山西省長治市2025屆數(shù)學高一下期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數(shù)列為等比數(shù)列，若，，數(shù)列的前項和為，則A． B． C．7 D．312．我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽，創(chuàng)立了用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積的方法，稱為“割圓術(shù)”，為圓周率的研究提供了科學的方法.在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自圓內(nèi)接正十二邊形外的概率為A． B．C． D．3．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若m∥α，m∥β，則α∥β②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③m?α，n?β，m、n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．其中正確的命題是（）A．①② B．②③ C．③④ D．④4．已知點，則P在平面直角坐標系中位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔64海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為（）海里/小時．A． B．C． D．6．“”是“函數(shù)，有反函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．即非充分又非必要條件7．直線的斜率是（）A． B． C． D．8．設，則比多了（）項A． B． C． D．9．已知，則值為A． B． C． D．10．設長方體的長、寬、高分別為2，1，1，其頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．方程，的解集是__________．12．已知，，兩圓和只有一條公切線，則的最小值為________13．用數(shù)學歸納法證明不等式“（且）”的過程中，第一步：當時，不等式左邊應等于__________。14．函數(shù)的定義域是_____.15．過點作圓的切線，則切線的方程為_____．16．若向量與平行．則__．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值時的值.18．已知的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為.（1）求C點坐標；（2）求直線BC的方程.19．已知，，且與的夾角為.（1）求在上的投影；（2）求.20．已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程.21．已知在三棱錐S-ABC中，∠ACB=，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥平面SBC.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先求等比數(shù)列通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，，，，解得，，數(shù)列的前項和為，．故選．【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式與求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，求得十二邊形的面積，利用面積比的幾何概型，即可求解.【詳解】由題意，半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，所以該正十二邊形的面積為，由幾何概型的概率計算公式，可得所求概率，故選D.【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力.3、D【解析】

利用平面與平面垂直和平行的判定和性質(zhì)，直線與平面平行的判斷，對選項逐一判斷即可．【詳解】①若m∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，錯誤命題；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交．錯誤的命題；③m?α，n?β，m、n是異面直線，那么n與α相交,也可能n∥α，是錯誤命題；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．是正確的命題．故選D．【點睛】本題考查平面與平面的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象力，屬于中檔題.4、B【解析】

利用特殊角的三角函數(shù)值的符號得到點的坐標，直接判斷點所在象限即可．【詳解】，．在平面直角坐標系中位于第二象限．故選B．【點睛】本題考查了三角函數(shù)值的符號，考查了三角函數(shù)的誘導公式的應用，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

先求出的值，再根據(jù)正弦定理求出的值，從而求得船的航行速度.【詳解】由題意，在中，由正弦定理得，得所以船的航行速度為（海里/小時）故選C項.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于簡單題.6、A【解析】

函數(shù)，有反函數(shù)，則函數(shù)，上具有單調(diào)性，可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】函數(shù)，有反函數(shù)，則函數(shù)，上具有單調(diào)性，．是的真子集，“”是“函數(shù)，有反函數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)、充分條件與必要條件的判定方法，考查推理能力與計算能力，同時考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．7、A【解析】

一般式直線方程的斜率為．【詳解】直線的斜率為.故選A【點睛】此題考察一般直線方程的斜率，屬于較易基礎(chǔ)題目8、C【解析】

可知中共有項，然后將中的項數(shù)減去中的項數(shù)即可得出答案.【詳解】，則中共有項，所以，比多了的項數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法的應用，解題的關(guān)鍵就是計算出等式中的項數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、B【解析】

利用三角函數(shù)的誘導公式，得到，即可求解.【詳解】由題意，可得，故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導公式的化簡、求值，其中解答中熟練應用三角函數(shù)的誘導公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

先求出長方體的對角線的長度，即得外接球的直徑，再求球的表面積得解.【詳解】由題得長方體外接球的直徑.故選：B【點睛】本題主要考查長方體的外接球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

用正弦的二倍角公式展開,得到,分兩種情況討論得出結(jié)果.【詳解】解：即,即：或.①由,,得.②由,,得或.綜上可得方程,的解集是：故答案為【點睛】本題考查正弦函數(shù)的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.12、9【解析】

兩圓只有一條公切線，可以判斷兩圓是內(nèi)切關(guān)系，可以得到一個等式，結(jié)合這個等式，可以求出的最小值.【詳解】，圓心為，半徑為2；，圓心為，半徑為1.因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓是內(nèi)切關(guān)系，即，于是有（當且僅當取等號），因此的最小值為9.【點睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了基本不等式的應用，考查了數(shù)學運算能力.13、【解析】

用數(shù)學歸納法證明不等式（且），第一步，即時，分母從3到6，列出式子，得到答案.【詳解】用數(shù)學歸納法證明不等式（且），第一步，時，左邊式子中每項的分母從3開始增大至6，所以應是.即為答案.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法的基本步驟，屬于簡單題.14、.【解析】

由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.【詳解】由已知得,即解得，故函數(shù)的定義域為.【點睛】求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．15、或【解析】

求出圓的圓心與半徑分別為：，，分別設出直線斜率存在與不存在情況下的直線方程，利用點到直線的距離等于半徑即可得到答案．【詳解】由圓的一般方程得到圓的圓心和半徑分別為;，;（1）當過點的切線斜率不存在時，切線方程為：，此時圓心到直線的距離，故不與圓相切，不滿足題意；（2）當過點的切線的斜率存在時，設切線方程為：，即為；由于直線與圓相切，所以圓心到切線的距離等于半徑，即，解得：或，所以切線的方程為或；綜述所述：切線的方程或【點睛】本題考查過圓外一點求圓的切線方程，解題關(guān)鍵是設出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑得到關(guān)系式，屬于中檔題．16、【解析】

由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算法則，求得的值．【詳解】由題意，向量與平行，所以，解得．故答案為．【點睛】本題主要考查了兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），最大值為.（2）時，最小值0.時，最大值.【解析】

（1）利用數(shù)量積公式、倍角公式和輔助角公式，化簡，再利用三角函數(shù)的有界性，即可得答案；（2）利用整體法求出，再利用三角函數(shù)線，即可得答案.【詳解】（1）∴，的最大值為.（2）由（1）得，∵，.，當時，即時，取最小值0.當，即時，取最大值.【點睛】本題考查向量數(shù)量積、二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意整體法的應用.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)點斜式求出AC邊所在的直線方程，再由CM所在直線方程，兩方程聯(lián)立即可求解.（2）設，根據(jù)題意可得，，兩式聯(lián)立解得的值，再根據(jù)兩點式即可得到直線BC的方程.【詳解】（1）AC邊上的高BH所在直線方程為，且，AC邊所在的直線方程為，由AB邊上的中線CM所在直線方程為，，解得，故C點坐標為.（2）設，則由AC邊上的高BH所在直線方程為，可得，AB邊上的中線CM所在直線方程為，，，解得，故點的坐標為，則直線BC的方程為，即.【點睛】本題考查了點斜式方程、兩點式方程，同時考查了解二元一次方程組，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)-2.(2).【解析】分析：(1)根據(jù)題中所給的條件，利用向量的數(shù)量積的定義式，求得，之后應用投影公式，在上的投影為，求得結(jié)果；(2)應用向量模的平方等于向量的平方，之后應用公式求得結(jié)果.詳解：（1）在上的投影為（2）因為，，且與的夾角為所以所以點睛：該題考查的是有關(guān)向量的投影以及向量模的計算問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有向量的數(shù)量積的定義式，投影公式，向量模的平方和向量的平方是相等的，靈活運用公式求得結(jié)果.20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求出兩直線交點，直線的斜率，即可求直線的方程；（2）利用待定系數(shù)法求圓的標準方程.試題解析：（1）由已知得:,解得兩直線交點為，設直線的斜率為∵與垂直∴∵過點∴的方程為，即（2）設圓的半徑為，依題意，圓心到直線的距離為，則由垂