第三節(jié)圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系.3.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.【必備知識(shí)精歸納】1.圓的定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.2.圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心:(a,b),半徑:r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0),圓心:-D半徑:12點(diǎn)睛(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,如果沒(méi)給出r>0,則圓的半徑應(yīng)為|r|.(2)圓的一般方程中,當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)點(diǎn)（-D2,-E2）;當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2.4.直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r,圓心到直線的距離為d)項(xiàng)目相離相切相交圖形代數(shù)法Δ<0Δ=0Δ>0幾何法d>rd=rd<r【常用結(jié)論】1.圓的四個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上;(2)圓心在任一弦的中垂線上;(3)兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線;(4)直線與圓相交,則弦心距、半徑、弦的一半構(gòu)成直角三角形.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.3.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.【基礎(chǔ)小題固根基】教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,24,63,51.(教材變式)已知圓C:x2-2x+y2=0,則圓心C到直線x=3的距離等于 ()A.4 B.3 C.2 D.1解析：選C.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,圓心為C(1,0),故圓心C到直線x=3的距離為|1-3|=2.2.(教材變式)與圓(x-1)2+y2=4的圓心相同且過(guò)點(diǎn)P(-2,4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25解析：選D.由圓(x-1)2+y2=4的方程可知圓心為(1,0).設(shè)所求圓的方程為(x-1)2+y2=r2,代入(-2,4)得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=25.3.(忽略D2+E2-4F>0)若點(diǎn)P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0外,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.(-2,+∞) B.[-2,-12C.(-2,12) 解析：選C.由題意得1+1+1解得-2<k<124.(結(jié)論1(4))已知直線l:y=x被圓C:(x-3)2+(y-1)2=r2(r>0)截得的弦長(zhǎng)為2,則r= ()A.3 B.6 C.3 D.4解析：選A.圓心到直線的距離d=|3-1|12+125.(忽略D2+E2-4F>0)“a>0”是“點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.將x2+y2-2ax-2y+a+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-a)2+(y-1)2=a2-a.當(dāng)點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2-2ax-2y+a+1=0外時(shí),有a2-a>0所以“a>0”是“點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分條件.6.(結(jié)論3(1))過(guò)圓O:x2+y2=5上一點(diǎn)M(1,-2)作圓的切線l,則直線l的方程為_(kāi)_______.

解析：顯然點(diǎn)M(1,-2)在圓x2+y2=5上,由結(jié)論3(1)知切線方程為x-2y=5.即x-2y-5=0.答案:x-2y-5=0題型一求圓的方程角度1直接求圓的方程[典例1](1)(多選題)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,過(guò)點(diǎn)(1,0),且被x軸分成兩段,弧長(zhǎng)比為1∶2,則圓C的方程可能為 ()A.x2+(y+33)2=B.x2+(y-33)2=C.(x-3)2+y2=4D.(x+3)2+y2=4解析：選AB.由已知得圓C的圓心在y軸上,且被x軸所截得的劣弧所對(duì)的圓心角為2π3設(shè)圓心的坐標(biāo)為(0,a),半徑為r,則rsinπ3=1,rcosπ3=|解得r=233,即r2=43,|a|=33,即故圓C的方程為x2+(y+33)2=43或x2+(y-33)2(2)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為_(kāi)___________.

解析：方法一:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)則F=0,故圓的方程為x2+y2-2x=0.方法二:設(shè)O(0,0),A(1,1),B(2,0),則kOA=1,kAB=-1,所以kOA·kAB=-1,即OA⊥AB,所以△OAB是以∠A為直角的直角三角形,則線段BO是所求圓的直徑,則圓心為(1,0),半徑r=12|OB|=1,圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0答案:x2+y2-2x=0【方法提煉】求圓的方程的兩種方法(1)幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;②根據(jù)條件列出方程組;③解系數(shù),代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.提醒解答圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.圓心為直線x-y+2=0與直線2x+y-8=0的交點(diǎn),且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.

解析：由x-y+2=0即圓心為(2,4),又圓過(guò)原點(diǎn),所以圓的半徑r=(2-0故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=202.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是__________.

解析：因?yàn)榉匠蘟2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圓,所以a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2.當(dāng)a=-1時(shí),方程x2+y2+2x+8y-5=0,即(x+1)2+(y+4)2=22,所求圓的圓心坐標(biāo)為(-1,-4);當(dāng)a=2時(shí),方程4x2+4y2+2x+8y+10=0,即x2+y2+12x+2y+52=0,此時(shí)(12)2+22-4×52綜上所述,圓心坐標(biāo)是(-1,-4).答案:(-1,-4)角度2求軌跡方程[典例2](1)當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn)Q-3,0的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是 A.x+32+yB.x-32+C.x-322+D.x+322+解析：選D.設(shè)PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為x,則P2x+3,2y,因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=1上,故2x+32+2(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P截x軸所得的線段長(zhǎng)為22,截y軸所得的線段長(zhǎng)為23.求圓心P的軌跡方程.解析：設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r,則y2+2=r2,x2+3=r2,所以y2+2=x2+3,即y2-x2=1,所以圓心P的軌跡方程為y2-x2=1.【方法提煉】 ——自主完善,老師指導(dǎo)求與圓有關(guān)軌跡問(wèn)題的兩種方法(1)直接法:當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí),可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示等式,直接求解軌跡方程.(2)代入法:當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí),常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A0,-2,若動(dòng)點(diǎn)M滿足MAMO=2,則點(diǎn)M的軌跡方程是 A.x2+(y+2)2=22B.x2+(y-2)2=22C.x2+(y+2)2=8D.x2+(y-2)2=8解析：選D.設(shè)M(x,y),因?yàn)镸AMO=2,A所以x2+(所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8為點(diǎn)M的軌跡方程.2.已知等腰三角形ABC的底邊BC對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)是A(4,2),底邊的一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5),則底邊另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程是________________________.

解析：設(shè)C(x,y).由題意知,|AB|=(3-4因?yàn)椤鰽BC是以BC為底邊的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心,10為半徑的圓.又點(diǎn)A,B,C構(gòu)成三角形,所以三點(diǎn)不可共線,所以軌跡中需去掉點(diǎn)B(3,5)及點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)(5,-1),所以點(diǎn)C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點(diǎn)).答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點(diǎn))題型二直線與圓的位置關(guān)系[典例3](1)直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定解析：選A.方法一:(代數(shù)法)由mx消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因?yàn)棣?16m2+20>0,所以直線l與圓相交.方法二:(幾何法)由題意知,圓心(0,1)到直線l的距離d=|-m|m2+1<1<方法三:易得直線l過(guò)定點(diǎn)(1,1).把點(diǎn)(1,1)代入圓的方程有1+0<5,所以點(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部,故直線l與圓C相交.(2)(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點(diǎn)A(a,b),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.若點(diǎn)A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上,則直線l與圓C相切解析：選ABD.圓心C(0,0)到直線l的距離d=r2a2+b2,若點(diǎn)A(則a2+b2=r2,所以d=r2a2則直線l與圓C相切,故A正確;若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi),則a2+b2<r2,所以d=r2a2則直線l與圓C相離,故B正確;若點(diǎn)A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,所以d=r2a2則直線l與圓C相交,故C錯(cuò)誤;若點(diǎn)A(a,b)在直線l上,則a2+b2-r2=0即a2+b2=r2,所以d=r2a2直線l與圓C相切,故D正確.(3)(2023·煙臺(tái)模擬)過(guò)直線x-y-m=0上一點(diǎn)P作圓M:(x-2)2+(y-3)2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若使得四邊形PAMB的面積為7的點(diǎn)P有兩個(gè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.-5<m<3 B.-3<m<5C.m<-5或m>3 D.m<-3或m>5分析：利用圓的性質(zhì)可得S=12|PA||MA|+12|PB||MB|=|PA|=7,進(jìn)而可得|PM|=22,結(jié)合題意可得|2-解析：選A.由圓M:(x-2)2+(y-3)2=1可知,圓心M(2,3),半徑為1,所以|MA|=|MB|=1,所以四邊形PAMB的面積為S=12|PA||MA|+12|PB||MB|=|PA|=所以|PM|=|MA|2+|要使四邊形PAMB的面積為7的點(diǎn)P有兩個(gè),則|2-3-m|【方法提煉】判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法(1)幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較大小,特點(diǎn)是計(jì)算量較小;(2)代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,通過(guò)解的情況判斷,適合于判斷直線與圓的位置關(guān)系.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2022·懷化模擬)已知a,b∈R,a2+b2≠0,則直線l:ax+by=0與圓C:x2+y2+ax+by=0的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.相離C.相切 D.不能確定解析：選C.C:x2+y2+ax+by=0,化為(x+a2)2+(y+b2)2=圓心C(-a2,-b2),半徑為圓心C到直線l的距離為d,d=|-a22-b222.(2022·茂名模擬)過(guò)三點(diǎn)A(0,0),B(0,2),C(2,0)的圓M與直線l:kx-y+2-2k=0的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.相切C.相交或相切 D.相切或相離解析：選C.方法一:由題意得,圓M是過(guò)原點(diǎn),以BC為直徑的圓,所以圓的方程為:(x-1)2+(y-1)2=2,直線l過(guò)定點(diǎn)(2,2),定點(diǎn)在圓上,所以圓與直線的位置關(guān)系為相交或相切.方法二:圓M的圓心為(1,1),半徑為2,圓心到直線l的距離為d=|-k+1|1-當(dāng)k=0時(shí),d=1<2,所以直線和圓相交.當(dāng)k<0時(shí),d=1-2kk2+1=所以直線和圓相交或相切當(dāng)k>0時(shí),d=1-2k則0≤d<1,所以直線和圓相交.3.(多選題)(2022·福州模擬)已知圓M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直線l:y=kx,下面四個(gè)命題,其中真命題是 ()A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l與圓M相切B.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l與圓M有公共點(diǎn)C.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線l與圓M相切D.對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l與圓M相切解析：選BD.由題意知,圓心坐標(biāo)(-cosθ,sinθ),半徑為1,圓心M到直線l的距離為d=|-kcosθ-sinθ|1+k2=1+k2|sin(θ+α)|1+k2=|sin(θ+α4.已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r.若直線2x-y+3=0與圓相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=________,r=________.

解析：可知kAC=-12?AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此時(shí)r=|AC|=4+1=答案:-25【加練備選】(多選題)已知直線l:x+y-2=0與圓C:(x-1)2+(y+1)2=4,則 ()A.直線l與圓C相離B.直線l與圓C相交C.圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè)D.圓C上到直線l的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)解析：選BD.由圓C:(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圓心坐標(biāo)為(1,-1),半徑為2,圓心(1,-1)到直線l:x+y-2=0的距離d=|1所以可知選項(xiàng)B,D正確,選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤.題型三直線與圓綜合問(wèn)題角度1圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題[典例4](1)(2021·北京高考)已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=kx+m,當(dāng)k變化時(shí),l截得圓C弦長(zhǎng)的最小值為2,則m= ()A.±2 B.±2 C.±3 D.±3解析：選C.由題意得圓心C(0,0),半徑r=2.圓心C到直線l的距離d=|m則弦長(zhǎng)為2r2-d顯然當(dāng)k=0時(shí),弦長(zhǎng)取得最小值24-得m2=3,得m=±3.(2)(2023·菏澤模擬)已知圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),AB為過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為135°的弦,則|AB|=________.

解析：依題意可得直線AB的斜率為-1,所以直線AB的方程為:y-2=-(x+1),即x+y-1=0,由圓心到直線的距離可得弦心距d=12=2所以|AB|=28-d2=28答案:30角度2圓的切線問(wèn)題[典例5](1)(2023·福州模擬)若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.55 B.255 C.355 解析：選B.設(shè)圓心為(a,a),則半徑為a,圓過(guò)點(diǎn)(2,1),則(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5,所以圓心坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),圓心到直線的距離都是d=25(2)過(guò)點(diǎn)P(2,4)引圓C:(x-1)2+(y-1)2=1的切線,則切線方程為_(kāi)_______________.

解析：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=2,此時(shí),圓心到直線的距離等于半徑,直線與圓相切,符合題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即d=|k-1+4-2k|所以所求切線方程為43x-y+4-2×4即4x-3y+4=0.綜上,切線方程為x=2或4x-3y+4=0.答案:x=2或4x-3y+4=0【方法提煉】1.弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式Δ>0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長(zhǎng)為r,則弦長(zhǎng)l=2r22.求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線的方法(1)確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,再求切線方程.(2)若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn)),則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條,此時(shí)注意斜率不存在的切線.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知圓C過(guò)點(diǎn)(0,5),(6,-3),(-1,4),則直線x-y+2=0被圓C截得的弦長(zhǎng)為 ()A.215 B.217 C.219 D.8解析：選B.設(shè)圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,故25+5解得D故圓C:x2+y2-6x-2y-15=0即(x-3)2+(y-1)2=25.則圓心C(3,1)到直線x-y+2=0的距離d=|3-1+2故所求弦長(zhǎng)為225-8=22.若直線l:(m+2)x+(m-3)y+5=0(m∈R)與圓P:(x-1)2+(y+2)2=16相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為 ()A.10 B.22 C.23 D.32解析：選C.(m+2)x+(m-3)y+5=0,可化為(x+y)m+2x-3y+5=0,令x+y所以直線l恒過(guò)定