第第頁第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（單元測試卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（2022秋?順德區(qū)校級月考）下列圖形中，不能表示以x為自變量的函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)定義，根據(jù)x取值的任意性，以及y的唯一性分別進行判斷．【解答】解：B中，當x＞0時，y有兩個值和x對應，不滿足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿足函數(shù)的定義，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義的應用，根據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)是解決本題的關鍵．2．（2022秋?市中區(qū)校級月考）下列函數(shù)中，既是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A．y＝tanx B．y＝3x C． D．y＝x3【分析】根據(jù)條件分別判斷兩個函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是否滿足條件即可．【解答】解：y＝tanx在定義域上不具備單調(diào)性，不滿足條件．y＝3x是增函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．y＝的定義域為[0，+∞），為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．y＝x3是增函數(shù)，是奇函數(shù)，滿足條件．故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，結合函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關鍵，是基礎題．3．（2023秋?豐臺區(qū)校級月考）“a∈[﹣3，﹣1]”是“函數(shù)在區(qū)間（﹣1，2）上單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)在區(qū)間（﹣1，2）上單調(diào)遞增時a的取值范圍，判斷和a∈[﹣3，﹣1]的邏輯推理關系，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在區(qū)間（﹣1，2）上單調(diào)遞增，需滿足，解得a∈[﹣4，﹣2]，則a∈[﹣3，﹣1]推不出a∈[﹣4，﹣2]，反之，a∈[﹣4，﹣2]也推不出a∈[﹣3，﹣1]，故“a∈[﹣3，﹣1]”是“函數(shù)在區(qū)間（﹣1，2）上單調(diào)遞增”的既不充分也不必要條件．故選：D．【點評】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎題．4．（2023秋?天元區(qū)校級月考）下列選項中表示同一函數(shù)的是（）A．f（x）＝x0與g（x）＝1 B．f（x）＝x與 C．與g（x）＝x﹣2023 D．與【分析】根據(jù)函數(shù)三要素，即定義域、對應關系、值域是否相同，由此一一判斷各選項，即得答案．【解答】解：對于A，f（x）＝x0的定義域為{x|x≠0），而g（x）＝1定義域為R，故二者不是同一函數(shù)；對于B，f（x）＝x的定義域為R，的定義域為{x|x≠0），故二者不是同一函數(shù)；對于C，與g（x）＝x﹣2023對應關系不同，故二者不是同一函數(shù)；對于D，g（x）＝＝＝，與f（x）＝的定義域以及對應關系、值域都相同，故二者為同一函數(shù)．故選：D．【點評】本題考查同一函數(shù)的判斷，屬于基礎題．5．（2022秋?佛山月考）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）是偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f（x）的圖象與函數(shù)的圖象共有n個交點：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），則x1+x2+…+xn＝（）A．0 B．n C．2n D．4n【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及初等函數(shù)的性質(zhì)分別得出兩個函數(shù)圖象都關于x＝2對稱，然后根據(jù)對稱軸建立等式，由此即可求解．【解答】解：因為函數(shù)f（x+2）為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關于x＝2對稱，函數(shù)y＝是由偶函數(shù)y＝向右平移2個單位得到，則函數(shù)y＝的圖象也關于x＝2對稱，所以函數(shù)y＝f（x）與函數(shù)y＝的圖象的n個交點一定為偶數(shù)個交點，且左右交點關于x＝2對稱，則，，所以x1+x2+...+xn＝＝2n，故選：C．【點評】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的對稱性，屬于基礎題．6．（2023秋?唐縣校級月考）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為[﹣1，2），則函數(shù)f（x+2）的定義域為（）A．[﹣3，0] B．[1，4） C．[﹣3，0） D．（1，4]【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的意義可解決此題．【解答】解：根據(jù)題意得：﹣1≤x+2＜2，解得：x∈[﹣3，0），故選：C．【點評】本題考查函數(shù)定義域求法，考查數(shù)學運算及抽象能力，屬于基礎題．7．（2023秋?天元區(qū)校級月考）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x∈R，有f（1+x）＝﹣f（1﹣x），當x∈[0，1]時，f（x）＝x2+x﹣2，則f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2022）＝（）A．0 B．﹣2 C．1 D．2【分析】由已知結合函數(shù)的奇偶性及對稱性先求出函數(shù)的周期，結合周期及已知區(qū)間上的函數(shù)解析式進行轉(zhuǎn)化可求．【解答】解：依題意，f（x）為偶函數(shù)，且f（1+x）＝﹣f（1﹣x）即f（x）關于（1，0）對稱，則f（x+4）＝f（1+x+3）＝﹣f（1﹣（x+3））＝﹣f（﹣2﹣x）＝﹣f（﹣（2+x））＝﹣f（2+x）＝﹣f（1+1+x）＝f（1﹣（1+x））＝f（﹣x）＝f（x），故函數(shù)f（x）的周期為4，因為x∈[0，1]時，f（x）＝x2+x﹣2，所以f（0）＝﹣2，f（1）＝0，f（2）＝﹣f（0）＝2，f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2022）＝f（2021）+f（2022）．又f（2021）＝f（1）＝0，f（2022）＝f（2）＝﹣f（0）＝2，故f（1）+f（2）+f（3）+?+f（2022）＝f（2021）+f（2022）＝2．故選：D．【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性及周期性在函數(shù)值的求解中的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題．8．（2023秋?唐縣校級月考）當x＞1時，函數(shù)的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】把已知函數(shù)解析式變形，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴＝＝．當且僅當x﹣1＝，即x＝3時上式取“＝”．∴函數(shù)的最小值為5．故選：B．【點評】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.（多選）9．（2023秋?皇姑區(qū)校級月考）下列各組函數(shù)表示的是同一函數(shù)的有（）A．與 B．f（x）＝|x|與 C．與g（x）＝x0 D．與【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素逐一判斷即可．【解答】解：對于A，因為f（x）＝，所以x≤0，g（x）＝x，所以x≤0，所以兩函數(shù)的定義域相同，又因為g（x）＝x＝﹣，與f（x）的對應關系不一樣，所以f（x）與g（x）不是同一函數(shù)；對于B，因為f（x）＝|x|，x∈R，g（x）＝，x∈R，兩函數(shù)的定義域相同，且g（x）＝＝|x|＝f（x），所以f（x）與g（x）是同一函數(shù)；對于C，因為f（x）＝，x≠0，且f（x）＝1，g（x）＝x0，x≠0，且g（x）＝1＝f（x），所以f（x）與g（x）是同一函數(shù)；對于D，因為f（x）＝?，所以x≥0，g（x）＝，所以x≤﹣1或x≥0，兩函數(shù)的定義域不同，所以兩函數(shù)不是同一函數(shù)．故選：BC．【點評】本題考查了函數(shù)的定義、三要素，屬于基礎題．（多選）10．（2023秋?唐縣校級月考）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域為[﹣4，0]，則實數(shù)m的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】配方后得到當x＝2時，f（x）取得最小值﹣4，結合f（0）＝f（4）＝0，求出m∈[2，4]，得到答案．【解答】解：f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，當x∈（﹣∞，2）時，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（2，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，故當x＝2時，f（x）取得最小值﹣4，又f（0）＝f（4）＝0，故要想f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域為[﹣4，0]，則要m∈[2，4]，故實數(shù)m的值可以是2，3，4．故選：BCD．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎題．（多選）11．（2022秋?十堰月考）已知函數(shù)，則（）A．f（x）的定義域是（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．f（x）的值域是R C．f（x+1）是奇函數(shù) D．f（x）在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上單調(diào)遞減【分析】由分母不為0可求得函數(shù)定義域即可判斷A；求出函數(shù)的值域即可判斷B；判斷函數(shù)f（x+1）的奇偶性即可判斷C；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷D．【解答】解：對于A，分式中分母不等于0，所以x﹣1≠0，解得：x≠1所以f（x）的定義域是（﹣∞，1）∪（1，+∞）；故A正確；對于B，f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B錯誤；對于C，，令，定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），，所以g（x）是奇函數(shù)，即f（x+1）是奇函數(shù)，故C正確；對于D，多個單調(diào)區(qū)間可用逗號（或“和”）隔開，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上不是單調(diào)遞減的，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義域，值域的求法，函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．（多選）12．（2022秋?浉河區(qū)校級月考）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞） B．函數(shù)f（x）在定義域上有最小值為0，無最大值 C．若方程f（x）﹣t＝0有1個實根，則實數(shù)t的取值范圍是（1，+∞） D．設函數(shù)g（x）＝x2+2mx+3，若方程g[f（x）]＝1有四個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍是【分析】函數(shù)變形得，即可根據(jù)函數(shù)形式得出函數(shù)的單調(diào)性及值域，即可判斷AB；由數(shù)形結合即可判斷C；對D，方程g[f（x）]＝1等價于，結合①解的個數(shù)的情況，即可判斷②中解的個數(shù)及范圍，即可根據(jù)零點存在定理列不等式求解．【解答】解：f（x）＝，由于在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可得當x≥0時，在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）的圖象如圖所示，對AB，在（﹣∞，0），f（x）單調(diào)遞增，值域（0，+∞）；在[0，+∞），當時，f（x）有最大值，即在[0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，值域為[0，1]，綜上，f（x）的值域為[0，+∞），故AB對；對C，方程f（x）﹣t＝0有1個實根等價于y＝f（x）與y＝t有一個交點，則實數(shù)t的取值范圍是{0}∪（1，+∞），C錯；對D，方程g[f（x）]＝1等價于，由于t∈{0}∪（1，+∞）時方程①一解；t＝1時方程①兩解；t∈（0，1）時方程①三解．故g[f（x）]＝1有四個不等實根等價于h（t）＝g（t）﹣1＝t2+2mt+2＝0有兩根t1，t2，其中t1∈（0，1），t2∈{0}∪（1，+∞）．∵h（0）＞0，t1t2＝2，∴只需即可，此時t1∈（0，1），，故m的取值范圍為，D對．故選：ABD．【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2023秋?惠東縣月考）若函數(shù)的定義域為[3，+∞），則實數(shù)a＝﹣3，實數(shù)b的取值范圍（﹣∞，3）．【分析】根據(jù)已知條件，列出不等式組，即可求解．【解答】解：函數(shù)的定義域為，即，∵函數(shù)的定義域為[3，+∞），∴﹣a＝3，b＜3，即a＝﹣3，b＜3．故答案為：﹣3；（﹣∞，3）．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎題．14．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式為.①當時，；②；③.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)滿足的條件寫出一個函數(shù)即可.【詳解】由①當時，可得在單調(diào)遞增，由可得為偶函數(shù)，又可寫出滿足條件的函數(shù)，故答案為：（答案不唯一）15．（2023秋?天元區(qū)校級月考）已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)x1≠x2，都有，則a的取值范圍是[，）．【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為減函數(shù)，進而可得關于a的不等式組，解可得a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有，則函數(shù)f（x）R上為減函數(shù)，則有，解可得≤a＜，即a的取值范圍為[，）；故答案為：[，）．【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應用，關鍵是分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性．16．（2023秋?天元區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝，若對R上的任意實數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么a的取值范圍是（0，2]．【分析】由題意得，f（x）在R上單調(diào)遞減，然后結合一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可求．【解答】解：由題意得，f（x）＝在R上單調(diào)遞減，根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)得，，解得，0＜a≤2，故答案為：（0，2]．【點評】本題主要考查了分段函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性定義的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于基礎題．四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023秋?西固區(qū)校級月考）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1為偶函數(shù)．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在區(qū)間[2，3]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義結合函數(shù)奇偶性分析求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性運算求解．【解答】解：（1）因為f（x）為冪函數(shù)，則m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3，當m＝2時，則f（x）＝x為奇函數(shù)，不合題意；當m＝3時，則f（x）＝x2為偶函數(shù)，符合題意；綜上所述：f（x）＝x2；（2）由（1）可得：g（x）＝x2﹣ax﹣3，其對稱軸，因為g（x）在區(qū)間[2，3]上不單調(diào)，則，解得4＜a＜6，實數(shù)a的取值范圍（4，6）．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其運用，是基礎題．18．（2023秋?天元區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）滿足：．（1）求f（x）的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上的單調(diào)性，并證明．【分析】（1）令t＝+1，則x＝（t﹣1）2，t≥1，代入即可求解函數(shù)解析式；（2）設2≤x1＜x2，然后利用作差法比較g（x1）與g（x2）的大小即可判斷．【解答】解：（1）令t＝+1，則x＝（t﹣1）2，t≥1，由可得f（t）＝（t﹣1）2+3＝t2﹣2t+4，所以f（x）＝x2﹣2x+4，（x≥1）；（2）＝＝x+在[2，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：設2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，＞0，則g（x1）﹣g（x2）＝x1﹣x2+﹣＝（x1﹣x2）＜0，所以g（x1）＜g（x2），所以g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．【點評】本題主要考查了換元法在函數(shù)解析式求解中的應用，還考查了函數(shù)的單調(diào)性定義的應用，屬于中檔題．19．（2022秋?雷州市月考）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）若f（a）＝3，求實數(shù)a的值；（3）若f（x）＞2x，求x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式求解即可；（2）對a分類討論，解方程即得；（3）對x分類討論，解不等式組即得．【解答】解：（1）由題可得f（6）＝﹣6+1＝﹣5，，（2）①當a≤﹣2時，f（a）＝a+1＝3，解得a＝2，不符合題意，舍去；②當﹣2＜a＜2時，f（a）＝a2+2a＝3，即a2+2a﹣3＝0，解得a＝1或a＝﹣3，因為1∈（﹣2，2），﹣3?（﹣2，2），所以a＝1符合題意；③當a≥2時，f（a）＝2a﹣1＝3，解得a＝2，符合題意；綜合①②③知，當f（a）＝3時，a＝1或a＝2；（3）當x≤﹣2時，f（x）＝x+1＞2x?x＜1，所以x≤﹣2；當﹣2＜x＜2時，f（x）＝x2+2x＞2x?x≠0，所以﹣2＜x＜0或0＜x＜2；當x≥2時；f（x）＝2x﹣1＞2x?﹣1＞0不成立，所以此時解集為空集，綜上所述，當f（x）＞2x時，x的取值范圍為（﹣∞，0）∪（0，2）．【點評】本題主要考查分段函數(shù)及其應用，函數(shù)的求值，考查運算求解能力，屬于中檔題．20．（2022秋?蘭山區(qū)校級月考）已知冪函數(shù)（k∈Z）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范圍；（3）若實數(shù)a，b（a，b∈R+）滿足2a+3b＝7m，求的最小值．【分析】（1）由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得m、k的值，可得函數(shù)的解析式．（2）由題意可得，|2x﹣1|＜|2﹣x|，兩邊平方，解一元二次不等式，求得x的范圍．（3）由題意可得[2（a+1）+3（b+1）]＝1，利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)（k∈Z）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m2﹣2m+2＝1，且5k﹣2k2為正偶數(shù)，∴m＝1，k＝2，故f（x）＝x2．（2）∵f（2x﹣1）＜f（2﹣x），∴|2x﹣1|＜|2﹣x|，∴4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，即3x2＜3，求得﹣1＜x＜1．（3）若實數(shù)a，b（a，b∈R+）滿足2a+3b＝7m＝7，∴2（a+1）+3（b+1）＝12，即[2（a+1）+3（b+1）]＝1，則＝[2（a+1）+3（b+1）]?（+）＝（6+4?+9?+6）＝1+（4?+9?）≥1+×2＝1+＝2，當且僅當4?＝9?時，即2a＝3b+1時，等號成立，故的最小值為2．【點評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，解一元二次不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題．21．（2022秋·江西鷹潭·高一貴溪市第一中學校考階段練習）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.(3)求滿足不等式的實數(shù)t的取值范圍.【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)及求得參數(shù)即可；（2）設，結合因式分解證；（3）由求得定義域，由奇函數(shù)及增函數(shù)性質(zhì)可得，求解即可【詳解】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得，，又，∴；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明如下：設，則，由得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）由，由奇函數(shù)性質(zhì)得，由增函數(shù)性質(zhì)得.綜上，實數(shù)t的取值范圍為22．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講授開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示學生的接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：min），可有以下公式：f（x）＝（1）講課開始后5min和講