2023-2024學年北京市西城區(qū)西城外國語學校高一下數學期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知公式為正數的等比數列滿足：，，則前5項和()A．31 B．21 C．15 D．112．已知點是直線上一動點，與是圓的兩條切線，為切點，則四邊形的最小面積為()A． B． C． D．3．若直線過兩點，，則的斜率為（）A． B． C．2 D．4．下列四個結論正確的是（）A．兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行B．兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行C．兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行D．兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行5．從一批產品中取出三件產品，設事件為“三件產品全不是次品”，事件為“三件產品全是次品”，事件為“三件產品不全是次品”，則下列結論正確的是（）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．任何兩個事件均互斥 D．任何兩個事件均不互斥6．設為銳角，，若與共線，則角（）A．15° B．30° C．45° D．60°7．兩條直線和，，在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．8．如果角的終邊經過點，那么的值是（）A． B． C． D．9．已知，的線性回歸直線方程為，且，之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法錯誤的為A．變量，之間呈現正相關關系 B．可以預測，當時，C． D．由表格數據可知，該回歸直線必過點10．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值為()．A．4 B．8 C．15 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列滿足，且，則___________.12．函數（）的值域是__________.13．設為數列的前項和，則__14．在等比數列中，，，則__________．15．已知數列的前4項依次為，，，，試寫出數列的一個通項公式______.16．數列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），則稱為的一個“谷值”。若且存在“谷值”則實數的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．甲、乙兩位同學參加數學應用知識競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，記錄如下：（Ⅰ）分別估計甲、乙兩名同學在培訓期間所有測試成績的平均分；（Ⅱ）從上圖中甲、乙兩名同學高于85分的成績中各選一個成績作為參考，求甲、乙兩人成績都在90分以上的概率；（Ⅲ）現要從甲、乙中選派一人參加正式比賽，根據所抽取的兩組數據分析，你認為選派哪位同學參加較為合適？說明理由.18．在中，的對邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若的面積為，，求的值．19．已知數列和中，數列的前n項和為,若點在函數的圖象上，點在函數的圖象上．設數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和；（3）求數列的最大值.20．已知三角形的三個頂點.（1）求BC邊所在直線的方程；（2）求BC邊上的高所在直線方程.21．設數列的前n項和為，已知．（Ⅰ）求通項；（Ⅱ）設，求數列的前n項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由條件求出數列的公比．再利用等比數列的前項求和公式即可得出．【詳解】公比為正數的等比數列滿足：，則，即.所以,所以.故選：A【點睛】本題考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

利用當與直線垂直時，取最小值，并利用點到直線的距離公式計算出的最小值，然后利用勾股定理計算出、的最小值，最后利用三角形的面積公式可求出四邊形面積的最小值．【詳解】如下圖所示：由切線的性質可知，，，且，，當取最小值時，、也取得最小值，顯然當與直線垂直時，取最小值，且該最小值為點到直線的距離，即，此時，，四邊形面積的最小值為，故選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，考查切線長的計算以及四邊形的面積，本題在求解切線長的最小值時，要抓住以下兩點：（1）計算切線長應利用勾股定理，即以點到圓心的距離為斜邊，切線長與半徑為兩直角邊；（2）切線長取最小值時，點到圓心的距離也取到最小值．3、C【解析】

直接運用斜率計算公式求解.【詳解】因為直線過兩點，，所以直線的斜率，故本題選C.【點睛】本題考查了斜率的計算公式，考查了數學運算能力、識記公式的能力.4、C【解析】

利用空間直線平面位置關系對每一個選項分析得解.【詳解】A.兩條直線都和同一個平面平行，則這兩條直線平行、相交或異面，所以該選項錯誤；B.兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行或異面，所以該選項錯誤；C.兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行，是平行公理，所以該選項正確；D.兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行、相交或異面，所以該選項錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查直線平面的位置關系的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、B【解析】

根據互斥事件的定義，逐個判斷，即可得出正確選項．【詳解】為三件產品全不是次品，指的是三件產品都是正品，為三件產品全是次品，為三件產品不全是次品，它包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件由此知：與是互斥事件；與是包含關系，不是互斥事件；與是互斥事件，故選B．【點睛】本題主要考查互斥事件定義的應用．6、B【解析】由題意，，又為銳角，∴．故選B．7、A【解析】

由方程得出直線的截距，逐個選項驗證即可.【詳解】由截距式方程可得直線的橫、縱截距分別為，直線的橫、縱截距分別為選項A，由的圖象可得，可得直線的截距均為正數，故A正確；選項B，只有當時，才有直線平行，故B錯誤；選項C，只有當時，才有直線的縱截距相等，故C錯誤；選項D，由的圖象可得，可得直線的橫截距為正數，縱截距為負數，由圖像不對應，故D錯誤；故選：A【點睛】本題考查了直線的截距式方程，需理解截距的定義，屬于基礎題.8、D【解析】

根據任意角的三角函數定義直接求解.【詳解】因為角的終邊經過點,所以,故選:D.【點睛】本題考查任意角的三角函數求值,屬于基礎題.9、C【解析】

A中，根據線性回歸直線方程中回歸系數0.82＞0，判斷x，y之間呈正相關關系；B中，利用回歸方程計算x＝5時的值即可預測結果；C中，計算、，代入回歸直線方程求得m的值；D中，由題意知m＝1.8時求出、，可得回歸直線方程過點（，）．【詳解】已知線性回歸直線方程為0.82x+1.27，0.82＞0，所以變量x，y之間呈正相關關系，A正確；計算x＝5時，0.82×5+1.27＝5.37，即預測當x＝5時y＝5.37，B正確；（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回歸直線方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C錯誤；由題意知m＝1.8時，1.5，2.5，所以回歸直線方程過點（1.5，2.5），D正確．故選C．【點睛】本題考查了線性回歸方程的概念與應用問題，是基礎題．10、C【解析】試題分析：，，，故選C.考點：數列的遞推公式二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

對已知等式左右取倒數可整理得到，進而得到為等差數列；利用等差數列通項公式可求得，進而得到的通項公式，從而求得結果.【詳解】，即數列是以為首項，為公差的等差數列故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求解數列通項公式的問題，關鍵是明確對于形式的遞推關系式，采用倒數法來進行推導.12、【解析】

由，根據基本不等式即可得出，然后根據對數函數的單調性即可得出，即求出原函數的值域．【詳解】解：，當且僅當，時取等號，；原函數的值域是．故答案為：．【點睛】考查函數的值域的定義及求法，基本不等式的應用，以及對數函數的單調性，增函數的定義．13、【解析】

當時，；當時，，即，若為偶數，則為奇數）；若為奇數，則，故是偶數）．因為，，所以，同理可得，，，所以，應選答案．點睛：本題運用演繹推理的思維方法，分別探求出數列各項的規(guī)律（成等比數列），再運用等比數列的求和公式，使得問題簡捷、巧妙獲解．14、8【解析】

可先計算出公比，從而利用求得結果.【詳解】因為，所以，所以，則.【點睛】本題主要考查等比數列基本量的相關計算，難度很小.15、【解析】

首先寫出分子的通項公式，再寫出分母的通項公式，合并即可.【詳解】，，，，的通項公式為，，，，，的通項公式為，正負交替的通項公式為，所以數列的通項公式.故答案為：【點睛】本題主要考查根據數列中的項求出通項公式，找到數列中每一項的規(guī)律為解題的關鍵，屬于簡單題.16、【解析】

求出,,,當,遞減,遞增,分別討論,,是否存在“谷值”,注意運用單調性即可.【詳解】解：當時,有,,當,遞減,遞增,且.若時,有,則不存在“谷值”；若時,,則不存在“谷值”；若時,①,則不存在"谷值"；②,則不存在"谷值"；③,存在"谷值"且為.綜上所述,的取值范圍是故答案為：【點睛】本題考查新定義及運用,考查數列的單調性和運用,正確理解新定義是迅速解題的關鍵,是一道中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）由莖葉圖中的數據計算、，進而可得平均分的估計值；（Ⅱ）求出基本事件數，計算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一.從平均數與方差考慮，派甲參賽比較合適；從成績優(yōu)秀情況分析，派乙參賽比較合適.【詳解】（Ⅰ）由莖葉圖中的數據，計算，，由樣本估計總體得，甲、乙兩名同學在培訓期間所有測試成績的平均分分別均約為分.（Ⅱ）從甲、乙兩名同學高于分的成績中各選一個成績，基本事件是，甲、乙兩名同學成績都在分以上的基本事件為，故所求的概率為.（Ⅲ）答案不唯一.派甲參賽比較合適，理由如下：由（Ⅰ）知，，，，因為，，所有甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適；派乙參賽比較合適，理由如下：從統(tǒng)計的角度看，甲獲得分以上（含分）的頻率為，乙獲得分以上（含分）的頻率為，因為，所有派乙參賽比較合適.【點睛】本題考查了利用莖葉圖計算平均數與方差的應用問題，屬于基礎題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）根據二倍角和誘導公式可得的值；（2）根據面積公式求，然后利用余弦定理求，最后根據正弦定理求的值.【詳解】（1）,，所以原式整理為,解得：（舍）或,;（2），解得，根據余弦定理,,，代入解得：,.【點睛】本題考查了根據正余弦定理解三角形，屬于簡單題.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）先根據題設知，再利用求得，驗證符合，最后答案可得．

（2）由題設可知，把代入，然后用錯位相減法求和；（3）計算，判斷其大于零時的范圍，可得數列取最大值時的項數，進而可得最大值..【詳解】解：（1）由已知得：，∵當時，，又當時，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即為最大，故最大值為.【點睛】本題主要考查了數列的遞推式解決數列的通項公式和求和問題，考查數列最大項的求解，是中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）由已知條件結合直線的兩點式方程的求法求解即可；（2）先求出直線BC的斜率，再求出BC邊上的高所在直線的斜率，然后利用直線的點斜式方程的求法求解即可.【詳解】解：（1），，直線BC的方程為，即.（2），直線BC邊上的高所在的直線的斜率為，又，直線BC邊上的高的方程為:，即BC邊上的高所在直線方程為.【點睛】本題考查了直線的兩點式方程的求法，重點考查了直線的位置關系及直線的點斜式方程的求法，屬基礎題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，根據，構造，利用，兩式相減得到，然后驗證，得到數列的通項公式；（Ⅱ）由上一問可知.根據零點分和討論去絕對值，利用分組轉化求數列的和.試題解析：（Ⅰ）因為，所以當時，，兩式相減得：當時，，因為,得到，解得，，所以數列是首項，公