Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2024屆高三第二次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名，考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試

卷上無(wú)效.

3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的

1若集合M={—2,0,2},N={艱2—x<2},則/cN=（）

A.{-2,0,2}B.{-2,0}C.{0,2}D.{0}

【答案】C

【解析】

【分析】求出對(duì)應(yīng)集合，再利用交集的定義求解即可.

【詳解】令解得—2<xW2,則N={x|—2<x<2},

故AfcN={0,2},

故選：C

2.已知l+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程%2一2%+/=0的一個(gè)根，則機(jī)=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)相等可求參數(shù)的值.

【詳解】因?yàn)?+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2-2x+m=0的一個(gè)根，

所以（l+2i『—2（l+2i）+m=0,整理得到：加一5=0即m=5,

故選：D.

3.已知向量a=(-U),b=(2,0),向量d在向量上的投影向量c=()

A.(-2,0)B,(2,0)

C.(-1,0)D.(1,0)

【答案】c

【解析】

【分析】利用平面向量投影向量的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄?=(一1,1)2=(2,0),

所以向量a在向量b上的投影向量c=fF?=(一L°),

\b\

故選：C

4.已知直線%-陽(yáng)=0交圓C:(x-6尸+(y—l)2=4于A3兩點(diǎn)，設(shè)甲：m=O,乙：

ZACB=60，貝I()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系，判斷甲：m=0和乙：ZACB=60之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.

【詳解】圓C:(x—Gy+(y—Ip=4的圓心為(6,1),半徑為r=2，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線x=0,貝1(6,1)到直線x=0的距離為也，

此時(shí)|AB|=2/^=2,而|C4|=|CB|=2,即ZkACfi為正三角形，

故4庭=60;

當(dāng)NACB=60時(shí)，AACfi為正三角形，則C到AB的距離為〃=七詁60=百，

即圓心C到直線X-沖=0距離為d=?/—川=73,解得機(jī)=0或根=-指，

J1+“

即當(dāng)NAC3=60時(shí)，不一定推出羽=0,

故甲是乙的充分條件但不是必要條件，

故選：A

2

5.已知數(shù)列｛?！埃凉M足（2〃一3”“一（2"-1）%_1=4?-8n+3（n＞2,neN*）,a1=1,則a“=

A.2n—2B.2n2-nC.2n-lD.（2n-l）2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可證明為等差數(shù)列，即可求解.

[2〃一1J

【詳解】（2〃一3）〃〃一（2〃一1）%_]=4/-8〃+3=（2〃一1）（2〃一3）,

所以，5——空」=1,幺=1,所以1件」為等差數(shù)列，且公差為1,首項(xiàng)為1,

2n-l2n-3112〃-1J

故2]=1+〃-1=/,即a?=2/-n,

故選：B

6.函數(shù)/（x）=ln（2x-l）一了2+%的單調(diào)遞增區(qū)間是（)

A.（0,1）B.

（1-V21+自(11+72^

C.--------,---------D.

122J2

\7

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再令/＜或＞0,解得即可.

【詳解】函數(shù)/a）=ln（2x—1）—的定義域?yàn)?/p>

娛)-22x「2—(21)2［后-(2X一川［行+(2x—川

,I'2x-l2x-l2x-l

令用x）＞0,解得;（出手

所以了（龍）的單調(diào)遞增區(qū)間為。上手

7

故選：D

若sin(a+夕)=g,cos夕=~^~'

7.己知ae則cos2cr=(

1]_2323

A.B.C.D.

32727

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)角的范圍，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得cos（。+尸）,sin/7的值，利用兩角差的余弦公式即可

求得cosa,繼而利用二倍角余弦公式求得答案.

【詳解】由于ae則a+，e

而sin(1+")=；,故a+尸唱，兀

由cos/7=9可得sin,=乎,

則cosa=cos[(a+0)—0]=cos(a+/)cos[3+sin(a+尸)sin廿

20G1&V6

=----x---F—x--=----，

33339

故cos2a=2cos2a-l=2x-3

27

故選：D

8.假設(shè)變量x與變量F的〃對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為（七,%）,（%,%），?，（%”，然），兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型

Y-bx+e.

.要利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)b的最小二乘估計(jì)3,即求使QS）=￡（%-人為）2取

E(e)=0,0(4=/i=l

最小值時(shí)的沙的值，則（）

nn

A.1-B-b=^

Xi；

i=li=l

n

Cb=.i=1-----

Inn

vi=li=l

【答案】A

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)為二次函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.

【詳解】因?yàn)镼（。1）=Z（X-如『=Z（??；一2bxiyt+吹）

i=\i=\

=6方X；-2晚X.X+卻;，

i=li=lz=l

上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，

_凡

因此要使。取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值為3=號(hào)一.

匯

i=l

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)為二次函數(shù)形式，利用其性質(zhì)得到最值時(shí)的心

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小顆5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選

對(duì)的得2分.

9.為了了解某公路段汽車(chē)通過(guò)的時(shí)速，隨機(jī)抽取了200輛汽車(chē)通過(guò)該公路段的時(shí)速數(shù)據(jù)，進(jìn)行適當(dāng)分組后

（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），繪制成頻率分布直方圖，“根據(jù)直方圖，以下說(shuō)法正確的是（）

A.時(shí)速在［70,80）的數(shù)據(jù)有40個(gè)

B.可以估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65

C.時(shí)速在［50,70）的數(shù)據(jù)的頻率是0.07

D.可以估計(jì)汽車(chē)通過(guò)該路段的平均時(shí)速是62km

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)于A,直接由對(duì)應(yīng)的頻率乘以200即可驗(yàn)算；對(duì)于B,由百分位數(shù)的定義即可判斷；對(duì)于C,

由對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形面積之和即可判斷；對(duì)于D,由平均數(shù)的計(jì)算公式即可得解.

【詳解】對(duì)于A,200x0.02x(80-70)=40,即時(shí)速在［70,80)的數(shù)據(jù)有40個(gè)，故A正確；

對(duì)于B,a=110-0.04-0.02-0.01=0.03,

所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于［60,70)不妨設(shè)為x,

則(0.01+0.03)x10+(x-60)x0.04=0.7,解得x=67.5,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,時(shí)速在［50,70)的數(shù)據(jù)的頻率是(0.03+0.04)x10=0.7,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,可以估計(jì)汽車(chē)通過(guò)該路段的平均時(shí)速是

(0.01x45+0.03x55+0.04x65+0.02x75)x10=62km,故D正確.

故選：AD.

10.函數(shù)八%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/'(1—力=/(1+力"⑴=—1,以下結(jié)論正確的是(

A./(3)=oB./(4)=0

20232023

c.￡f(k)=oD.X"21)=0

k=\k=l

【答案】BC

【解析】

【分析】首先由抽象函數(shù)的形狀判斷函數(shù)的周期，并求/(2),/(3),/(4)的值，即可求解.

【詳解】由條件/(I—x)=/(l+x),可知〃2+x)=/(—%)=—/(%),

所以/(%+4)=—/(%+2)=/(%),

所以函數(shù)/(九)是周期為4的函數(shù)，

/(3)=/(-l)=-/(l)=h故A錯(cuò)誤；/(4)=/(0)=0,故B正確；

由條件〃l—x)=〃l+x),可知〃2)=〃0)=0,所以〃1)+〃2)+”3)+〃4)=。

2023

￡//)=505［/⑴+"2)+”3)+〃4)］+“2021)+“2022)+“2023)

k=l

=/(1)+/(2)+〃3)=0,故C正確；

由函數(shù)的周期為4,且/(1)=—1,/(3)=1,

2023

所以￡/(24—1)=/⑴+〃3)+〃5)+〃7)+...+〃2021)+/(2023)=0+〃2023)=/(3)=1,

k=l

故D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.曲線的法線定義：過(guò)曲線上的點(diǎn)，且垂直于該點(diǎn)處切線的直線即為該點(diǎn)處的法線.已知點(diǎn)尸（4,4）是拋

物線C:/=2py上的點(diǎn)，產(chǎn)是。的焦點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線4與>軸交于點(diǎn)T，點(diǎn)尸處的法線4與天軸交于

點(diǎn)A,與>軸交于點(diǎn)G,與。交于另一點(diǎn)8,點(diǎn)M是PG的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)T的坐標(biāo)是（0,—2）

B.4的方程是x+2y—12=0

C.|7U|2=|R4|-|P5|

D.過(guò)點(diǎn)M的。的法線（包括4）共有兩條

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，進(jìn)而確定切線方程判斷A,利用法線的定義判斷B,利用兩點(diǎn)間距離公式

判斷C,分類(lèi)討論判斷D即可.

對(duì)A,將點(diǎn)P（4,4）代入f=2外，得p=2,則y==（當(dāng)x=4時(shí)，y=2

故4的方程為y—4=2（x—4）,令尤=0,則y=-4,..?點(diǎn)T的坐標(biāo)是（0,—4）,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,4J*A，,2的方程為丁一4=—5（x—4）,整理得x+2y—12=0,故B正確；

對(duì)C,易得4與無(wú)軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12,0）,與y軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0,6）,

x+2y-12=0x--6x=4

聯(lián)立《解得《或〈）

X2=4yy-9y=4

與C的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6,9）,

則|TG『=100,|PA|=4AlPB|=545,:.\TG^=\PA\-\PB\,故C正確;

對(duì)D,易得點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2,5),設(shè)點(diǎn)0(1,%)為拋物線上一點(diǎn)，

當(dāng)。是原點(diǎn)時(shí)，。處的法線為y軸，顯然不過(guò)點(diǎn)〃，

當(dāng)點(diǎn)。不是原點(diǎn)時(shí)，則Q處的法線方程為y-為=-2(%-%),

2

將點(diǎn)“(2,5)代入得,5-為=一一(2一%)，

2

XxQ—4y0,則-12x0-16=0,.1(/_4)(/+2)=0,

故%=4或-2,.?.過(guò)點(diǎn)/的。的法線(包括4)共有兩條，故D正確.

故選：BCD

12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-44G2,3是空間中一個(gè)動(dòng)平面，下列結(jié)論正確的是()

A.設(shè)棱AB,AQAA所在的直線與平面5所成的角為。，民7,則siYa+sin?廣+sin2/=l

B.設(shè)棱AB,A。,AA,所在的直線與平面5所成的角為￡,力,則cc^a+cos2〃+cos2/=1

C.正方體的12條棱在平面5上的射影長(zhǎng)度的平方和為8

D.四面體A-耳C，的6條棱在平面3上的射影長(zhǎng)度的平方和為8

【答案】ACD

【解析】

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)5的法向量為〃=(。,4C),利用向量法求線面角和射

影問(wèn)題.

【詳解】對(duì)于A,以點(diǎn)A坐標(biāo)原點(diǎn)，A3為x軸，A。為V軸，A4為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),5(1,0,0),。(1,1,0),。(0,1,0)，4(0,0/)，4(1，0/)，〃(0/，1)，

得益=(1,0,0),AZ)=(0,1,0),招=(0,0,1),設(shè)5的法向量為〃=(a,4c),

2

g

則siAan1A""=——4——7，同理可得sin2〃=一―與——-,sin2/=—三——口，

\AB\-\ria2+b2+c2a-+b2+c2a2+b2+c2

sin2cif+sin2/?+sin2/=1,故A正確;

對(duì)于B,則cos%+cos2J3+cos2/=(1-sin2cr^+(l-sin2/?)+(1-sin?7)=3-1=2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,這3條棱在平面S上的射影長(zhǎng)度的平方和為

2,

,12條棱在平面3上的射影長(zhǎng)度的平方和為8,故C正確;

對(duì)于D,AC=（1,1,O）,R4=（1,—1,0）,設(shè)AC與平面5所成角為優(yōu)已與與平面5所成角為。,

2

2

ACn(a+Z?).2(a—6)2

則sin?。=―7--------------------7,SH1~0=-7-----------

MH2(a2+Z>2+c2)2(a2+b-+c2

2

sin6*+sin?。=:~7

a2+b2+c2

AC,在平面5上的射影長(zhǎng)度的平方和為

2a2+2b2

2)(

(國(guó)j］cos0+(向41cos0=2(cos?。+cos/)=22-(sin?。+sin"))=~a2+b2+c2

則四面體A-gCD1的6條棱在平面3上的射影長(zhǎng)度的平方和為

2a2+2〃2〃+2°22c2+2/

=12-4=8,故D正確.

a2+b2+c~cr+b~+c7a2+b-+c2

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)3的法向量為〃=（。力,c）,向量法求線面角的正弦值和余弦值，向量法求射影長(zhǎng)

度，結(jié)果用a,4c表示，化簡(jiǎn)即可.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.

（2Y

13.^+4的展開(kāi)式中x的系數(shù)是__________.

IxJ

【答案】8

【解析】

【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為1,解出廠，可得結(jié)果.

【詳解】［x+W）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=C；-2r-x4-3r,（其中r=0,1,2,3,4）,

令4-3r=l,解得r=l，即二項(xiàng)式展開(kāi)式中了的系數(shù)為C；x2=8.

故答案為：8

14.己知正方形A3CD的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓石：=+與=1上，E的兩個(gè)焦點(diǎn)耳，工分別是A3,CD的中

ab

點(diǎn)，則E的離心率是.

【答案】近二

2

【解析】

x2V22b1

【分析】由題意|BC|=2a,將％=。代入橢圓方程二十4=1,得|8|二竺，結(jié)合正方形性質(zhì)可得

a2b2a

\BC\=\CD\,即可得a,c齊次式，即可求得答案.

22

【詳解】不妨設(shè)耳，工為橢圓E:=+與=1的左、右焦點(diǎn)，由題意知軸，軸,

ab

且ABC。經(jīng)過(guò)橢圓焦點(diǎn)，耳（―c,0）,為（G。），

2212

則忸C=2c,將x=c代入橢圓方程二+3=1,得|y|=幺,

aba

2b22b2

故|CD|=2|y|=——,由|BC|=|CD|,得一二2c,

aa

結(jié)合82=/—，，得片=0,即/+1=0,

解得e=T±若（負(fù)值舍），

2

故E的離心率是史二1,

2

故答案為：且二■

2

15.設(shè)函數(shù)/（x）=sin[—8卜0〉0）,若存在5w（O,兀）使/（Xo）=g成立，則。的取值范圍是

4

【答案】（§,+A）

【解析】

【分析】根據(jù)題意確定x?0,7i)時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)找到當(dāng)x(工時(shí)，

6666

兀1

離一最近且使得siiu=—的尤值，由此列出不等式，即可求得答案.

62

【詳解】由于函數(shù)/(x)=sin[6—S}G〉O),

當(dāng)X￡(0,兀)時(shí)，--OfXE(--CDTI.—),

666

jr7T17TE

根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)可知當(dāng)x<—時(shí)，離一最近且使得sin%=—的％值為-一，

6626

17

故存在不￡(0,兀)，使/(尤o)=一成立，需滿足---CDTl<----，.二G>一,

2663

4

即①的取值范圍為(1,+8),

4

故答案為：(―,+°o)

16.已知函數(shù)〃力=±+2%2,g(x)=2m-ln.x,若關(guān)于x的不等式Wxg(x)有解，則比的最小

e

值是.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】參變分離可得2mNe-2i"—(―2x—lux)有解，令/=—2x—Inx,g(f)=e'T,利用導(dǎo)數(shù)求出

g?).,即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.

J\/min

【詳解】由/(x)Wxg(x)得，7+2^2Kx(2/n—lnx),顯然無(wú)>0,

e

所以2m>+2x+lnx=e-2%-lllv-(~2x-Inx)有解，

令/=—2x—Inx,則twR,

令g(7)=e,—/,則g'(f)=e'-l,所以當(dāng)r<0時(shí)g'⑺<0,當(dāng)，>0時(shí)g'⑺>0,

所以g(。在(—8，0)上單調(diào)遞減，在(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以g⑺*=g(0)=1，即1nx-(-2x-hu)>1,

所以277121,則根2),即冽最小值是，

故答案為：y

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到2加2b，心-2x-lux)有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

求出［e-—..

四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)

明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.記等差數(shù)列｛q,｝的前幾項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)“，且

q=4=1,4S“=&+1)2,47；=(2+1)2.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛。｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛42〃｝的前幾項(xiàng)和.

【答案】17.bn=(-1/-'

18.(―I)">

【解析】

【分析】(1)根據(jù)4a,=4S”—4S〃T=(4+1)2-(*+1)2(〃22,“64')得到4"和八的關(guān)系式，同理

得到bn和2-的關(guān)系式，根據(jù)｛4｝是等比數(shù)列和他,｝是等比數(shù)列求出an和bn的通項(xiàng)；

(2)令C”=an-bn=(-1)1(2〃—1),對(duì)〃分偶數(shù)和奇數(shù)討論即可.

【小問(wèn)1詳解】

4/=4S”-4s=(q+1)2-(%+l)2(?>2,neN*)得：(%+%)(%-%-2)=。,

二4+。"-1=°或4一。,1=2，

同理：.?也+%=?；?一2T=2,

｛??｝是等差數(shù)列，,an~a.T=2d=24=2“一1,

Q他｝是等比數(shù)列Ab?+6,T=0q=-1b“=(-1)"-1；

【小問(wèn)2詳解】

1

令c”=an-bn=(-I)"-(2/z-l),其前n項(xiàng)和為Hn,

當(dāng)“為偶數(shù)時(shí),Hn=(q+c2)+(c3+c4)+(c5+c6)+.+(C〃T

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，Hn=Hn+X-cn+l=-w-1-（-1）-（2〃+1）=機(jī)

綜上所述，H〃=（-1）"-%.

18.如圖，己知三棱錐P—ABC,平面？AC,PA，PC,PA=PB=PC,點(diǎn)。是點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)

的射影，點(diǎn)Q在棱刈上，且滿足|AQ|=3|PQ|.

（1）求證：BC±OQ；

（2）求。。與平面3CQ所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

2766

33

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系P-孫z,先判斷是正三角形，再求點(diǎn)。的坐標(biāo)，進(jìn)而

利用向量的垂直關(guān)系即可證明BCVOQ-

（2）先求平面BCQ的法向量，再利用向量法即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

連結(jié)P0,

PB_L平面PAC,PA,PCu平面PACPB±PA,PB±PC,

又?.QA_LPC:.QA、P&PC兩兩垂直，以P為原點(diǎn)，E4為x軸，PC為y軸，依為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系尸一孫z,如下圖所示：

不妨設(shè)以=4,可得P（o,0,0）,A（4,0,0）,C（0,4,0）,B（0,0,4）,Q（l,0,0）,

AB=（-4,0,4）,AC=C（-4,4,0）.

|44=,。卜|。4卜4、歷，所以ABC是正三角形，

點(diǎn)。為正三角形ABC的中心，所以A。=-x-+AC）=.（—8,4,4）=（一,

D乙J\JJJJ

844444（444

PO=PA+AO=（4,0,0）+'所以

333

(144、

=又：BC=(O,-4,4),

QOBC=Q:.BCLOQ.

【小問(wèn)2詳解】

BC=(O,4,-4),eC=(-l,4,O),QO=g：g],|明=]]+[￡f+[￡)雪,

設(shè)平面BCQ的一個(gè)法向量為n=(羽y,z),

n-BC-0f4y-4z=0

由《，得：：z

n-QC=0[—x+4y=0

則x=4,y=l,z=l,."=(4,l/)，m|=,42+12+i2=30,〃.0O=4xg+l><g+l><g=4,

設(shè)OQ與平面BCQ所成角為e,

..InnIQOn442766

3

故直線OQ與平面BCQ所成角的正弦值為之叵.

33

19.在_748。中，角A,5c所對(duì)邊分別為。，4c,2yflbcosAsinB+acos2B—a=Q-

（1）求tanA的值；

（2）若q=J5，點(diǎn)河是AB的中點(diǎn)，且CM=1,求ABC的面積.

【答案】（1）J7；

⑵且

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理和二倍角的余弦公式得tanA=近；

（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出cosA=也,sinA=巫，再利用余弦定理求出6"值，最后利用三角形面

44

積公式即可.

【小問(wèn)1詳解】

由正弦定理得：2j7cosAsin2B=2sinAsin25，

Be(0,7i),則sinB>0,V7cosA=sinA，

854不等于0,.」2皿=，7.

【小問(wèn)2詳解】

tanA=^^=S，AE(O,7T),所以

cosAI2J

.?.cos旌gSim巫,

聯(lián)立sin2A+cos2A=1，

44

*:2_2**2_)

在，中，由余弦定理得：

ABCCOSA=L^_a_=o±c￡①

2bc2bc

2

2/+^--2

在LAMC中，由余弦定理得:2

2bc

由①二②式得：b^—c

2

32

229

b+c-22-2Vf

故cosA=------------二尸—c=y[l.b-1,

2bc逝2V

2-----c

2

-sABC=l^csinA=172

20.已知雙曲線C：「一斗=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo),點(diǎn)尸(-1,2)在C的漸近線上，且滿足

ab

PF}1PF2.

(1)求。的方程；

(2)點(diǎn)。為。的左頂點(diǎn)，過(guò)尸的直線/交。于A3兩點(diǎn)，直線AQ與〉軸交于點(diǎn)直線BQ與y軸交

于點(diǎn)N,證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

2

【答案】(1)V—2L=i；

4

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助向量垂直的坐標(biāo)表示及雙曲線漸近線方程求出口,4c即可得解.

（2）設(shè)出直線/的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量共線的坐標(biāo)表示求出的中點(diǎn)縱坐標(biāo)

即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)耳（―c,0）,乙（c,0），PFI=（-c+1,-2）,=（c+1,-2）,由得

2

PFXPF2=1-C+4=0,

2222

解得°2=5,即/+/=5,而曲線C:二—與=1的漸近線方程為二—4=0,

a-b2a2b-

由點(diǎn)P（—1,2）在。的漸近線上，得14匚一4=0,即4=44,因此。2=1/2=4,

ab

2

所以C的方程為必-匕=1.

4

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知。（-1,0）,設(shè)直線/為y—2=k（x+l）,A（Xi，yi）,B（X2，%），M（0，y3），N（0,_y4），

由,「ifD消去>得：（"BY—（2左2+4左卜—/_4左—8=0,

2k2+4k—左2—4左一8

則nl不+々=干涔'=4—公'

。4=（芯+1，X）,QM=Q%），由AQ，M三點(diǎn)共線，得力=—^7，同理為=―7,

X1十1X?\L

HI%「.々+%一+（%+%）

因止匕%+%=

再+1x2+1X1A：2+&+%2）+1

2k（-lc-4左一8）+（2左+2）（2/+4左）+（2左+4）（4—尸）16,

—二-4,

一.2一4左一8+（2左2+49）+（4—左2）-4

所以的中點(diǎn)T為定點(diǎn)（0,-2）.

21.某商場(chǎng)推出購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：

①顧客在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)每滿100元，可獲得1張抽獎(jiǎng)券；

②顧客進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)需消耗1張抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則為：從放有5個(gè)白球，1個(gè)紅球的盒子中，隨機(jī)摸取1

個(gè)球（每個(gè)球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒(méi)有中獎(jiǎng)，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得

到一次額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)不消耗抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則不變）；

③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過(guò)3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎(jiǎng)；

（1）顧客甲通過(guò)在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)獲得了2張抽獎(jiǎng)券，求他通過(guò)抽獎(jiǎng)至少獲得1份禮品的概率；

（2）顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，則他在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過(guò)程中，

獲得禮品的概率是多少？

（3）設(shè)顧客在消耗X張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，要獲得X張抽獎(jiǎng)券，至少要在商場(chǎng)中消費(fèi)

滿y元，求E（x）,D（y）的值.

（重復(fù)進(jìn)行某個(gè)伯努利試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)的成功概率均為。.隨機(jī)變量4表示當(dāng)恰好出現(xiàn)r次失敗時(shí)已經(jīng)成

功的試驗(yàn)次數(shù).則J服從參數(shù)為r和2的負(fù)二項(xiàng)分布.記作J?它的均值E（J）=舌，方差

【答案】（1）—7;

36

⑵；；

（3）E（X）=16,D（y）=900000.

【解析】

【分析】（1）確定一次摸獎(jiǎng)摸到白球的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算，即可得答案；

（2）分別求出顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，以及顧客乙在消耗第2張抽獎(jiǎng)券

抽獎(jiǎng)的過(guò)程中，獲得禮品的概率，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求得答案；

（3）由題意確定廠=3,p=』，=X-l,結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的均值和方差公式，即可求得答案.

6

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知一次摸獎(jiǎng)摸到紅球的概率為摸到白球的概率為-,

66

故甲至少獲得1份禮品的概率p=l—"；

6636

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)A="顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份"，3=“顧客乙在消耗第2

張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過(guò)程中，獲得禮品”

P(AB)=P(A)-P(AB)=(C4-

25

1

2

65

【小問(wèn)3詳解】

由題意可知r=3,p=』，=X—l

6

5

則E(X)=E(XT+l=E?+l=-^+l=^=16,

1-p1

6

pr

D(y)=D(100X)=0(100^+100)=100000(J)=10000-=900000.

"P)2

7C

22.己知函數(shù)/(x)=e*+sin%-axcosx-l,xe0,—,

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(%)的值域；

(2)若函數(shù)〃x)20恒成立，求。的取值范圍.

71

【答案】(1)0,小

(2)a<2

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)/''(x)=eX+cosx+xsinx—cosx=eX+xsinx>0xe°弓］)易得/(%)在

71

xe0,-上單調(diào)遞增求解；

(2)方法一：/,(x)=ex+arsinx+(l-a)cosx^tz<0，0<a<l,l<a<2,a>2,由

/(x)1mti20求解；方法二：當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0成立，當(dāng)尤=5時(shí)，/［曰)=120成立，當(dāng)

時(shí)，轉(zhuǎn)化為qv士士”匚恒成立，由aWg(x).求解.

I2)xcosxmm

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(%)=e'+sinx-xcosx-l,

所以/'(x)=e*+cosx+xsinx—cosx=e*+xsinx>0xe'

.?./(x)在xe0,會(huì)上單調(diào)遞增又"⑼=(),