第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系【課程標準】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.【必備知識精歸納】1.兩條直線的位置關(guān)系(1)利用斜率關(guān)系判斷對于不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2.l1∥l2k1=k2l1⊥l2k1·k2=-1特別地,當兩直線的斜率都不存在時,l1∥l2.當一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2.(2)兩直線相交交點:直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共點的坐標與方程組A1x相交?方程組有唯一解,交點坐標就是方程組的解;平行?方程組無解;重合?方程組中的兩個方程可以化成同一個方程.2.三種距離(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離|P1P2|=(x(2)點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|A(3)兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)間的距離d=|C點睛1.應(yīng)用點到直線的距離公式時,直線的方程必須是一般式;2.兩平行線的距離公式中,兩直線方程的一般式中x,y的系數(shù)必須對應(yīng)相等.【常用結(jié)論】1.平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).2.垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程:Bx-Ay+λ=0.3.點(m,n)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a-m,n),關(guān)于直線y=b的對稱點為(m,2b-n).4.點(m,n)關(guān)于直線y=x+b的對稱點為(n-b,m+b),關(guān)于直線y=-x+b的對稱點為(-n+b,-m+b).【基礎(chǔ)小題固根基】教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯易混1,2,34,651.(教材變式)兩條直線l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交點為()A.(25,95) B.(-25C.(25,-95) D.(-25解析：選B.解方程組2x+所以兩直線的交點為(-25,952.(教材變式)點P在直線x+y-4=0上,O為坐標原點,則|OP|的最小值為()A.13 B.22 C.6 D.2解析：選B.點O到x+y-4=0的距離d=42=22,所以|OP|的最小值為223.(教材提升)若直線ax+2y-1=0與直線2x-3y-1=0垂直,則a的值為()A.-3 B.-43 C.2 D.解析：選D.直線ax+2y-1=0的斜率k1=-a2,直線2x-3y-1=0的斜率k2=23,因為兩直線垂直,所以-a2×234.(結(jié)論3)與直線l:2x-3y+1=0關(guān)于y軸對稱的直線的方程為()A.2x+3y+1=0 B.2x+3y-1=0C.3x-2y+1=0 D.3x+2y+1=0解析：選B.設(shè)點M(x,y)是所求直線上的任意一點,則其關(guān)于y軸的對稱點M'(-x,y)在直線l:2x-3y+1=0上,所以-2x-3y+1=0,即2x+3y-1=0.5.(忽略兩直線重合的情況)已知直線l:ax+y+a=0,直線m:x+ay+a=0,則l∥m的充要條件是()A.a=-1 B.a=1C.a=±1 D.a=0解析：選A.因為直線l:ax+y+a=0,直線m:x+ay+a=0,易知a=0時,兩直線垂直,所以l∥m的充要條件是a1=1a≠aa,即6.(結(jié)論4)已知點A(-2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點為點B,則點B的坐標為()A.(1,-2) B.(2,1)C.(2,-1) D.(-1,2)解析：選D.因為點A,B關(guān)于x+y=0對稱,所以xB=-1,yB=-(-2)=2,故對稱的點為(-1,2).題型一兩條直線的平行、垂直與斜率[典例1]已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷a為何值時,l1與l2平行;(2)當l1⊥l2時,求a的值.解析：(1)方法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當a≠1且a≠0時,兩直線方程可化為l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥解得a=-1,綜上可知,當a=-1時,l1∥l2.方法二:顯然a≠0,l1∥l2,則1a=a-12≠a可得a=-1,故當a=-1時,l1∥l2.(2)方法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不成立;當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;當a≠1且a≠0時,l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23【方法提煉】1.已知兩直線的斜率存在,判斷兩直線平行或垂直的方法(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等;(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于-1.提醒當直線斜率不確定時,要注意斜率不存在的情況.2.由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+l1與l2平行的充要條件Al1與l2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0l1與l2相交的充要條件A1A2≠B1B2l1與l2重合的充要條件A提醒在判斷兩直線的位置關(guān)系時,比例式A1A2與B1B【對點訓練】1.(2022·濰坊模擬)已知直線l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,則a=()A.13 B.-13 C.3 D解析：選A.因為l1⊥l2,所以13·（-1a）=-1?a=2.直線x+ay+2=0與直線ax+y+2a2=0平行,則實數(shù)a的值為()A.1或-1 B.0或-1C.-1 D.1解析：選C.因為直線x+ay+2=0與直線ax+y+2a2=0平行,所以顯然a≠0,則1a=a1≠即a所以a=-1.【加練備選】若a,b為正實數(shù),直線2x+(2a-4)y+1=0與直線2bx+y-2=0互相垂直,則ab的最大值為.

解析：由兩直線垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤1當且僅當a=1,b=12時,等號成立,故ab的最大值為1答案:1題型二兩條直線的相交及距離問題角度1與交點有關(guān)的問題[典例2](1)(2022·濟南模擬)過x+y=2與x-y=0的交點,且平行于向量v=(3,2)的直線方程為()A.3x-2y-1=0 B.3x+2y-5=0C.2x-3y+1=0 D.2x-3y-1=0解析：選C.由x-y所以交點坐標為(1,1),又因為直線平行于向量v=(3,2),所以所求直線方程為y-1=23(x即2x-3y+1=0.(2)若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點,則點(m,n)到原點的距離的最小值為()A.5 B.6 C.23 D.25解析：選A.聯(lián)立y=2x,x+y把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.所以點(m,n)到原點的距離d=m2+n2=(5+2當n=-2,m=-1時取等號.所以點(m,n)到原點的距離的最小值為5.角度2與距離有關(guān)的問題[典例3](1)直線l過點P(1,2)且A(2,3),B(4,-5)到l的距離相等,則直線l的方程是()A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0解析：選C.由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點,①AB的斜率為3+52-4=-4,當直線l∥AB時,l的方程是y-2=-4x-1②當直線l經(jīng)過線段AB的中點(3,-1)時,l的斜率為2+11-3=-32,l的方程是y-2=-32(x故所求直線的方程為3x+2y-7=0或4x+y-6=0.(2)已知點P(2,-1)和直線l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,求當m為何值時,點P到直線l的距離最大?最大值是多少?解析：l的方程可化為m(x-y+1)+x+y-3=0,由x-y即直線l恒過定點Q(1,2),因為直線PQ的斜率kPQ=-3,所以當直線PQ⊥l時,點P到直線l的距離最大,可得m+1m-故當m=-2時,點P到直線l的距離最大,此時l的方程為x-3y+5=0,最大值為d=|2-3×【一題多變】本例(2)中,改成最小值時求直線l的方程.解析：點P到直線l的距離最小時,l經(jīng)過點P,所以2m+1-1-m+m-3=0,所以m此時直線l的方程為3x+y-5=0.【方法提煉】1.求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點坐標,再結(jié)合其他條件寫出直線方程.2.處理距離問題的兩大策略(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求.(2)動點到兩定點距離相等,一般不直接利用兩點間距離公式處理,而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上,從而簡化計算.提醒(1)點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)分別化為相等.【對點訓練】1.(多選題)三條直線x+y=0,x-y=0,x+ay=3能構(gòu)成三角形,則實數(shù)a的取值可以是()A.-1 B.1 C.2 D.5解析：選CD.由題意可得直線x+y=0與x-y=0都過原點,而無論a為何值,直線x+ay=3不過原點,因此,要滿足三條直線構(gòu)成三角形,只需直線x+ay=3與另兩條直線不平行,所以a≠±1.2.過直線l1:5x+2y-3=0和l2:3x-5y-8=0的交點P,且與直線x+4y-7=0垂直的直線l的方程為.

解析：方法一:由5解得P(1,-1).因為直線x+4y-7=0的斜率為-14所以直線l的斜率為4.因此滿足條件的直線l的方程為y+1=4(x-1),即4x-y-5=0.方法二:因為直線l垂直于直線x+4y-7=0.所以設(shè)直線l的方程為4x-y+c=0.又因為直線l1與l2的交點為P(1,-1),所以4×1-(-1)+c=0,解得c=-5.所以直線l的方程為4x-y-5=0.方法三:因為直線l過l1與l2的交點,所以設(shè)直線l的方程為(5x+2y-3)+λ(3x-5y-8)=0,即(5+3λ)x+(2-5λ)y-3-8λ=0,又因為與直線x+4y-7=0垂直,所以kl=-5+3λ解得λ=1317所以直線l的方程為4x-y-5=0.答案:4x-y-5=03.已知直線y=kx+2k+1與直線y=-12x+2的交點位于第一象限,則實數(shù)k的取值范圍是解析：方法一:由方程組y解得x=2-4k2k+1,y=6k所以2-4k2k+1>0方法二:如圖,已知直線y=-12x+2與x軸、y軸分別交于點A(4,0),B(0,2).而直線方程y=kx+2k+1可變形為y-1=k(x+2),表示這是一條過定點P(-2,1),斜率為k的動直線.所以兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點),所以動直線的斜率k需滿足kPA<k<kPB.因為kPA=-16,kPB=12.所以-16<k答案:(-16,1【加練備選】經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點,且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為()A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+y+1=0或3x+4y=0D.x-y+1=0或x+y+1=0解析：選C.設(shè)直線方程為3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.令x=0,得y=7λ令y=0,得x=7λ由7λ-62+5λ=7λ-63+2所以直線方程為x+y+1=0或3x+4y=0.題型三對稱問題[典例4](1)直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是()A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0解析：選A.設(shè)所求直線上任意一點P(x,y),點P關(guān)于x-y+2=0的對稱點為P'(x0,y0).由x得x因為點P'(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.(2)過點P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方程為.

解析：設(shè)l1與l的交點為A(a,8-2a).由題意知,點A關(guān)于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點A(4,0)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.答案:x+4y-4=0(3)已知點A的坐標為(-4,4),直線l的方程為3x+y-2=0,則點A關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標為.

解析：設(shè)點A'的坐標為(x,y),由題意可知y解得x所以點A'的坐標為(2,6).答案:(2,6)【方法提煉】1.中心對稱問題(1)若點P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對稱點為P'(x',y'),則x(2)直線關(guān)于點的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.2.軸對稱問題(1)若點A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(B≠0)的對稱點為A'(m,n),則有n(2)直線關(guān)于直線的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.【對點訓練】1.直線2x+3y-6=0關(guān)于點(-1,2)對稱的直線方程是()A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0解析：選D.設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標為(x,y),則其關(guān)于點(-1,2