3倍D.母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的3eq\r(3)倍答案BC解析假設(shè)每顆小星的質(zhì)量為m，母星的質(zhì)量為M，正三角形的邊長(zhǎng)為a，則小星繞母星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)a.根據(jù)萬(wàn)有引力定律：F＝Geq\f(mm,a2)，9F＝Geq\f(Mm,r2)聯(lián)立解