高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，即，解得，即，因為，且，則，所以，.故選：B.2.“”的一個充分條件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)得為任意實數(shù)，所以A錯；由，得，當(dāng)且時，有；當(dāng)且時，有，不滿足題意，所以B錯；因為滿足，也滿足，不滿足題意，所以C錯；因為，所以，所以能推出，滿足題意，D正確.故選：D.3.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，，所以，故選：D.4.函數(shù)在上的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD選項，且當(dāng)時，，，則，排除B選項.故選：A.5.質(zhì)數(shù)也叫素數(shù)，17世紀法國數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對“”（p是素數(shù)）型素數(shù)進行過較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“”（p是素數(shù)）形式的素數(shù)稱為梅森素數(shù)．已知第12個梅森素數(shù)為，第14個梅森素數(shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，令，兩邊同時取常用對數(shù)得，∴，∴，結(jié)合選項知與最接近的數(shù)為.故選：C.6.若為奇函數(shù)，則實數(shù)a，b的值分別為（）A.e，1 B.，1 C.e， D.，〖答案〗C〖解析〗，當(dāng)時，，所以和是方程的兩個根，所以，即，因為，所以，即，即.故選：C7.已知實數(shù)a，b滿足，，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，又因為，即，構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即存在唯一的實數(shù)，使得，所以，所以，即，所以，故選：C.8.已知函數(shù)，，若有6個零點，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可得函數(shù)圖象，當(dāng)或時，有兩個解；當(dāng)時，有4個解；當(dāng)時，有3個解；當(dāng)時，有1個解；因為最多有兩個解.因此，要使有6個零點，則有兩個解，設(shè)為，.則存在下列幾種情況：①有2個解，有4個解，即或，，顯然，則此時應(yīng)滿足，即，解得，②有3個解，有3個解，設(shè)即，，則應(yīng)滿足，無解，舍去，綜上所述，取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項，若且，則以下結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗對A，等比數(shù)列的公比，和異號，，故A正確；對B，因為不確定和的正負，所以不能確定和的大小關(guān)系，故B不正確；對CD，和異號，且且，和中至少有一個數(shù)是負數(shù)，又，，故D正確，一定是負數(shù)，即，故C不正確.故選：AD.10.下面命題正確的是（）A.不等式的解集為B.不等式解集為C.不等式在時恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，不等式化為，解得，則原不等式的解集為，A正確；對于B，不等式化為，解得，不等式的解集為，B錯誤；對于C，不等式在時恒成立，當(dāng)時，成立，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，則，所以實數(shù)m的取值范圍為，C正確；對于D，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點，則當(dāng)在上有等根時，，解得，當(dāng)在上只有1個根時，，解得，或或，解得，于是，所以實數(shù)m的取值范圍為，D正確.故選：ACD11.函數(shù)和有相同的最大值b，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點的橫坐標依次，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于AB，，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，由，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，沒有最大值，不符合題意，于是有，，因此選項AB正確，對于CD，兩個函數(shù)圖像如下圖所示：由數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)直線經(jīng)過點時，此時直線與兩曲線和恰好有三個交點，不妨設(shè)，且，由，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，又，又，又當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，，于是有，即，因為，所以選項C錯誤，D正確，故選：ABD12.已知函數(shù)，下列選項正確的是（）A.當(dāng)有三個零點時，的取值范圍為B.是偶函數(shù)C.設(shè)的極大值為，極小值為，若，則D.若過點可以作圖象的三條切線，則的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，令可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，，令，可得，列表如下：增極大值減極小值增如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，A對；對于B選項，，該函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)是偶函數(shù)，B對；對于C選項，，令，可得，列表如下：減極小值增極大值減所以，，，所以，，解得，C錯；對于D選項，設(shè)切點坐標為，則，所以，曲線在處的切線方程為，將點的坐標代入切線方程得，整理可得，令，其中，則，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減若過點可以作圖象的三條切線，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，合乎題意，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，且，則的最小值是___________.〖答案〗〖解析〗由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值是.故〖答案〗為：14.已知，若與的值域相同，則實數(shù)a的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時，；當(dāng)時，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，因為與的值域相同，所以.故〖答案〗為：15.若為奇函數(shù)，則的表達式可以為______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗函數(shù)中，必有，即或，而函數(shù)是奇函數(shù)，即恒成立，因此對定義域內(nèi)任意實數(shù)有成立，即成立，于是函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，取，所以的表達式可以為.故〖答案〗為：16.已知定義在上的函數(shù)滿足，且關(guān)于對稱，當(dāng)時，.若，則______.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)關(guān)于對稱，則，即，所以，，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，又因為，則，即，所以，。則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，又因為當(dāng)時，，則，①在等式中，令可得，即，②聯(lián)立①②可得，，故當(dāng)時，，所以，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最小值．解：（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)在上的最小值為．18.已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項公式.（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；（2）由題意得，時，,當(dāng)時，，∴.19.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求時的〖解析〗式；（2）求函數(shù)的值域.解：（1）令，則，故，而，所以，則.（2）由（1）知：，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時；當(dāng)，單調(diào)遞增，則；綜上，函數(shù)值域.20.為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀念章，并決定近期投放市場．根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計每枚該紀念章的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表上市時間x/天2632市場價y/元1486073（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③，④中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關(guān)系（無需說明理由），并利用你選取的函數(shù)，求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低市場價；（2）記你所選取的函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題表知，隨著時間的增大，的值隨的增大，先減小后增大，而所給的函數(shù)，和在上顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，故選擇．把，，分別代入，得，解得，∴，．又，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，y有最小值，且．故當(dāng)該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元；（2）原不等式可以整理為：，，因為對，都有不等式恒成立，則．（i）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，．∴，解得，不符合假設(shè)條件，舍去．（ii）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，故，只需．整理得：，∴（舍去），綜上，實數(shù)k的取值范圍是．21.已知函數(shù)，.（1）若的定義域為，值域為R，求a的值：（2）在條件（1）下，當(dāng)，時，總滿足，求c的取值范圍.解：（1）因為的定義域為，所以且，恒成立，又因為值域為，所以能取到內(nèi)任意實數(shù)，故；（2）因為，所以，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以在,上單調(diào)遞減，，則題目可轉(zhuǎn)化為：恒成立，即，因此，故故的取值范圍為22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.解：（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得則