第七章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念【課程標準】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).3.能夠利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.4.能根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列的項或通項公式.【必備知識·精歸納】1.數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an通項公式數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系式前n項和數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an2.數(shù)列的表示法列表法列表格表示n與an的對應關(guān)系圖象法把點(n,an)畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數(shù)列的通項使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an與an+1的關(guān)系式或a1,a2和an-1,an,an+1的關(guān)系式等表示數(shù)列的方法點睛(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式;(2)同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一.3.數(shù)列的分類單調(diào)性遞增數(shù)列?n∈N*,an+1>an遞減數(shù)列?n∈N*,an+1<an常數(shù)列?n∈N*,an+1=an擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列周期性?n∈N*,存在正整數(shù)k,an+k=an點睛數(shù)列的單調(diào)性可類比數(shù)列通項公式對應的函數(shù)解析式在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.4.數(shù)列的前n項和數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+a3+…+an?1+an,則an點睛若n≥2時,求出的an也適合n=1時的情形,則用一個式子表示an,否則分段表示.【常用結(jié)論】在數(shù)列{an}中,若an最大,則an≥an?1,an【基礎(chǔ)小題·固根基】教材改編結(jié)論應用易錯易混1,3,5241.(教材變式)在數(shù)列{an}中,a1=2,an=1-1(n≥2),則a2024等于 ()A.-12 B.12 C.-1 D解析：選B.由a1=2,an=1-1an?1(a2=1-1a1=12,a3=1-1a2=-1,a4=1-1a3=2,a5=1-1a4=12,故數(shù)列{an}為周期性數(shù)列,每3項一循環(huán),而2.(結(jié)論)數(shù)列{an}滿足an+1an>1(n∈N*),且a1>0,則數(shù)列是A.常數(shù)列 B.擺動單調(diào)數(shù)列C.遞增數(shù)列 D.遞減數(shù)列解析：選C.由a1>0,an+1an>1可知an+1>a3.(教材變式)數(shù)列1,34,59,716,…的一個通項公式是 A.(-1)nn22n?1 C.n22n?1 解析：選B.根據(jù)題意,數(shù)列1,34,59,其中a1=2×1?112=11=1,a2=2×2?1a3=2×3?132=59,a4=2×4?142=716,4.(忽視n=1的討論)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=2n+1-1,則數(shù)列{an}的通項公式為()A.an=2n B.an=3,C.an=2n-1 D.an=2n+1解析：選B.當n≥2時,Sn-1=2n-1,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;當n=1時,a1=S1=21+1-1=3,不符合an=2n,則an=3,n5.(教材變式)數(shù)列{an}如表所示:n12345678…an37-1-514312…則由表格可知a3+a7=,a1+a8=.

解析：由列表法表示數(shù)列可知a1=3,a3=-1,a7=3,a8=12,因此a3+a7=2,a1+a8=15.答案:215【題型一】已知數(shù)列的前幾項求數(shù)列通項公式[典例1](1)已知a1=1,a2=13,a3=16,a4=110,則數(shù)列{an}的一個通項公式為an= A.2(n+1)2 C.22n?1 解析：選B.a1=1=22=21×2,a2=13=22×3,a3=16=212=23×4,a4則an=2n(2)數(shù)列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n項為 ()A.6n-1 B.-6n+1C.6n+2 D.-6n-2解析：選B.由數(shù)列可知奇數(shù)項為正數(shù),偶數(shù)項為負數(shù),又首項為2,故數(shù)列的通項公式為an=(-1)n-1(3n-1),可知第2n項為a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=1-6n.(3)下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個數(shù)列,該數(shù)列的一個通項公式是 ()A.an=n2-n+1 B.an=nC.an=n(n+1)2 D解析：選C.方法一:由題圖可知,當n=1時,有1個,排除BD,當n=3時,有6個,排除A.方法二:從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律,n=1時,有1顆;n=2時,有3顆;n=3時,有6顆;n=4時,有10顆…;所以an=1+2+3+4+…+n=n((4)數(shù)列9,99,999,9999,…的一個通項公式為.

解析：觀察數(shù)列可知,a1=10-1,a2=102-1,a3=103-1,a4=104-1,所以這個數(shù)列的一個通項公式是an=10n-1.答案:an=10n-1【方法提煉】由數(shù)列的前幾項求通項公式的方法(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時,需仔細觀察分析,抓住其幾方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相鄰項的聯(lián)系特征;拆項后的各部分特征;符號特征.應多進行對比、分析,從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.(2)對于正負符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.【對點訓練】1.已知數(shù)列{an}的前4項依次為2,6,12,20,則數(shù)列{an}的通項公式可能是 ()A.an=4n-2B.an=2n+2(n-1)C.an=n2+nD.an=3n-1+2n-1解析：選C.對于A,a3=10≠12,故A錯誤;對于B,a4=16+6=22≠20,故B錯誤;對于C,a1=12+1=2,a2=22+2=6,a3=32+3=12,a4=42+4=20,故C正確;對于D,a3=9+5=14≠12,故D錯誤.2.若一數(shù)列為1,37,314,321,…,則398是這個數(shù)列的 ()A.不在此數(shù)列中 B.第13項C.第14項 D.第15項解析：選D.由于1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合題意的一個通項公式為an=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是這個數(shù)列的第15項.3.已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=an2?2an+1(n∈N*).若數(shù)列{an}是常數(shù)列,則A.-2 B.-1 C.0 D.1解析：選A.因為數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=an2?2an+1(n∈N*),因為數(shù)列{an}是常數(shù)列,所以a=a2解得a=-2.4.如圖,用4根火柴可以拼出1個正方形,用7根火柴可以拼出2個正方形…設(shè)用an根火柴可以拼出n個正方形,則數(shù)列{an}的通項公式為.

解析：拼1個正方形用a1=4根火柴,拼2個正方形用a2=4+3根火柴,拼3個正方形用a3=4+3×2根火柴,…以此類推,得到拼n(n≥2,n∈N*)個正方形用an=4+3(n-1)=3n+1根火柴,a1=3×1+1=4,n=1時符合,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1.答案:an=3n+1【題型二】由an與Sn的關(guān)系求通項公式an[典例2](1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=.

解析：由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32,而S所以Sn=32答案:3(2)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①已知數(shù)列an的前n項和為Sn=3n+1,則數(shù)列an的通項公式an=解析：當n=1時,a1=S1=3+1=4;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2·3n-1.顯然n=1時不滿足上式,所以an=4,答案:4,②已知數(shù)列an的前n項和為Sn=3n-1,則數(shù)列an的通項公式an=解析：當n=1時,a1=S1=3-1=2;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2·3n-1.顯然n=1時滿足上式,所以an=2·3n-1.答案:2·3n-1【方法提煉】 ——自主完善,老師指導已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的解析式.(3)對n=1時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的解析式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n=1與n≥2兩段來寫.【對點訓練】1.記Tn為數(shù)列{an}的前n項積,已知1Tn+3an=3,則T10=A.163 B.154 C.133 解析：選C.n=1,T1=43,Tn=a1a2a3…an,則an=TnTn?1(n≥2),化簡得Tn-Tn-1=13,則{Tn}是以T1為首項,公差為13的等差數(shù)列,即Tn=所以T10=1332.已知正項數(shù)列{an}中,a1+a2+…+an=n(n+1)2(n∈N*),則數(shù)列{aA.an=n B.an=n2C.an=n2 D.an=解析：選B.因為a1+a2+…+an所以a1+a2+…+an?1=兩式相減得an=n(n+1)2所以an=n2(n≥2),①又當n=1時,a1=1×22=1,a1=1,適合①式,所以an=n3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=12,當n≥2時,Sn2=anSn-an.則Sn解析：當n≥2時,Sn2=anSn-a所以Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn整理得SnSn-1=Sn-1-Sn,即1Sn-1所以數(shù)列{1Sn}是以1S1=1a1=2為首項,1為公差的等差數(shù)列.所以1Sn=答案:1【加練備選】1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+4a2+…+(3n-2)an=3n,求{an}的通項公式.解析：數(shù)列{an}滿足a1+4a2+…+(3n-2)an=3n,當n=1時,得a1=3.當n≥2時,由a1+4a2+…+(3n-2)an=3n可得a1+4a2+…+(3n-5)an-1=3(n-1),兩式相減得(3n-2)an=3,所以an=33n?2(n≥2,n∈當n=1時,a1=3,上式也成立.所以an=33n?2(n∈N2.(多選題)已知數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,且Sn=n+23an,則ananA.2 B.5 C.3 D.4解析：選BD.因為Sn=n+23an,所以n≥2an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13整理可得anan?1=由于數(shù)列{2n?1}單調(diào)遞減,可得n=2時,2n?1取得最大值2.所以【題型三】數(shù)列通項公式的求法[典例3](1)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an-an+1=nanan+1,則下列正確的是 ()A.a7=122 B.a8=C.a9=136 D.a10=解析：選A.因為an-an+1=nanan+1,等式兩邊同除以anan+1,所以1an+1-1可得到1a2-1a1=1,1a3-1a2=2,…,11a2-1a1+1a3-1a2+…+1an-1又因為a1=1,所以1an=(1a7=(7?1)×72+1=22,所以a7=122,故A正確;1a8=(8?1)×82+1=29,所以a81a9=(9?1)×92+1=37,所以a9=137,故C錯誤;1a10=(10?1)×102+1=46,所以a10(2)已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式是an= ()A.2n-1 B.nC.n2 D.n解析：選D.由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,方法一:即an+1a則anan?1=nnan?2an?3=n?2n由累乘法可得ana1=n,所以an=n,n≥2,又a1=1,符合上式,所以a方法二:因為an+1n+1=an所以ann=a11,所以an=(3)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1,則{an}的通項公式為.

解析：由an+1=3an+1得an+1+12=3an+=3(an+12).又a1+12=32,所以an+12是首項為32,公比為3的等比數(shù)列,因此數(shù)列{an}的通項公式為an=3n答案:an=3(4)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2anan+2,則解析：因為an+1=2anan所以an≠0,所以1an+1=1即1an+1-1an=12,又所以1an是以1為首項,1所以1an=1a1+(n-1)×12所以an=2n答案:2【一題多變】(1)若本例(3)中的“an+1=3an+1”改為“an+1=3an+2n-1”,其他條件不變,結(jié)果如何?(2)若本例(3)中的“an+1=3an+1”改為“an+1=3an+2n-1”,其他條件不變,結(jié)果如何?解析：(1)由an+1=3an+2n-1,得an+1+n+1=3(an+n).又a1+1=2,所以{an+n}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,所以an+n=2·3n-1,因此數(shù)列{an}的通項公式為an=2·3n-1-n.(2)由an+1=3an+2n-1,得an+1+2n=3(an+2n-1).又a1+21-1=2,所以{an+2n-1}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列.所以an+2n-1=2·3n-1,故an=2·3n-1-2n-1.【方法提煉】 ——自主完善,老師指導由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法(1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a1且anan?1=f(n)可用“累乘法”(3)已知a1且an+1=qan+b,則an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an+k}.(4)形如an+1=AanBan+C(A,B,C為常數(shù)【對點訓練】1.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1n+1=ann+ln(1+1n),則A.2+nlnn B.2n+(n-1)lnnC.2n+nlnn D.1+n+nlnn解析：選C.因為an+1n+1=ann+ln(則有an+1n+1-于是得,當n≥2時,ann=a11+(a22-a11)+(a3=2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+lnn?ln(n因此,an=2n+nlnn,顯然,a1=2滿足上式,所以an=2n+nlnn.2.已知a1=2,an+1=2nan,則數(shù)列{an}的通項公式an=解析：因為an+1=2nan,所以an+1a當n≥2時,an=anan?1×an=2n-1×2n-2×…×2×2=2n又a1=2也符合上式,所以an=2n答案:23.在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=an1+nan,求數(shù)列{解析：因為an+1=an1+nan,所以an+1(1+nan)=an,化簡得an+1+nanan兩邊同時除以anan+1并整理得1an+1-即1a2-1a1=1,1a3-1an-1an?1=n-1(n≥2,將上述n-1個式子相加得,1a2-1a1+1a3-1a2+1a即1an-1a1=n(n?1)2,所以1an=1a1+n又因為1a1=1所以1an=n2?n+2所以an=2n2?n+2(n【加練備選】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an,則數(shù)列{an}的通項公式an=.

解析：由4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an得Sn=(n+2)2an4(Sn-1=(n+1)兩式相減得an=(n+2)2化簡整理得n3an=(n+1)3an-1.當n=1時,S1=a1,即有8(a1+1)=9a1,解得a1=8,因此,n∈N*,n≥2時,ananan=anan?1·an?1an?2=(n+1)3n3·n3(n?1)3·而a1=8滿足上式,所以an=(n+1)3.答案:(n+1)3【題型四】數(shù)列的性質(zhì)及應用角度1數(shù)列的周期性[典例4]在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=3+an1?3an解析：因為a1=0,an+1=3+所以a2=31=3,a3=3+=-3,a4=3?即數(shù)列{an}的取值具有周期性,周期為3,且a1+a2+a3=0,則S2023=S3×674+1=a1=0.答案:0角度2數(shù)列的單調(diào)性及最值[典例5](1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足Sn=n2,bn=an+110?an,則bA.-16 B.-15C.-13 D.-11解析：選C.因為Sn=n2,所以a1=1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,此時a1=1,綜上,數(shù)列an的通項公式為an=2n-1所以bn=an+110?an記f(x)=1211?2x-1,則f(x)在(-∞,5.5)與(5.5,+∞)上都是增函數(shù),所以數(shù)列bn的最小項是第6項,(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-10n(n∈N*),則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是()A.第2項 B.第3項C.第4項 D.第5項解析：選B.因為Sn=n2-10n,所以當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-11;當n=1時,a1=S1=-9也適合上式.所以an=2n-11(n∈N*).記f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n=114,但n∈N*所以當n=3時,f(n)取最小值.