第三章內(nèi)容提要一、二維隨機(jī)變量及其分布1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布、幾何意義、性質(zhì)

F(x,y)=P({X

x}∩{Y

y})P(X

x,Y

y)(1)對(duì)任意(x,y)

R2,0

F(x,y)

1。(2)單調(diào)不減：F(x,y)是變量x或y的非降函數(shù)。

(3)歸一性：(4)右連續(xù)性：F(x,y)關(guān)于變量x或y是右連續(xù)的。

(5)矩陣不等式：對(duì)于任意(x1,y1)，(x2,y2)

R2，(x1<x2，y1<y2)，F(xiàn)(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0。2、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)及其性質(zhì)(1)非負(fù)性：f(x,y)

0，(x,y)

R2;(2)歸一性：(3)若f(x,y)在(x,y)

處連續(xù)，則有(4)

(X,Y)落在平面區(qū)域G內(nèi)的概率二、邊緣分布定義、幾何意義、計(jì)算1、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律的計(jì)算YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…x2p21p22…p1j……………………xipi1pi2…pij……………………P(Y=yj)……1聯(lián)合確定邊緣，但僅有邊緣未必能確定聯(lián)合2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)的計(jì)算3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的常用分布均勻分布正態(tài)分布三、隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義

P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)?

P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)?FY(y)判定離散情形對(duì)任意i，j，P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj)，即pij

=pi??p?j連續(xù)情形f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上幾乎處處成立若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則聯(lián)合分布可由邊緣分布唯一確定。四、多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)。1、離散情形:2、連續(xù)情形:先求分布函數(shù)，再求密度函數(shù)3、常用的隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1）和的分布Z=X+Y設(shè)(X,Y)～f(x,y)，(x,y)

R2，則Z的概率密度為或重要結(jié)論：Xi相互獨(dú)立，αi是不全為0的常數(shù)，i=1,2,3,…,n，則相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍是正態(tài)隨機(jī)變量。2）、M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（極值分布）

設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則M與N的分布函數(shù)分別為第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征、極限定理數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理?設(shè)彩票箱中有四張獎(jiǎng)券，2張0元，1張1元，1張2元。請(qǐng)你去摸獎(jiǎng)，問(wèn)獎(jiǎng)券的平均價(jià)值是多少？你愿意化多少錢(qián)去買(mǎi)一張獎(jiǎng)券（不計(jì)人工等費(fèi)用）X012p2/41/41/4平均價(jià)值(0×2+1×1+2×1)/4=0×2/4+1×1/4+2×1/4=0.75（期望值）4.1數(shù)學(xué)期望

一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4.1甲、乙兩射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知在100次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：環(huán)數(shù)8910次數(shù)301060環(huán)數(shù)8910次數(shù)205030甲乙試問(wèn)如何評(píng)定甲、乙射手的技術(shù)優(yōu)劣？甲平均射中的環(huán)數(shù)為：乙平均射中的環(huán)數(shù)為：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(環(huán))(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(環(huán))因此從平均射中的環(huán)數(shù)看，甲的技術(shù)優(yōu)于乙。X012p2/41/41/4平均價(jià)值(0×2+1×1+2×1)/4=0×2/4+1×1/4+2×1/4=0.75（期望值）：設(shè)彩票箱中有四張獎(jiǎng)券，2張0元，1張1元，1張2元。一人去摸獎(jiǎng)，問(wèn)獎(jiǎng)券的平均價(jià)值是多少？你愿意化多少錢(qián)去買(mǎi)一張獎(jiǎng)券（不計(jì)人工等費(fèi)用）?

在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件(X=k)在100次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率(X為命中的環(huán)數(shù))，當(dāng)射擊次數(shù)相當(dāng)大時(shí)，這個(gè)頻率接近于事件(X=k)在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率pk。上述平均環(huán)數(shù)的計(jì)算可表示為我們稱之為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或均值。數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征定義4.1

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，…如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，并稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，E(X)，即

則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。注意：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)完全是由X的分布律確定的，而不應(yīng)受X的可能取值的排列次序的影響，因此要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。若級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，例如，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16則X的數(shù)學(xué)期望為例4.2擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。解X的分布律為X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例4.3從一個(gè)裝有m個(gè)白球和n個(gè)紅球的袋中取球，直到取到白球?yàn)橹?。若每次取出的球仍放回袋中，試求取到紅球的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)取到紅球的次數(shù)為X，則X的分布律為k=0,1,2,…其中例4.4設(shè)X取(k=1,2,…)對(duì)應(yīng)的概率為，證明E(X)不存在。證明且但級(jí)數(shù)發(fā)散所以E(X)不存在，但級(jí)數(shù)(交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足Leibniz條件)(收斂)要注意數(shù)學(xué)期望的條件：“絕對(duì)收斂”。定義4.2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x),二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若積分絕對(duì)收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，且稱積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望或均值。例4.5設(shè)有5個(gè)相互獨(dú)立的元件，其壽命服從參數(shù)為θ>0的指數(shù)分布，其概率密度為

(1)若將5個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；(2)若將5個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的平均壽命；解(1)設(shè)Xk表示第k個(gè)元件的壽命，k=1,2,3,4,5，則X1,X2,X3,X4,X5相互獨(dú)立，且Xk~f(x)，同分布。記Y為串聯(lián)系統(tǒng)的壽命，則Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函數(shù)為密度函數(shù)為所以數(shù)學(xué)期望為(2)記Z為并聯(lián)系統(tǒng)的壽命，則Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z的分布函數(shù)為密度函數(shù)為所以數(shù)學(xué)期望為從本例可知：同樣5個(gè)組件，并聯(lián)系統(tǒng)的平均壽命是串聯(lián)系統(tǒng)的平均壽命11.4倍。例4.6設(shè)隨機(jī)變量X服從(-∞<x<+∞)試討論E(X)。此分布稱為Cauchy分布。解此廣義積分發(fā)散（階的估計(jì)法），因此數(shù)學(xué)期望E(X)不存在。注意這里三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4.1設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，Y=g(X)(g(?)為連續(xù)函數(shù))(1)設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且(2)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則Y的數(shù)學(xué)期望存在，且

此定理說(shuō)明，在求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的期望時(shí)，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。推廣：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，g(?,?)是連續(xù)函數(shù)。(1)設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且(2)設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x,y)，則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，Z的數(shù)學(xué)期望存在，且例4.7設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，求E(Y)解X~B(n,p)，分布律為其中p+q=1例4.8設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度設(shè)Z=XY，試求Z的數(shù)學(xué)期望。解O1xy1y=x例4.9設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(單位噸)，它服從[2000,4000]上的均勻分布。若售出這種商品1噸，可賺3萬(wàn)元，但若銷(xiāo)售不出去，則每噸需付倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)該組織多少噸貨源才可使平均收益最大？解由題意可知X的密度函數(shù)為設(shè)每年組織貨源y噸，(2000≤y≤4000)，則收益可知y=3500時(shí)，E(Y)取到最大值，故組織3500噸此商品才可使平均收益最大。1、設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;證將C看成是離散型隨機(jī)變量，分布律P(X=C)=1，則E(C)=C2、設(shè)C是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則E(CX)=CE(X);證設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)，則四.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y);證設(shè)(X,Y)~f(x,y)，邊緣密度函數(shù)為fX(x)，fY(y)推廣：

Xi為隨機(jī)變量，Ci為常數(shù)，i=1,2,…,nE(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)4、若X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E(XY)=E(X)E(Y)。證設(shè)(X,Y)~f(x,y)，由于X,Y相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)?fY(y)推廣：X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出它們獨(dú)立。例4.10設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個(gè)人中普查這種疾病,為此要化驗(yàn)每個(gè)人的血。方法是，每100個(gè)人一組，把從100個(gè)人抽來(lái)的血混在一起化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，則通過(guò)；如果混合血樣呈陽(yáng)性，則再分別化驗(yàn)該組每個(gè)人的血樣。求平均化驗(yàn)次數(shù)。解設(shè)Xj為第j組的化驗(yàn)次數(shù)，j=1,2,…,10，X為1000人的化驗(yàn)次數(shù)，則Xj的可能取值為1，101，且Xj1101Pj(99%)1001-(99%)100例4.11一民航機(jī)場(chǎng)的送客車(chē)載有20名乘客從機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)，如到達(dá)一個(gè)站無(wú)旅客下車(chē)就不停車(chē)，假設(shè)每位旅客在各站下車(chē)是等可能的，且旅客之間在哪一個(gè)站下車(chē)相互獨(dú)立。以X表示停車(chē)次數(shù)，求平均停車(chē)次數(shù)E(X)。解X的可能取值為1,2,…,10，又設(shè)則X=X1+X2+…+X10按題意，對(duì)一位旅客而言，他在第i站下車(chē)的概率是1/10，在第i站不下車(chē)的概率是9/10。由于在各站旅客下車(chē)與否相互獨(dú)立，故第i站無(wú)人下車(chē)的概率為(9/10)20，從而第i站有人下車(chē)的概率為1-(9/10)20，Xi的分布律為：Xi10P1-(9/10)20(9/10)20E(Xi)=1×[1-(9/10)20]+0×(9/10)20=1-(9/10)20E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(X2)+…+E(X10)=10×[1-(9/10)20]=8.784例4.12對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，至命中n次為止。設(shè)每次射擊的命中率為p，且相互獨(dú)立，求消耗的子彈數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)Xi為第i-1次命中后至第i次命中時(shí)所消耗的子彈數(shù)，則且Xi的分布律為4.2方差一、方差的概念例4.13甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，公差為0.2mm，即直徑在9.8mm到10.2mm的為合格品，超出范圍的均為廢品?，F(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取6件進(jìn)行測(cè)試，機(jī)軸的直徑的測(cè)試尺寸如下：(mm)甲 9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2乙 9.0 9.2 9.4 10.6 10.8 11.0易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為10.0mm，但兩組的質(zhì)量顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均值無(wú)差別，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。甲組離散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)定，乙組的離散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)定。

為衡量一個(gè)隨機(jī)變量X關(guān)于均值的離散程度，可用|X-EX|的均值來(lái)表示，稱為X的絕對(duì)離差，用E|X-EX|記，這在實(shí)際統(tǒng)計(jì)中有一定的作用。但由于絕對(duì)值得均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)變量與均值差的平方的均值來(lái)描述離散程度。定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若E{[X-EX]2}存在，則稱E{[X-EX]2}為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或Var(X)，即D(X)=E{[X-EX]2}

在應(yīng)用上，常用與隨機(jī)變量X具有相同量綱的量，稱為隨機(jī)變量X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征。由方差的定義可知，D(X)≥0。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量，且分布律為P(X=xk)=pk時(shí)，則當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為f(x)，則在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式即方差是“隨機(jī)變量平方的期望減去隨機(jī)變量期望的平方”。例4.14已知隨機(jī)變量X的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8，例4.15設(shè)隨機(jī)變量求D(X)解二、方差的性質(zhì)1、設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0，且D(X+C)=D(X);2、設(shè)C是常數(shù)，X為隨機(jī)變量，則D(CX)=C2D(X);證3、設(shè)X,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有證明由方差定義可得D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}特別地，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y)由于E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)推論：若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)又X,Y相互獨(dú)立，C1，C2為常數(shù)，則D(C1X+C2Y)=C12

D(X)+C22D(Y)特別注意：D(X-Y)=D(X)+D(Y)(當(dāng)X,Y獨(dú)立)4、D(X)=0的充分必要條件是X以概率1為常數(shù)，即P(X=C)=15、切比雪夫(Chebyshev,俄羅斯)不等式設(shè)隨機(jī)變量X，E(X)=μ，D(X)=σ2，則對(duì)任意的ε>0，必有或或等價(jià)于切比雪夫不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知時(shí)，概率P(|X-E(X)|≥ε)的一個(gè)上限，當(dāng)ε分別取時(shí)2σ，3σ，4σ時(shí)，有P(|X-E(X)|≥2σ)≤1/4P(|X-E(X)|≥3σ)≤1/9P(|X-E(X)|≥4σ)≤1/16表明：隨機(jī)變量X的方差越小，事件發(fā)生的概率越大，即X的取值基本集中在它的期望附近?？梢?jiàn)方差刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值的離散程度。已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a，使股價(jià)超過(guò)1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解由切比雪夫不等式令練習(xí)4.3幾個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差一、0—1分布X~B(1,p)，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=qE(X)=1×p+0×(1-p)=p，E(X2)=12×p+02×(1-p)=pD(X)=E(X2)-(E(X))2=p-p2=pq=p(1-p)二、二項(xiàng)分布X~B(n,p)分布律為P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,…,n其中隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在計(jì)算時(shí)，若將X表示成若干個(gè)相互獨(dú)立的0—1分布變量之和，計(jì)算就極為簡(jiǎn)便。在n重Bernoulli試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q=1-p。設(shè)則A發(fā)生的次數(shù)X~B(n,p)三、Poisson分布X~P(λ)，四、幾何分布五、均勻分布X~U[a,b]六、正態(tài)分布N(μ,σ2)中兩個(gè)參數(shù)μ和σ2

，分別是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。七、指數(shù)分布練習(xí)1、設(shè)隨機(jī)變量X

N(0,1)，Y

U(0,1)，Z

B(5,0.5),且X，Y，Z獨(dú)立，求隨機(jī)變量U=(2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學(xué)期望2、設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且均服從N(μ,σ2)分布，答:答:，求3、長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、30分、55分發(fā)車(chē)，設(shè)乘客不知發(fā)車(chē)時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求乘客的平均候車(chē)時(shí)間。解設(shè)乘客于某時(shí)X分到達(dá)車(chē)站,候車(chē)時(shí)間為Y,則=10分25秒4、設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)思考：1.請(qǐng)給出一個(gè)離散型隨機(jī)變量X和一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y，使它們的期望都是2，方差都是1。2.已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個(gè)Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn

，求E（Y2）4.4協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)定義設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}存在,則稱它是X與Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y)即Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}。當(dāng)D(X)>0,D(Y)>0時(shí)稱一、概念為X與Y的相關(guān)系數(shù)，或稱X與Y的標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。ρXY是一個(gè)無(wú)量綱的量。當(dāng)X與Y是離散型隨機(jī)變量時(shí)，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij當(dāng)X與Y是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，密度函數(shù)f(x,y)由協(xié)方差定義可得，對(duì)任意的隨機(jī)變量X、Y，有Cov(X,Y)=

E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}=E(XY)

E(X)E(Y)——協(xié)方差的一個(gè)計(jì)算公式。又有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)例4.15設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX010q010p其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)ρXY。解由題意可得X,Y的邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為0—1分布，E(X)=p，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)=0×0×q+0×1×0+1×0×0+1×1×p

p×p=p

p2=pq因此例4.16設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求Cov(X,Y)解同理Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)=0二、協(xié)方差的性質(zhì)(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,C)=0；(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b為常數(shù)；(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)；(5)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量，即“隨機(jī)變量與期望之差除以均方差”若記則E(X*)=0，D(X*)=1三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、|ρXY|≤1，即“相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于1”。證明方差的非負(fù)性|ρXY|≤12、|ρXY|=1的充分必要條件是X與Y以概率1存在線性關(guān)系，即P(Y=aX+b)=1，a≠0，a,b為常數(shù)。證明（充分性）(p108)設(shè)Y=aX+b，則E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=a2D(X)Cov(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}=E{[X

E(X)][aX+b

aE(X)

b]}=aE{[X

E(X)]2}=aD(X)即|ρXY|=1（必要性）設(shè)ρXY=1，則性質(zhì)1方差性質(zhì)其中即X與Y以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y正相關(guān)。當(dāng)ρXY=-1時(shí)其中即X與Y以概率1存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X，Y負(fù)相關(guān)。定義若ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān)。3、若X與Y相互獨(dú)立，則必有X與Y不相關(guān)。證明X與Y相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)=0所以ρXY=0即X與Y不相關(guān)。注意：X與Y不相關(guān)，X與Y未必相互獨(dú)立。所謂不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言，而相互獨(dú)立是就一般關(guān)系而言的。例4.17設(shè)(X,Y)在D={(x,y)|x2+y2

r2}上服從均勻分布，(1)求ρXY；(2)討論X與Y的獨(dú)立性。解(1)Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)=0，所以ρXY=0，X與Y不相關(guān)。(2)顯然X與Y不獨(dú)立。二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)

，X與Y獨(dú)立例4.18設(shè)二維隨機(jī)變量則可求得協(xié)方差Cov(X,Y)=ρσ1σ2且相關(guān)系數(shù)ρXY=ρ二維正態(tài)變量(X,Y)，X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是ρ=0(P78例7)；而ρXY=ρ=0表示X與Y不相關(guān)，可見(jiàn)，X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。X與Y不相關(guān)等價(jià)于EX解1)2)練習(xí)1、設(shè)隨機(jī)變量X

B(12,0.5)，Y

N(0,1)，Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差(33)。2、XYZ相互獨(dú)立，X服從[0,6]均勻分布，Y

N(1,4)，Z服從參數(shù)為2的泊松分布，求W=X-Y-2Z+3的方差。3、設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)。4、相關(guān)系數(shù)在線性變換下保持不變，即若U=aX+b，V=cY+d(ac>0)，則ρUV=ρXY2解4.5矩、協(xié)方差矩陣1、若E(Xk)存在，則稱Ak=E(Xk)為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩(k=1,2,…)，而E(|X|k)稱為X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩；2、若E{[X-E(X)]k}存在，則稱Bk=E{[X-E(X)]k}為隨機(jī)變量X的k階中心矩(k=1,2,…)，而E{|X-E(X)|k}稱為X的k階絕對(duì)中心矩；3、若E(XkYl)存在，則稱E(XkYl)為隨機(jī)變量X、Y的k+l階混合原點(diǎn)矩(k,l=1,2,…)；4、若E{[X

E(X)]k[Y

E(Y)]l}存在，則稱E{[X

E(X)]k[Y

E(Y)]l}維隨機(jī)變量的k+l階混合中心矩(k,l=1,2,…)。由矩的概念數(shù)學(xué)期望E(X)即為X的一階原點(diǎn)矩；方差D(X)即為X的二階中心矩。

設(shè)X1,X2,…,Xn為n個(gè)隨機(jī)變量，記cij=Cov(Xi,Xj)，i,j=1,2,…,n。則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即4.6大數(shù)定律

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn，若存在隨機(jī)變量Y，使得對(duì)于任意正數(shù)

，均有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依概率收斂于隨機(jī)變量Y，并記為一、依概率收斂若存在常數(shù)a，任意的正數(shù)

，使得則稱隨機(jī)變量序列{Xn}依概率收斂于常數(shù)a，并記為意思是：當(dāng)a而意思是：時(shí)，Xn落在內(nèi)的概率越來(lái)越大。,當(dāng)與的區(qū)別二、幾個(gè)常用的大數(shù)定律(均值的穩(wěn)定性)1、切比雪夫大數(shù)定律

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望E(X1),E(X2),…,E(Xn),…和有限的方差D(X1),D(X2),…,D(Xn),…，并且D(Xn)≤C(i=1,2,…)，則任意正數(shù)

，即證明因?yàn)閄1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，由切比雪夫不等式可得該定理表明：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算數(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望的算數(shù)平均值的差在n充分大時(shí)是一個(gè)無(wú)窮小量，這也意味著在n充分大時(shí)，經(jīng)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量的值將比較緊密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近。2、切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望μ和相同的方差σ2，記前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均為Yn，則隨機(jī)變量序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收斂于μ，即證明切比雪夫大數(shù)定律3、貝努里大數(shù)定律

設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記nA為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則證明（由切比雪夫不等式可直接證明）即設(shè)則Xi相互獨(dú)立，且4、辛欽大數(shù)定律

若{Xk，k=1,2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,EXk=

<，k=1,2,…，則推論：若{Xi,i=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(Xik)存在，則4.7中心極限定理

前面我們的討論中講過(guò)正態(tài)分布在隨機(jī)變量的一切可能分布中占有特殊地位。在客觀世界中，我們遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的，為什么大量的隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布？俄國(guó)數(shù)學(xué)家李亞普諾夫(Ляпуров)證明了在某些非常一般的充分條件下，獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無(wú)限增加時(shí)，是趨于正態(tài)分布的。在概率論中，把大量獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理統(tǒng)稱為中心極限定理。我們這里給出的兩個(gè)最常用的中心極限定理。

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立同分布，且E(Xi)=

，D(Xi)=σ2(σ2>0)(i=1,2,…)，記前n個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為一、獨(dú)立同分布的中心極限定理(Lindeberg-Levy林德貝格-列維)(P117定理3)則Yn的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的x∈(-∞,+∞)都有

該定理說(shuō)明，當(dāng)n充分大時(shí)，Yn近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Yn~N(0,1)，隨機(jī)變量近似地服從于正態(tài)分布

中心極限定理可以解釋如下：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和的作用都很微小，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的。在實(shí)際工作中，只要n足夠大，便可把獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和當(dāng)作正態(tài)變量。例4.19將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解設(shè) Xk為第k

次擲出的點(diǎn)數(shù)，k=1,2,…,100，則X1,X2,…,X100獨(dú)立同分布，而且由中心極限定理二、德莫佛-拉普拉斯定理(DeMoivre-Laplace)

在n重貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，記Yn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)任何區(qū)間[a,b](a≤b)，有其中q=1-p即Yn~B(n,p)，則此定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布。當(dāng)n充分大時(shí)，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。一般地,若X~B(n,p)，則當(dāng)n較大，而p較小時(shí)即近似地，X~N(np,npq)，從而例4.20某車(chē)間有200臺(tái)機(jī)床，它們獨(dú)立地工作著，設(shè)每臺(tái)機(jī)器開(kāi)工率為0.6，開(kāi)工時(shí)耗電1千瓦，問(wèn)供電所至少要供多少電才能以不小于99.9%的概率保證車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)。解設(shè)X為200臺(tái)機(jī)器中工作著的機(jī)器臺(tái)數(shù)，則X~B(200,0.6)，n=200，p=0.6，np=120，npq=48，近似地有X~N(np,npq)，即X~N(120,48)設(shè)r是供電所供給電力的最小數(shù)(千瓦)，由題意查表得r=142標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表例4.21在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)有99%的概率不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多